Đáp án
1A
2D
3C
4A
5D
6D
7A
8B
9C
10A
11C
12D
13C
14C
15D
16C
17B
18B
19D
20A
21D
22C
23D
24D
25A
26C
27D
28A
29C
30C
31C
32A
33C
34C
35D
36C
37C
38D
39B
40B
41A
42C
43D
44D
45B
46D
47D
48C
49A
50A
Đáp án Đề minh họa số 25 thi Tốt Nghiệp Trung học Phổ Thông 2024 môn Toán học
Câu 1 [185136]: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo
A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 2 [185131]: Với 
là số thực dương tuỳ ý, biểu thức 
bằng
là số thực dương tuỳ ý, biểu thức bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 3 [185117]: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 4 [511129]: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và đường cao bằng 4. Tính diện tích xung quanh 
của hình trụ.
của hình trụ. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A
+) Hình lăng trụ có độ dài đường sinh bằng đường cao nên diện tích xung quanh của hình trụ là
+) Hình lăng trụ có độ dài đường sinh bằng đường cao nên diện tích xung quanh của hình trụ là
Câu 5 [806802]: Biết 
và 
. Giá trị 
bằng
và . Giá trị bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
*
*
Câu 6 [330093]: Cho cấp số cộng 
có số hạng đầu 
và 
. Tìm công sai 
.
có số hạng đầu và . Tìm công sai . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Ta có:
.
Ta có:
.
Câu 7 [307331]: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có dạng 
. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
=kphan1.png)
. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
D, 
.
.
Chọn A
Quan sát đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Quan sát đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Câu 8 [890665]: Trên mặt phẳng tọa độ 
, điểm biểu diễn số phức 
(với 
và 
) là điểm nào dưới đây?
, điểm biểu diễn số phức (với và ) là điểm nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Ta có:
Vậy điểm biểu diễn số phức
là 
.
Ta có:
Vậy điểm biểu diễn số phức
là .
Câu 9 [317483]: Từ các chữ số 
lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau?
lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau? A, 84.
B, 168.
C, 504.
D, 252.
Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn.
Chữ số hàng chục có 8 cách chọn.
Chữ số hàng đơn vị có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có tất cả
số thỏa mãn. Chọn C
Chữ số hàng chục có 8 cách chọn.
Chữ số hàng đơn vị có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có tất cả
số thỏa mãn. Chọn C
Câu 10 [334000]: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A
Diện tích đáy
.
Chiều cao
.
Thể tích khối lăng trụ là
.
Diện tích đáy
.Chiều cao
.Thể tích khối lăng trụ là
.
Câu 11 [806529]: Một nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
Ta có
.
Một nguyên hàm của hàm số
là 
.
Ta có
.Một nguyên hàm của hàm số
là .
Câu 12 [807226]: Trong không gian với hệ trục toạ độ 
, cho ba điểm 
Tìm toạ độ trọng tâm 
của tam giác 
, cho ba điểm Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Trọng tâm
của tam giác 
là: 
Trọng tâm
của tam giác là:
Câu 13 [328895]: Gọi 
lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng
lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Câu 14 [803796]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
, phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm 
, 
là
, phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm , là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
Phương trình mặt phẳng qua các điểm
là:
.
Phương trình mặt phẳng qua các điểm
là:
.
Câu 15 [511160]: Cho hàm số 
và có bảng biến thiên như hình vẽ
Số nghiệm thực dương của phương trình
là
và có bảng biến thiên như hình vẽSố nghiệm thực dương của phương trình
là A, 3.
B, 1.
C, 4.
D, 2.
Chọn D
Ta có
Từ bảng biến thiên suy ra đường thẳng
cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
Vậy phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt.
Ta có
Từ bảng biến thiên suy ra đường thẳng
cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm trong đó có hai điểm có hoành độ dương.Vậy phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt.
Câu 16 [23328]: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
Câu 17 [330110]: Tính thể tích của khối hộp chữ nhật 
có 
.
có . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Do
. Khi đó thể tích của khối hộp chữ nhật
bằng 
.
Do
. Khi đó thể tích của khối hộp chữ nhật
bằng .
Câu 18 [502999]: Phương trình 
có nghiệm là
có nghiệm là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
.
.
Câu 19 [890667]: Trong không gian 
, mặt cầu 
có tâm 
và đi qua 
có phương trình là?
, mặt cầu có tâm và đi qua có phương trình là? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu là
.
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu là
.
Câu 20 [512601]: Cho hàm số 
liên tục trên 
và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là ?
liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là ? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A
Từ bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số
ta có hàm số 
có 2 điểm cực tiểu.
