Đáp án
1C
2B
3D
4C
5D
6D
7C
8A
9A
10D
11A
12D
13D
14D
15A
16D
17C
18C
19B
20C
21C
22A
23A
24C
25C
26A
27D
28A
29D
30A
31A
32C
33C
34B
35D
36A
37B
38D
39B
40C
41C
42D
43A
44C
45B
46
47A
48A
49D
50B
Đáp án Đề minh họa số 2 thi Tốt Nghiệp Trung học Phổ Thông 2024 môn Toán học
Câu 1 [255816]: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
1.png
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Hàm số đồng biến trên khoảng . Chọn đáp án C.
Câu 2 [348880]: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng cắt trục Oy tại điểm có toạ độ là
A,
B,
C,
D,
Gọi M là giao điểm của và Oy.
Suy ra
Do đó
Vậy
Chọn đáp án B.
Câu 3 [255818]: Trong không gian cho mặt cầu Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Suy ra bán kính của mặt cầu là . Chọn đáp án D.
Câu 4 [255819]: Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng như đường cong trong hình bên?
2.png
A,
B,
C,
D,
Dễ thấy đồ thị hàm số có dạng hàm số bậc 3 là với (do )
Đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox tại điểm nên phương trình phải có nghiệm kém . Chọn đáp án C.
Câu 5 [255855]: Tích phân bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án D.
Câu 6 [255821]: Cho số phức Trên mặt phẳng điểm biểu diễn của số phức là điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Ta có . Điểm biểu diễn của số phức trên mặt phẳng là . Chọn đáp án D.
Câu 7 [255853]: Với là số thực dướng tùy ý, bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có Chọn đáp án C.
Câu 8 [348881]: Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm thì thể tích của nó tăng thêm Độ dài của hình lập phương đó bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi là độ dài cạnh của hình lập phương
Suy ra thể tích của khối lập phương ban đầu là
Theo bài ra, ta có

Chọn đáp án A.
Câu 9 [348882]: Cho số phức phần ảo của số phức bằng
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 10 [348883]: Nếu và thì bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có
Lại có

Do đó
Chọn đáp án D.
Câu 11 [255856]: Nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án A.
Câu 12 [255857]: Họ các nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án D.
Câu 13 [255858]: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
3.png
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Hàm số đạt giá trị cực đại tại , khi đó . Chọn đáp án D.
Câu 14 [348884]: Đạo hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: D
Câu 15 [255860]: Từ một nhóm học sinh gồm nam và nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca gồm một nam và một nữ?
A,
B,
C,
D,
Có 7 cách chọn một bạn nam và 6 cách chọn một bạn nữ.
Áp dụng quy tắc nhân, số sách chọn một đôi gồm một nam và một nữ là: cách chọn.
Chọn đáp án A.
Câu 16 [255861]: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án D.
Câu 17 [255881]: Trong không gian cho đường thẳng Phương trình chính xác của đường thẳng đi qua điểm và song song với là
A,
B,
C,
D,
Ta có .
Đường thẳng song song với là 1 vecto chỉ phương của
Phương trình của đường thẳng là:
Chọn đáp án C.
Câu 18 [255862]: Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A,
B,
C,
D,
Ta có

Lại có

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường TCN là
Chọn đáp án C.
Câu 19 [255863]: Cho cấp số cộng với và công sai Số hạng của cấp số cộng đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
CTTQ cấp số cộng:
Áp dụng, ta có: . Chọn đáp án B.
Câu 20 [255864]: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hoành và các đường thẳng Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục là:
Áp dụng, ta có . Chọn đáp án C.
Câu 21 [255865]: Cho hình trụ có chiều cao và bán kính đáy Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án C.
Câu 22 [348886]: Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Tính
A,
B,
C,
D,
Ta có
Khi đó
Lại có
Suy ra và
Vậy
Chọn đáp án A.
Câu 23 [255866]: Cho hàm số Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A,
B,
C,
D,
Ta có
Chọn đáp án A.
Câu 24 [255872]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên
A,
B,
C,
D,
Hàm số đồng biến trên
. Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của . Chọn đáp án C.
Câu 25 [255867]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Ta có Chọn đáp án C.
Câu 26 [255882]: Trong không gian cho hai điểm Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Đoạn thẳng có độ dài bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có là trung điểm của đoạn thẳng
Suy ra . Chọn đáp án A.
Câu 27 [255868]: Cho hai số phức và Số phức có tổng phần thực và phần ảo bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Tổng phần thực và phần ảo
Chọn đáp án D.
Câu 28 [348885]: Với là các số thực dương tùy ý thỏa mãn và giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có

Chọn đáp án A.
Câu 29 [255871]: Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao Diện tích xung quanh hình nón đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án D.
Câu 30 [255875]: Trong không gian cho ba điểm và Mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là:
Chọn đáp án A.
Câu 31 [352424]: Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A,
B,
C,
D,
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
Suy ra
Do đó
Đặt phương trình trở thành:

Suy ra
Cách 2: Dùng phương pháp đồ thị, xem video em nhé!
Chọn đáp án A.
Câu 32 [255874]: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
4.png
A,
B,
C,
D, .
Ta có Chọn đáp án C.
Câu 33 [255876]: Trong không gian phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng
Phương trình mặt cầu cần tìm là Chọn đáp án C.
Câu 34 [255879]: Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau
5.png
Số điểm cực đại của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Ta có
Dựa vào bảng xét dấu suy ra .
Hàm số có tất cả 2 điểm cực đại. Chọn đáp án B.
Câu 35 [255870]: Ký hiệu là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình Môđun của số phức bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có
Suy ra . Chọn đáp án D.
Câu 36 [348887]: Số nghiệm thực của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Điều kiện:
Ta có


