Đáp án
1B
2A
3B
4C
5B
6D
7A
8C
9B
10B
11C
12C
13A
14B
15D
16C
17C
18D
19C
20B
21A
22B
23A
24A
25C
26B
27B
28D
29D
30D
31D
32C
33A
34C
35D
36C
37D
38C
39
40C
41B
42A
43D
44D
45D
46A
47B
48C
49A
50D
Đáp án Đề minh họa số 11 thi Tốt Nghiệp Trung học Phổ Thông 2024 môn Toán học
Câu 1 [311011]: Trong không gian
cho điểm
và
. Tọa độ vectơ
là




A, 

B, 

C, 

D, 

HD:
Chọn B.

Câu 2 [810769]: Cho hàm số
. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn A
Ta có:
.
Ta có:

Câu 3 [328075]: Cho khối lăng trụ có thể tích
diện tích đáy là
và chiều cao
. Tìm khẳng định đúng?



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B
Thể tích của khối lăng trụ là:
.
Thể tích của khối lăng trụ là:

Câu 4 [307336]: Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây.



A,
.

B,
.

C, 

D,
.

Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có hàm số
đồng biến trên khoảng
.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số


Câu 5 [736733]: Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Mặt phẳng
không đi qua điểm nào dưới đây?



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B
Ta thấy
vì
Vậy mặt phẳng
không đi qua điểm
.
Ta thấy




Câu 6 [513358]: Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?


A, Hàm số đạt cực đại tại
.

B, Hàm số đạt cực tiểu tại
.

C, Hàm số đạt cực tiểu tại
.

D, Hàm số đạt cực đại tại
.

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại
, giá trị cực đại .
Hàm số đạt cực tiểu tại
, giá trị cực đại
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại


Câu 7 [311595]: Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 10 điểm trên ?
A, 

B, 

C, 

D, 

HD: Chọn 3 điểm từ 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta được một tam giác suy ra có \[C_{10}^3\] tam giác được tạo thành. Chọn A.
Câu 8 [328079]: Khối trụ có đường kính đáy là
, chiều cao là
có thể tích là


A, 

B, 

C, 

D, 

Chọn C
• Theo giả thiết;
•
(đvtt).
• Theo giả thiết;

•

Câu 9 [297512]: Đạo hàm của hàm số
là

A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B
Ta có
.

Câu 10 [323828]: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
và
Thể tích khối chóp
là





A, 

B, 

C, 

D, 

Đáp án B
Thể tích khối chóp là
.
Thể tích khối chóp là

Câu 11 [297508]: Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Công sai của
bằng



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C
Ta có:
.

Câu 12 [511794]: Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình
là



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C
Ta có
.
Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số
và
.
Ta vẽ thêm đồ thị
.
Dựa vào đồ thị, hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Ta có

Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số


Ta vẽ thêm đồ thị


Dựa vào đồ thị, hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 13 [222303]: Tập xác định của hàm số
là

A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn A
Ta có
có số mũ
là số nguyên dương nên tập xác định của hàm số:
.
Ta có



Câu 14 [311598]: Trong hình vẽ bên điểm
biểu diễn số phức
điểm
biễu diễn số phức
Hỏi trung điểm của đoạn
là điểm biễu diễn hình học của số phức nào sau đây






A, 

B, 

C, 

D, 

HD: Điểm
nên trung điểm của
là
. Vậy
Chọn B.




Chọn B.
Câu 15 [53341]: Đường thẳng
có phương trình
còn được viết dưới dạng


A, 

B, 

C, 

D, 


Câu 16 [751312]: Cho các số phức
,
. Phần ảo của số phức
bằng



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C
Ta có
Vậy phần ảo của số phức
là
.
Ta có



Câu 17 [306994]: Cho hình lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác đều cạnh a. Góc giữa
và
mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối lăng trụ
.



mặt đáy bằng




A,
.

B,
.

C,
.

D, 

Chọn C

.
Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác
vuông ở A có:
.
Do đó thể tích lăng trụ là:
.


Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên

Xét tam giác


Do đó thể tích lăng trụ là:

Câu 18 [297510]: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn D
Mệnh đề đúng là:
.

Câu 19 [732794]: Gọi
là các nghiệm phức của phương trình
, trong đó
có phần ảo dương. Mô đun của số phức
bằng




A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C
Ta có
Do đó
.

