Đáp án
1A
2D
3D
4C
5B
6B
7C
8C
9D
10C
11D
12C
13B
14C
15C
16A
17B
18B
19B
20A
21A
22D
23C
24B
25C
26A
27B
28B
29B
30D
31C
32A
33B
34A
35B
36B
37D
38C
39B
40B
41B
42B
43D
44D
45A
46A
47B
48
49D
50C
Đáp án Đề minh họa số 28 thi Tốt Nghiệp Trung học Phổ Thông 2024 môn Toán học
Câu 1 [257385]: Với là số thực tùy ý khác bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án A.
Câu 2 [257386]: Cho hai số phức và Số phức bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án D.
Câu 3 [257403]: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
A,
B,
C,
D,
Ta có . Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN là . Chọn đáp án D.
Câu 4 [257387]: Số cách chọn học sinh từ học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó là
A,
B,
C,
D,
Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh để phân công làm tổ trưởng và tổ phó (có thứ tự) là cách chọn. Chọn đáp án C.
Câu 5 [257388]: Trong không gian mặt cầu có tọa độ tâm và bán kính là
A,
B,
C,
D,
Ta có phương trình mặt cầu .
Vậy mặt cầu có tâm và bán kính . Chọn đáp án B.
Câu 6 [257389]: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số có , suy ra hàm số nghịch biến trên . Chọn đáp án B.
Câu 7 [257390]: Cho cấp số nhân có Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Cấp số nhân có . Lại có . Chọn đáp án C.
Câu 8 [257391]: Trong không gian vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
A,
B,
C,
D,
Đường thẳng có một vecto chỉ phương là . Chọn đáp án C.
Câu 9 [257399]: Nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Xét phương trình . Chọn đáp án D.
Câu 10 [257392]: bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án C.
Câu 11 [257395]: Cho hàm số liên tục trên và có bảng xét dấu của như sau
284.PNG
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?
A,
B,
C,
D,
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy đối dấu từ sang khi đi qua các điểm và , đồng thời cũng liên tục tại .
Vậy hàm số có 2 điểm cực đại. Chọn đáp án D.
Câu 12 [257393]: Trong không gian đường thẳng đi qua hai điểm có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Đường thẳng đi qua hai điểm nên có một vecto chỉ phương là Khi đó phương trình đường thẳng đi qua và là:
Chọn đáp án C.
Câu 13 [257394]: Cho hàm số bậc ba Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho có thể là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
279.PNG
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số có .
Ta có .
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm và một điểm có hoành độ dương, suy ra và . Vậy chỉ có đáp án B thoả mãn. Chọn đáp án B.
Câu 14 [257396]: Trong không gian cho vectơ Độ dài của vectơ bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có độ dài của vecto bằng . Chọn đáp án C.
Câu 15 [257400]: Số nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Điều kiện xác định .
Ta có phương trình Vậy phương trình có 1 nghiệm thực. Chọn đáp án C.
Câu 16 [257401]: Thể tích của một khối lập phương bằng độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là .
Thể tích của khối lập phương là . Chọn đáp án A.
Câu 17 [257402]: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy chiều cao là
A,
B,
C,
D,
Thể tích của khối chóp đã cho bằng . Chọn đáp án B.
Câu 18 [257404]: Hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và Tích phân bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án B.
Câu 19 [257412]: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là
280.PNG
A,
B,
C,
D,
Xét phương trình .
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt và khác 2 nghiệm của phương trình .
Vậy phương trình có tổng cộng 5 nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án B.