Bấm máy tìm được 2 nghiệm thoả mãn điều kiện.
Chọn đáp án A.
Câu 37 [348888]: Một hộp gồm 23 quả cầu được đánh số từ 1 đến 23. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để lấy được 2 quả cầu và tích hai số ghi trên 2 quả cầu đó là một số chia hết cho 6 bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi
Và
Không gian mẫu là
Gọi X là biến cố “lấy được 2 quả cầu và tích hai số ghi trên 2 quả cầu đó là một số chia hết cho 6”
TH1: 2 quả cầu có số thuộc A suy ra có cách.
TH2: 1 quả cầu có số thuộc A và 1 quả cầu có số không thuộc A
Suy ra có cách.
TH3: 1 quả cầu có số thuộc B và 1 quả cầu có số thuộc C
Suy ra có cách.
Khi đó, số cách lấy hai quả cầu mà tích hai số chia hết cho 6 là 3+60+32=95 cách.
Suy ra
Vậy
Chọn đáp án B.
Câu 38 [352425]: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và Gọi là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A,
B,
C,
D,
10637499lg.png
Từ kẻ đường thẳng //
Từ kẻ vuông góc với ()
Ta có // //
Suy ra
Kẻ suy ra
Xét tam giác có
Suy ra tam giác đều
Xét tam giác vuông tại có

Vậy Chọn đáp án D.
Câu 39 [282798]: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có đúng một điểm cực trị?
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số .
Ta có .
Để hàm số có đúng một điểm cực trị thì đổi dấu khi đi qua đúng một điểm.
Xét phương trình .
Khảo sát hàm số trên , ta có bảng biến thiên như sau:
204.PNG
Để đổi dấu khi đi qua đúng một điểm thì phương trình phải có đúng 1 nghiệm đơn . Kết hợp với điều kiện , ta có .
Vậy có tất cả 26 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn. Chọn đáp án B.
Câu 40 [282796]: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?
A,
B,
C,
D,
Điều kiện xác định:
Ta có bất phương trình
.
Trường hợp 1: .
Suy ra . Khi đó, trong nửa khoảng có tất cả 9 số nguyên.
Trường hợp 2:
Trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
Vậy có tất cả 9 số nguyên thỏa mãn bất phương trình. Chọn đáp án C.
Câu 41 [255888]: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng Gọi lần lượt là đường kính của hai đường tròn đáy. Biết là tứ diện đều. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi và lần lượt là trung điểm của .
Tam giác và tam giác ACD là các tam giác đều
.
Chọn đáp án C.
Câu 42 [348889]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục và nhận giá trị không âm trên thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành, trục tung và bằng
A,
B,
C,
D,
Diện tích hình phẳng cần tính là
Mà với mọi
Do đó
Đặt
Suy ra
Đặt
Do đó

Chọn đáp án D.
Câu 43 [348890]: Trong không gian cho tam giác có và đường phân giác đỉnh là Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng
A,
B,
C,
D,
10621146lg.png
Gọi là điểm đối xứng với qua
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên
Suy ra mà
Do đó
mà là trung điểm của
Suy ra
Ta có
Suy ra phương trình đường thẳng là
Vậy khoảng cách cần tìm là
Chọn đáp án A.
Câu 44 [348891]: Trên tập số phức, xét phương trình có hai nghiệm phức thoả mãn và là số thuần ảo. Khi đó bằng
A,
B,
C,
D,
Đặt
Ta có

Lại có


là số thuần ảo
Suy ra
Từ ta được


Do đó và
Vậy Chọn đáp án C.
Câu 45 [348892]: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng thỏa mãn và Giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Ta có


Đặt
Do đó


Suy ra

Mà nên
Vậy Chọn đáp án B.
Câu 46 [348893]: Cho lăng trụ tứ giác đều có tang của góc giữa hai mặt phẳng và bằng Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
10621150lg.png
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và
Theo bài ta có
Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là
Gọi là hình chiếu của trên là tâm của hình vuông
Ta có
Ta có
Dễ thấy
Ta có

Nên
Chọn đáp án B.
Câu 47 [348894]: Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của sao cho ứng với mỗi tồn tại duy nhất một giá trị thoả mãn Số phần tử của là
A, 32.
B, 31.
C, 33.
D, 34.
Ta có





Xét hàm số trên có







Dựa vào BBT của hàm số trên ta được giá trị nguyên thoả mãn bài toán.

Chọn đáp án A.
Câu 48 [348895]: Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có


TH1: suy ra
TH2:

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm
Gọi là điểm biểu diễn số phức
Khi đó
Vậy Chọn đáp án A.
Câu 49 [348896]: Trong không gian cho hai điểm Điểm thuộc mặt phẳng sao cho các đường thẳng luôn tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Biết rằng điểm luôn thuộc đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn bằng
A,
B,
C,
D,
10621154lg.png
Ta có và
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên
Khi đó
Gọi và
Do đó
Suy ra


Khi đó tập hợp điểm thoả mãn bài toán thuộc mặt cầu tâm và
Mặt khác nên thuộc đường tròn giao tuyến của và
Lại có
Vậy bán kính của đường tròn bằng
Chọn đáp án D.
Câu 50 [282807]: Cho hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
203.PNG
A,
B,
C,
D,
Xét phương trình .
Vì .
Phương trình tương đương .
Vì đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn nên và là hai nghiệm của phương trình .
Theo hệ thức Vi – ét, ta có .
Suy ra .
Xét hàm số trên .
Ta có . Phương trình .
Ta có bảng biến thiên hàm số như sau:
207.PNG
Xét phương trình .
Đồ thị hàm số có thể biến đổi từ đồ thị hàm số như sau:
Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành, bỏ đi phần đồ thị nằm dưới trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành qua trục hoành.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng Chọn đáp án B.