Từ bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số
ta có hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Câu 21 [503780]: Đạo hàm hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án D
Ta có
.
Ta có
.
Câu 22 [890681]: Trong không gian 
, mặt phẳng 
đi qua điểm 
và song song với mặt phẳng 
có phương trình là
, mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng có phương trình là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
Ta có: mặt phẳng 
và đi qua 
nên ptmp 
là: 
hay 
.
và đi qua nên ptmp là: hay .
Câu 23 [328884]: Cho 
(a > 0, 
). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(a > 0, ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án D
.
.
Câu 24 [317482]: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 
và 
là nghiệm?
và là nghiệm? A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
là 2 nghiệm của phương trình 
Chọn D
là 2 nghiệm của phương trình Chọn D
Câu 25 [325847]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình chữ nhật, 
Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng 
và 
có đáy là hình chữ nhật, Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng và A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án A
Kẻ
, nối S với H
Ta có:
(1)
Mà
(2)
Từ (1) và (2)
góc giữa 
và 
là 
Lại có:
Kẻ
, nối S với HTa có:
(1)Mà
(2)Từ (1) và (2)
góc giữa và là Lại có:
Vậy 
Câu 26 [511265]: Cho hình chóp đều 
có chiều cao bằng 
, cạnh bên bằng 
. Tính thể tích 
của khối chóp 
?
có chiều cao bằng , cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối chóp ? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
Gọi độ dài cạnh đáy là
, khi đó 
.
Gọi độ dài cạnh đáy là
, khi đó . Ta có 
.
Vậy
.
.Vậy
.
Câu 27 [803785]: Trong không gian 
, cho 
, 
, 
, khi đó tích vô hướng 
bằng.
, cho , , , khi đó tích vô hướng bằng. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
* Ta có
; 
.
* Khi đó
.
* Ta có
; .* Khi đó
.
Câu 28 [516432]: Tập nghiệm của bất phương trình 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A
Ta có
.
Vậy tập nghiệm bất phương trình là
.
Ta có
. Vậy tập nghiệm bất phương trình là
.
Câu 29 [513373]: Giá trị lớn nhất của hàm số 
trên 
là
trên là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
Ta có:
.
Cho
.
; 
; 
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
.
Ta có:
.Cho
.; ; .Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
.
Câu 30 [806825]: Trong không gian 
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
và 
là
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
* Ta có
.
* Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm
và 
nhận véc tơ 
làm véc tơ chỉ phương có phương trình: 
.
* Ta có
.* Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm
và nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương có phương trình: .
Câu 31 [324342]: Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng?
A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án C
Hàm số tại A triệt tiêu mẫu thức, các hàm số tại B và D mẫu thức không có nghiệm.
Hàm số tại A triệt tiêu mẫu thức, các hàm số tại B và D mẫu thức không có nghiệm.
Câu 32 [806535]: Tích phân 
bằng:
bằng: A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn A
Đặt
.
Với
, 
.
Khi đó
Đặt
.Với
, .Khi đó
Câu 33 [807235]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và 
là
và là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
* Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng 
là 
.
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và 
là:
.
* Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng là .* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và là: .
Câu 34 [527813]: Phương trình 
có bao nhiêu nghiệm?
có bao nhiêu nghiệm? A, 4.
B, 3.
C, 2.
D, 1.
Chọn C
Điều kiện
(*)
Ta có
.
Kết hợp điều kiện (*) suy ra phương trình có các nghiệm
.
Điều kiện
(*) Ta có
. Kết hợp điều kiện (*) suy ra phương trình có các nghiệm
.
Câu 35 [803813]: Số giá trị nguyên của tham số 
để hàm số 
đồng biến trên 
là
để hàm số đồng biến trên là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Tập xác định
Ta có
.
Để hàm số
đồng biến trên 
.
Vì
.
Tập xác định
Ta có
.Để hàm số
đồng biến trên .Vì
.
Câu 36 [309639]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
có đạo hàm . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn C
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên đoạn
.
Do đó
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên đoạn
.Do đó
Câu 37 [503593]: Một lớp có 
đoàn viên trong đó có 
nam và 
nữ. Chọn ngẫu nhiên 
đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại 
tháng 
. Tính xác suất để trong 
đoàn viên được chọn có cả nam và nữ.
đoàn viên trong đó có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại tháng . Tính xác suất để trong đoàn viên được chọn có cả nam và nữ. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án C
Chọn 3 đoàn viên bất kỳ trong 35 em có
cách.
Chọn 3 đoàn viên toàn nam hoặc 3 đoàn viên toàn nữ có
cách.