Câu 20 [349429]: Cho hàm số với là các hằng số. Biết rằng đồ thị hàm số đi qua các điểm Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị hàm số đã cho?
A,
B,
C,
D,
Vì thuộc đồ thị hàm số
Nên suy ra
Vì thuộc đồ thị hàm số
Nên suy ra
Vậy
Chọn đáp án A
Câu 21 [257405]: Biết là một nguyên hàm của hàm số Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số ?
A,
B,
C,
D,
Ta có .
Vì là một nguyên hàm của hàm số nên .
Suy ra . Vậy là một nguyên hàm của hàm số . Chọn đáp án A.
Câu 22 [257406]: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có tung độ bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành . Khi đó giao điểm có hoành độ bằng và tung độ bằng . Chọn đáp án B.
Câu 23 [257408]: Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy độ dài đường sinh là
A,
B,
C,
D,
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là . Chọn đáp án C.
Câu 24 [257409]: Tính đạo hàm của hàm số
A,
B,
C,
D,
Ta có đạo hàm của hàm số là .
Suy ra . Chọn đáp án B.
Câu 25 [257410]: Trong không gian mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là . Chọn đáp án C.
Câu 26 [257411]: Phương trình có ba nghiệm phức phân biệt và là các điểm biểu diễn số phức đó trên mặt phẳng phức. Trọng tâm tam giác có tọa độ là
A,
B,
C,
D,
Xét phương trình .
Suy ra toạ độ các điểm .
Trọng tâm của tam giác có toạ độ là . Chọn đáp án A.
Câu 27 [257397]: Cho hàm số có đạo hàm Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Xét phương trình . Từ đó ta có bảng xét dấu :
227.PNG
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . Chọn đáp án B.
Câu 28 [257414]: Tìm số phức biết
A,
B,
C,
D,
Ta có phương trình . Chọn đáp án B.
Câu 29 [257415]: Cho hình nón có bán kính đáy bằng mặt xung quanh của hình nón khi trải ra trên một mặt phẳng có dạng một nửa hình tròn. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Trải mặt xung quanh của hình nón ra trên một mặt phẳng có dạng một nửa hình tròn, khi đó ta nhận thấy rằng độ dài bán kính đường tròn chính bằng độ dài đường sinh của hình nón.
228.PNG
Và ta có . Chọn đáp án B.
Câu 30 [257416]: Cho với Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có .
Khi đó ta có . Chọn đáp án D.
Câu 31 [257418]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có .
Vì đường thẳng song song với mặt phẳng nên .
Ta có . Kẻ hay .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác : .
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Chọn đáp án C.
229.PNG
Câu 32 [349430]: Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau:
10621579.png
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 33 [257419]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Điều kiện xác định: .
Ta có bất phương trình .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là Chọn đáp án B.
Câu 34 [257420]: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại và Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
281.PNG
A,
B,
C,
D,
Ta có và . Chọn đáp án A.
Câu 35 [257413]: Một đội thanh niên tình nguyện của trường gồm có học sinh nam và học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên học sinh để cùng các giáo viên tham gia đo thân nhiệt cho học sinh khi đến trường. Xác suất để chọn được học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi là biến cố “chọn được học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ”.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Chọn học sinh trong đó số học sinh nam bằng số học sinh nữ tức là chọn 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Khi đó số phần tử của tập hợp là .
Xác suất của biến cố là . Chọn đáp án B.
Câu 36 [349431]: Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn với mọi Biết là nguyên hàm của thoả mãn Tính
A,
B,
C,
D,
Lấy tích phân cận từ đến của giả thiết, ta được