Do đó

Câu 20 [297503]: Tập nghiệm của phương trình
là

A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B
.

Câu 21 [51981]: Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và song song với
. Phương trình mặt phẳng
là







A,
.

B,
.

C,
.

D,
.


Câu 22 [222314]: Nếu
và
thì
bằng



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B
.

Câu 23 [309857]: Với và là hai số thực dương tùy ý và
bằng


A, 

B, 

C, 

D, 

Ta có
Chọn A

Câu 24 [307128]: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là


Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn A
Từ bảng biến thiên ta có
nên đường thẳng
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
nên đường thẳng
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
nên đường thẳng
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Từ bảng biến thiên ta có






Câu 25 [50314]: Cho ${\log _5}3 = m$, khi đó ${\log _{25}}81$ bằng
A, $\frac{{2m}}{3}.$
B, $\frac{{3m}}{2}.$
C, $2m.$
D, $\frac{m}{2}.$

Câu 26 [311022]: Trong không gian với hệ tọa độ
,
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
bán kính






A, 

B, 

C, 

D, 


Câu 27 [511897]: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?


A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B
Đồ thị hàm số nhận
làm đường tiệm cận đứng và
làm đường tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đi qua
và
nên là đồ thị của hàm số
.
Đồ thị hàm số nhận


Đồ thị hàm số đi qua



Câu 28 [801739]: Số nghiệm của phương trình
là

A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn D
Đkxđ:
.

So sánh điều kiện ta thấy
là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Đkxđ:


So sánh điều kiện ta thấy

Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Câu 29 [327390]: Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng

A, 11.
B, 0.
C, 5.
D, 2.
Chọn D.
Tập xác định:
.
. Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
.
Tập xác định:



Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

Câu 30 [315668]: Tính đạo hàm của hàm số

A, 

B, 

C, 

D, 

HD: Ta có
Chọn D.

Câu 31 [297514]: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Cạnh bên
bằng 2 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa
và mặt phẳng
bằng






A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn D.

Hình chiếu vuông góc của
lên
là
. Do đó
.
Ta có
.
Hình chiếu vuông góc của




Ta có

Câu 32 [297505]: Cho hàm số
có đạo hàm
,
. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C
+ Ta có:
+ BXD:

Từ BXD suy ra hàm số
đồng biến trên khoảng
và
+ Ta có:

+ BXD:
Từ BXD suy ra hàm số



Câu 33 [333996]: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu được chọn ra cùng màu bằng
A, 

B, 

C, 

D, 

Chọn A.
Chọn 2 quả bất kỳ trong 11 quả có
cách.
Chọn 2 quả màu xanh hoặc 2 quả màu đỏ có
cách.
Xác suất cần tính là
.
Chọn 2 quả bất kỳ trong 11 quả có

Chọn 2 quả màu xanh hoặc 2 quả màu đỏ có

Xác suất cần tính là

Câu 34 [151636]: Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x,$ trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và đường thẳng $x = 1$ quay quanh trục hoành là
A, $V = \frac{{16\pi }}{{15}}.$
B, $V = \frac{{4\pi }}{{3}}.$
C, $V = \frac{{8\pi }}{{15}}.$
D, $V = \frac{{2\pi }}{{3}}.$

Câu 35 [502489]: Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
có cực đại và cực tiểu?


A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn D
Ta có:
liên tục trên
.
Để hàm số
có cực đại và cực tiểu thì
có hai nghiệm phân biệt và
đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đó. Vì vậy
.
Ta có:


Để hàm số




Câu 36 [329226]: Cho hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh bằng
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ



A,
.

B,
.

C,
.

D,
.


Chọn C
Gọi




Khi đó

Gọi



Suy ra:

Bán kính của mặt cầu đó là

Câu 37 [903737]: Cho hàm số
. Tích phân
bằng


A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn D
Gọi
, đặt
, khi đó

Ta có:

Vậy
.
Gọi



Ta có:


Vậy

Câu 38 [903738]: Có bao nhiêu số phức
thoả mãn
?


A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C
Đặt
, với
, có
.
Khi đó
.
Vậy có
số phức thoả mãn.
Đặt



Khi đó

Vậy có

Câu 39 [184696]: [Câu 41 – Mã 103]: Có bao nhiêu số nguyên
thỏa mãn
?