Như vậy để có cả nam và nữ thì có
cách chọn.
Xác suất cần tính là
.
Chọn 3 đoàn viên bất kỳ trong 35 em có
cách.Chọn 3 đoàn viên toàn nam hoặc 3 đoàn viên toàn nữ có
cách.Như vậy để có cả nam và nữ thì có
cách chọn.Xác suất cần tính là
.
Câu 38 [318880]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
để phương trình 
có ít nhất hai nghiệm phân biệt
để phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt A, 
.
.B, 
C, 
D, 
Chọn D
Đặt
, điều kiện: 
.
Phương trình đã cho trở thành:
.
Xét hàm số
với 
và 
.
Để phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
và 
cắt nhau ít nhất tại 2 điểm phân biệt.
.
.
Bảng biến thiên:
Chọn D
Đặt
, điều kiện: 
.
Phương trình đã cho trở thành:
.
Xét hàm số
với 
và 
.
Để phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
và 
cắt nhau ít nhất tại 2 điểm phân biệt.
.
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy yêu bài toán tương đương
m=3;
m=5
Đặt
, điều kiện: .Phương trình đã cho trở thành:
.Xét hàm số
với và .Để phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
và cắt nhau ít nhất tại 2 điểm phân biệt.. .Bảng biến thiên:
Chọn D
Đặt
, điều kiện: .Phương trình đã cho trở thành:
.Xét hàm số
với và .Để phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số
và cắt nhau ít nhất tại 2 điểm phân biệt.. .Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy yêu bài toán tương đương
m=3;m=5
Câu 39 [503032]: Cho hàm số 
. Tính tổng các giá trị của tham số 
để 
.
. Tính tổng các giá trị của tham số để . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Tập xác định:
.
Ta có
+) Nếu
thì 
khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
+) Nếu
thì hàm số đã cho đồng biến (hoặc nghịch biến) trên 
.
Khi đó
(thỏa mãn 
).
Vậy tổng các giá trị của tham số
bằng 
.
Tập xác định:
.Ta có
+) Nếu
thì khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.+) Nếu
thì hàm số đã cho đồng biến (hoặc nghịch biến) trên .Khi đó
(thỏa mãn ).Vậy tổng các giá trị của tham số
bằng .
Câu 40 [790190]: Cho hình lăng trụ đứng 
có đáy 
là tam giác vuông có 
. Gọi 
là trung điểm cạnh 
. Tính theo 
khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
có đáy là tam giác vuông có . Gọi là trung điểm cạnh . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Lời giải: Ta có: 
Tách chóp
áp dụng công thức 1-ckh ta có
trong đó 
và 
nên 
Suy ra
Chọn B.
Câu 41 [228141]: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 
( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm 
thoả mãn 
. Tính tổng các phần tử của tập S.
( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm thoả mãn . Tính tổng các phần tử của tập S. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A
Ta có:
TH1:
. 
TH2:
.
, 
Ta có:
TH1:
.
TH2:
.
, Vậy 
.
.
Câu 42 [507477]: Cho hàm số 
xác định và liên tục trên 
. Gọi 
là một nguyên hàm của hàm số 
. Biết 
và 
. Tích phân 
bằng
xác định và liên tục trên . Gọi là một nguyên hàm của hàm số . Biết và . Tích phân bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn C
là một nguyên hàm của 
.
Đặt
.
là một nguyên hàm của .Đặt
.
Câu 43 [227486]: Cho hàm số 
có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hỏi hàm số 
có bao nhiêu điểm cực tiểu
có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểuA, 1.
B, 2.
C, 4.
D, 3.
Đáp án: D
Câu 44 [975839]: Trong không gian 
cho hai điểm 
và 
. Điểm 
thuộc mặt phẳng 
sao cho các đường thẳng 
luôn tạo với mặt phẳng 
các góc bằng nhau. Biết rằng điểm 
luôn thuộc đường tròn 
cố định. Tính bán kính 
của đường tròn 
.
cho hai điểm và . Điểm thuộc mặt phẳng sao cho các đường thẳng luôn tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Biết rằng điểm luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Cách 1.
Gọi
.
Do các đường thẳng
luôn tạo với mặt phẳng 
các góc bằng nhau nên ta có 
.
Ta có
.
Như vậy, điểm
thuộc mặt cầu 
tâm 
và bán kính 
.
Ta thấy
.
Mà
thuộc mặt phẳng 
nên 
thuộc đường tròn 
là giao tuyến của mặt phẳng 
và mặt cầu 
.
Khi đó bán kính của đường tròn
là 
.
Cách 2.
Do
.