Chọn đáp án B
Câu 37 [257421]: Trong không gian cho điểm và đường thẳng Đường thẳng đi qua cắt và vuông góc với trục hoành có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Gọi đường thẳng cắt tại , ta có .
Vì và cùng phương với vecto .
Phương trình đường thẳng đi qua và nhận vecto làm một vecto chỉ phương là: Chọn đáp án D.
Câu 38 [257422]: Cho số phức thỏa mãn Môđun của bằng
A,
B,
C,
D,
Đặt , từ phương trình , ta có: .
Khi đó ta có , suy ra môđun của bằng . Chọn đáp án C.
Câu 39 [349432]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?
A, 11.
B, 10.
C, 13.
D, 12.
Ta có


TH1: Với suy ra với
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên loại.
TH2: Với suy ra
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Yêu cầu bài toán
TH3: Với suy ra
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Yêu cầu bài toán
Vậy mà nên có giá trị nguyên cần tìm.
Chọn đáp án B
Câu 40 [255885]: Có tất cả bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn
A,
B,
C,
D,
Điều kiện:
Ta có
Xét hàm số trên , ta có
Suy ra đồng biến trên . Từ đó ta có phương trình
Xét hàm số trên , ta có
358.PNG
Phương trình có nghiệm . Lại có .
Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của m. Chọn đáp án B.
Câu 41 [257424]: Trong không gian cho điểm đường thẳng và mặt phẳng Điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng Tính
A,
B,
C,
D,
Gọi .
Vì . Khi đó ta có .
Phương trình đường thẳng đi qua và nhận vecto làm một VTCP là:.
Gọi tọa độ của điểm là , vì nên ta có: . Suy ra .
Khi đó ta có . Chọn đáp án B.
Câu 42 [257427]: Cho hình nón đỉnh có đáy là đường tròn tâm thiết diện qua trục là tam giác đều. Mặt phẳng đi qua và cắt đường tròn đáy tại sao cho Biết khoảng cách từ đến bằng Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi là trung điểm của , lại có nên .
Kẻ hay .
Tam giác cân tại có .
Thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều nên .
232.PNG
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác , ta có:
.
Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng .
Chọn đáp án B.
Câu 43 [257425]: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số để có đúng hai số phức thỏa mãn điều kiện và ?
A,
B, Vô số.
C,
D,
Đặt , từ . .
Ta có hệ phương trình .
Số nghiệm của hệ phương trình là số giao điểm của và trên cùng hệ trục tọa độ .
230.PNG
Dựa vào đồ thị, ta thấy chỉ có 2 giá trị thỏa mãn hệ phương trình có đúng 2 nghiệm là và . Chọn đáp án D.
Câu 44 [349433]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có


Đặt suy ra
nên
Mà suy ra
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là

Vậy diện tích cần tính là
Chọn đáp án D
Câu 45 [257429]: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại góc giữa hai mặt phẳng và bằng Gọi lần lượt là trung điểm của và Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
A,
B,
C,
D,
Kẻ cắt tại cắt tại . Do đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng với lăng trụ là tứ giác .
Ta có song song và bằng nên là trung điểm của
Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có .
Ta có tam giác vuông cân tại nên
Do đó . . . Khi đó ta có ; . Suy ra .
Do đó thể tích phần nhỏ là . Chọn đáp án A.
233.PNG
Câu 46 [257430]: Cho hai hàm số và trong đó đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi có bao nhiêu số nguyên để phương trình có đúng nghiệm phân biệt?
283.PNG
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số có .
Xét phương trình .
Ta có bảng ghép trục như sau:
234.PNG
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt . Mà
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Câu 47 [349434]: Xét hai số phức và có đồng thời là số thực. Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Tính
A,
B,
C,
D,
Đáp án: B
Câu 48 [352580]: Cho hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên. Khi diện tích miền kẻ sọc bằng thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và bằng
Đáp án:
Câu 49 [257433]: Cho hai số thực thỏa mãn và Khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì thuộc khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Ta có

, với .
Xét hàm số trên .
Bằng cách khảo sát hàm số, ta có .
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi
Vậy giá trị của bằng Chọn đáp án D.
Câu 50 [257434]: Trong không gian cho đường thẳng Gọi là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với đường thẳng và trục Cho lần lượt là các điểm thay đổi trên trục và đường thẳng sao cho luôn tiếp xúc với mặt cầu tại Khi đó luôn thuộc một mặt phẳng cố định có vectơ pháp tuyến là
A,
B,
C,
D,
Gọi tâm của mặt cầu là .
Để ý rằng 3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với đường thẳng và trục là mặt cầu tâm và có bán kính .
Lúc này khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và là bằng nhau.
Ta có .
Vậy điểm luôn thuộc một mặt phẳng cố định có vectơ pháp tuyến là Chọn đáp án C.