Đáp án:
Câu 40 [297528]: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
và
. Cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng
và
là
. Thể tích khối chóp
bằng










A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn C.

Ta có:
và
.
Kẻ
.
Ta có
.
.
Vậy thể tích khối chóp
bằng
.
Ta có:



Ta có




Câu 41 [311029]: Trong hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng chéo nhau:
,
. Phương trình mặt phẳng
chứa
và song song với
là:






A, 

B, 

C, 

D, 


Câu 42 [925498]: Cho hàm số
(trong đó
). Hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị
=kphan2de1/38.d%C3%A9o7ks.png)




=kphan2de1/38.d%C3%A9o7ks.png)
A, 

B, 

C, 

D, 

Đáp án: A
Câu 43 [733717]: [MĐ4] Gọi
là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số
để bất phương trình
có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến
. Số phần tử của
là





A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

+ 
+ Với điều kiện
thì
+ Ta có:
, cho
.
+ Bảng biến thiên của hàm số

Từ BBT, để tập nghiệm của bpt
chứa đúng 4 số nguyên khi và chỉ khi
và
.


+ Với điều kiện


+ Ta có:


+ Bảng biến thiên của hàm số

Từ BBT, để tập nghiệm của bpt



Câu 44 [903991]: Cho hàm số
luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm cấp hai trên khoảng
đồng thời thỏa mãn điều kiện
và
Tính giá trị của





A, 

B, 

C, 

D, 




Đặt
khi đó phương trình trở thành:













Mặt khác:

Do đó:



Chọn đáp án D.
Câu 45 [807066]: Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị
và hàm số
có đồ thị
như hình vẽ
bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
trên khoảng
là








A, 

B, 

C, 

D, 

Chọn D
Ta có
.

Xét
.

Từ đồ thị ta suy ra được:
Phương trình
có nghiệm đơn.
Phương trình
có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn
.
Phương tridnh
có 1 nghiệm đơn.
Vậy
có 8 nghiệm đơn nên hàm số
có 8 điểm cực trị.
Ta có


Xét


Từ đồ thị ta suy ra được:
Phương trình

Phương trình


Phương tridnh

Vậy


Câu 46 [987136]: Cho hàm số
với
là các số thực. Biết hàm số
có hai giá trị cực trị là
và
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
bằng







A, 

B, 

C, 

D, 

Chọn A
Ta có
.
Suy ra:
.
Xét phương trình

Ta có diện tích bằng
.
Ta có

Suy ra:

Xét phương trình

Ta có diện tích bằng


Câu 47 [222336]: Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Một khối hộp chữ nhật
có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng
và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu
. Khi
có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của
nằm trên mặt cầu
là
. Giá trị
bằng











A,
.

B,
.

C,
.

D,
.

Chọn B.

Ta có mặt cầu
có tâm
và bán kính
và
.
Do
là hình hộp chữ nhật nên
.
Khi đó
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là 
Gọi
là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là 
Áp dụng bất đẳng thức
: 
Ta có thể tích của khối hộp
là 
Đẳng thức xảy ra khi
.
Ta có mặt cầu




Do


Khi đó


Gọi


Áp dụng bất đẳng thức


Ta có thể tích của khối hộp


Đẳng thức xảy ra khi

Câu 48 [903992]: Gọi
,
lần lượt là hai số phức thỏa mãn
và
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng





A, 

B, 

C, 

D, 

Đáp án: C
Câu 49 [903990]: Trong không gian
cho đường thẳng
và mặt cầu
Hai điểm
thay đổi trên
sao cho tiếp diện của
tại
và
vuông góc với nhau. Đường thẳng qua
song song với
cắt mặt phẳng
tại
đường thẳng qua
song song với
cắt mặt phẳng
tại
Tìm giá trị lớn nhất của tổng

















A, 

B, 

C, 

D, 

Đáp án: A
Câu 50 [310220]: Cho hình lăng trụ đứng có đáy
là tam giác đều cạnh
và
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trọng tâm tam giác
Mặt phẳng
cắt
và
lần lượt tại
Thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các điểm
bằng












A, 

B, 

C, 

D, 