Do các đường thẳng
luôn tạo với mặt phẳng 
các góc bằng nhau nên ta có 
.
Ta có
.
Suy ra
thuộc đường tròn 
có tâm 
, bán kính 
.
Cách 1.
Gọi
.Do các đường thẳng
luôn tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau nên ta có .Ta có
.Như vậy, điểm
thuộc mặt cầu tâm và bán kính .Ta thấy
.Mà
thuộc mặt phẳng nên thuộc đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu .Khi đó bán kính của đường tròn
là .Cách 2.
Do
.Do các đường thẳng
luôn tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau nên ta có .Ta có
.Suy ra
thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
Câu 45 [807249]: Cho hình lăng trụ 
có thể tích bằng 
. Gọi 
là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh 
sao cho 
là trung điểm của 
và 
. Đường thẳng 
cắt đường thẳng 
tại điểm 
, đường thẳng 
cắt đường thẳng 
tại 
. Tính thể tích của khối đa diện 
bằng
có thể tích bằng . Gọi là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh sao cho là trung điểm của và . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại . Tính thể tích của khối đa diện bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Đặt
và 
ta có 
.
Trong mặt phẳng
ta có 
nên ta có 
là trung điểm của 
.
Tương tự trong mặt mặt phẳng
ta có 
.
Từ đây ta có diện tích tam giác
là 
do vậy thể tích khối tứ diện 
là 
.
Trong khối lăng trụ
ta có 
suy ra
do đó thể tích khối 
bằng 
.
Do vậy thể tích của khối đa diện
bằng 
.
Đặt
và ta có .Trong mặt phẳng
ta có nên ta có là trung điểm của .Tương tự trong mặt mặt phẳng
ta có .Từ đây ta có diện tích tam giác
là do vậy thể tích khối tứ diện là .Trong khối lăng trụ
ta có suy ra do đó thể tích khối bằng .Do vậy thể tích của khối đa diện
bằng .
Câu 46 [234263]: Cho hàm số 
Biết rằng hàm số 
có bảng biến thiên như sau
Biết rằng hàm số có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và 
thuộc khoảng nào dưới đây?
và thuộc khoảng nào dưới đây?A, 
B, 
C, 
D, 
a
Câu 47 [998203]: Xét các số thực dương 
thỏa mãn 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Biến đổi giả thiết ta có: 
Xét hàm đặc trưng 
ta có: 
ta có: Suy ra 
, mặt khác 
(Bất đẳng thức 
)
, mặt khác
(Bất đẳng thức ) Khi đó 
Dấu bằng xảy ra khi 
Chọn D.
Chọn D.
Câu 48 [151179]: Xét các số phức 
, 
thỏa mãn 
, 
. Giá trị nhỏ nhất của 
bằng
, thỏa mãn , . Giá trị nhỏ nhất của bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Câu 49 [971334]: Cho hàm số 
có đạo hàm 
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số 
để hàm số 
có ít nhất 3 điểm cực trị
có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 50 [227753]: Trong không gian 
, cho điểm 
và 
và mặt phẳng 
. Gọi 
, 
là hai điểm thuộc 
sao cho 
. Tọa độ điểm 
khi 
đạt giá trị nhỏ nhất là
, cho điểm và và mặt phẳng . Gọi , là hai điểm thuộc sao cho . Tọa độ điểm khi đạt giá trị nhỏ nhất là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A.
Ta nhận thấy
nằm cùng phía so với 
.
Gọi
lần lượt là hình chiếu của 
trên 
, 
là điểm đối xứng của 
qua 
.
Dễ dàng tính được
, 
và 
.
Gọi điểm
thỏa 
, suy ra 
khi đó 
nằm trên đường tròn 
có tâm 
, bán kính 
và nằm trên mp 
(qua 
và song song với 
).
Ta có
.
Gọi
là hình chiếu của 
lên 
.
Khi đó
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có
, dấu xảy ra khi 
, 
, 
theo thứ tự đó thẳng hàng hay 
cùng hướng với 
và 
là giao điểm của 
với 
.
Ta nhận thấy
nằm cùng phía so với .
Gọi
lần lượt là hình chiếu của trên , là điểm đối xứng của qua .Dễ dàng tính được
, và .
Gọi điểm
thỏa , suy ra khi đó nằm trên đường tròn có tâm , bán kính và nằm trên mp (qua và song song với ).
Ta có
.
Gọi
là hình chiếu của lên .
Khi đó
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có
, dấu xảy ra khi , , theo thứ tự đó thẳng hàng hay cùng hướng với và là giao điểm của với . Ta có 
.
. Do vậy 
.
.