Đáp án
1D
2A
3A
4B
5B
6D
7B
8A
9A
10D
11C
12D
13A
14B
15B
16B
17D
18B
19D
20C
21A
22D
23B
24D
25B
26D
27B
28A
29A
30A
31A
32B
33C
34B
35B
36C
37D
38C
39C
40C
41C
42
43C
44
45D
46D
47B
48B
49D
50B
Đáp án Đề minh họa số 30 thi Tốt Nghiệp Trung học Phổ Thông 2024 môn Toán học
Câu 1 [257435]: Đạo hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Ta có công thức đạo hàm .
Suy ra đạo hàm của hàm số là . Chọn đáp án D.
Câu 2 [257436]: Rút gọn biểu thức với ta được kết quả là
A,
B,
C,
D,
Chú ý .
Biến đổi biểu thức . Chọn đáp án A.
Câu 3 [257437]: Họ các nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Ta có họ các nguyên hàm của hàm số là: . Chọn đáp án A.
Câu 4 [257438]: Cho cấp số nhân có và Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Cấp số nhân có . Chọn đáp án B.
Câu 5 [257439]: Số nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Điều kiện xác định: .
Ta có phương trình .
Vậy phương trình có 1 nghiệm thực. Chọn đáp án B.
Câu 6 [257445]: Trên mặt phẳng tọa độ điểm biểu diễn của số phức có tọa độ là
A,
B,
C,
D,
Ta có số phức . Vậy điểm biểu diễn của số phức trên mặt phẳng toạ độ là Chọn đáp án D.
Câu 7 [257440]: Đồ thị trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
285.PNG
A,
B,
C,
D,
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số có dạng .
Đồ thị hàm số có các đường TCĐ và TCN lần lượt là và .
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm . Đối chiếu các điều kiện, chỉ có hàm số thoả mãn. Chọn đáp án B.
Câu 8 [257441]: Với là hai số thực dương bất kỳ, bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án A.
Câu 9 [257442]: Trong không gian cho mặt phẳng Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
A,
B,
C,
D,
Mặt phẳng có một vecto pháp tuyến là . Chọn đáp án A.
Câu 10 [257443]: Trong không gian cho hình bình hành với Tọa độ đỉnh là
A,
B,
C,
D,
Vì tứ giác là hình bình hành . Vậy toạ độ của điểm là Chọn đáp án D.
Câu 11 [257444]: Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và chiều cao bằng Thể tích của khối chóp đó bằng
A,
B,
C,
D,
Thể tích của khối chóp đó bằng . Chọn đáp án C.
Câu 12 [257446]: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng
A,
B,
C,
D,
Mọi điểm trên trục tung đều có hoành độ bằng 0.
Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0. Chọn đáp án D.
Câu 13 [257447]: Biết là một nguyên hàm của hàm số và Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Vì nên .
Khi đó và . Chọn đáp án A.
Câu 14 [257448]: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận đứng?
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số có nên đồ thị hàm số có 1 TCĐ là . Chọn đáp án B.
Câu 15 [257449]: Có bao nhiêu cách chọn ra học sinh từ một nhóm gồm học sinh?
A,
B,
C,
D,
Số cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm gồm 40 học sinh là Chọn đáp án B.
Câu 16 [257450]: Trong không gian cho đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Đặt . Vậy phương trình tham số của đường thẳng là Chọn đáp án B.
Câu 17 [257451]: Cho số phức Phần thực của số phức bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Vậy phần thực của số phức bằng . Chọn đáp án D.
Câu 18 [257452]: Cho hàm số Khẳng định nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Ta có Chọn đáp án B.
Câu 19 [257453]: Một hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
A,
B,
C,
D,
Diện tích xung quanh của hình nón đó là . Chọn đáp án D.
Câu 20 [257454]: Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau
286.PNG
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và . Chọn đáp án C.
Câu 21 [257455]: Cho hai số phức và Số phức là
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án A.
Câu 22 [257464]: Trong không gian cho hai điểm Tọa độ trọng tâm của tam giác là
A,
B,
C,
D,
Chú ý: Trọng tâm của tam giác có tọa độ là .
Áp dụng công thức, tọa độ trọng tâm của tam giác là Chọn đáp án D.
Câu 23 [257456]: Cho hàm số bậc ba Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A,
B,
C,
D,
Chú ý: Đồ thị hàm số có được từ đồ thị hàm số bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành qua trục hoành và bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành.
Để làm nhanh câu này ta nên sử dụng phác họa đồ thị.
Vì phương trình có 3 nghiệm đơn và nên ta dễ dàng phác họa đồ thị hàm số như sau:
235.PNG
Suy ra ta có đồ thị hàm số :
236.PNG
Nhìn vào đồ thị hàm số, ta dễ dàng thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn đáp án B.
Câu 24 [349140]: Tổng các nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Điều kiện:
Ta có


Đối chiếu với điều kiện, ta được
Chọn đáp án D.
Câu 25 [257458]: Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước là và khối hộp chữ nhật có ba kích thước là Tỉ số bằng
A,
B,
C,
D,
Thể tích của khối hộp là .
Thể tích của khối hộp là .
Khi đó tỉ số bằng Chọn đáp án B.
Câu 26 [257459]: Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng là
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số .
Tập xác định của hàm số là: .
Ta có đạo hàm của hàm số là
.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng

.
Chọn đáp án D.
Câu 27 [257460]: Cho hình chữ nhật có Diện tích toàn phần của hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật quanh cạnh bằng
A,
B,
C,
D,
Quay hình chữ nhật quanh cạnh ta được hình trụ với .
Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là . Chọn đáp án B.
Câu 28 [257461]: Các số thực thỏa mãn với là đơn vị ảo là
A,
B,
C,
D,
Ta có đẳng thức . Chọn đáp án A.
Câu 29 [289870]: Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị gồm một phần parabol hợp với một đoạn thẳng như hình vẽ bên. Tính tích phân
A,
B,
C,
D,
Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên các khoảng và
Suy ra



Chọn đáp án A.
Câu 30 [257463]: Giá trị thực của tham số để đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số có đạo hàm .
Khi đó ta tìm được các điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là và .
Đường thẳng .
Đường thẳng có vecto chỉ phương là .
Suy ra để đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì . Chọn đáp án A.
Câu 31 [257465]: Trong không gian cho hai điểm và Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Gọi là trung điểm của , khi đó ta có tọa độ của là .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua và có một vecto pháp tuyến là . Suy ra phương trình của mặt phẳng cần tìm là: . Chọn đáp án A.
Câu 32 [257469]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Ta có bất phương trình .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . Chọn đáp án B.
Câu 33 [257472]: Từ một khối gỗ dạng khối lăng trụ đứng có và chiều cao người ta tiện để thu được một khối trụ có cùng chiều cao với khối gỗ ban đầu và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác Thể tích của khối trụ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Ta thấy nên tam giác vuông tại
Bán kính nội tiếp tam giác là . Khối trụ thu được có chiều cao chính bằng chiều cao khối lăng trụ và có bán kính đáy bằng bán kính nội tiếp tam giác .
Thể tích của khối trụ là . Chọn đáp án C.
Câu 34 [257467]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Gọi là tâm của hình vuông , suy ra , lại có .
Khi đó, ta có và .
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Chọn đáp án B.
237.PNG
Câu 35 [349141]: Trong không gian biết rằng đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm Toạ độ của là
A,
B,
C,
D,
Ta có
Lại có nên suy ra

Vậy toạ độ của điểm là
Chọn đáp án B.
Câu 36 [257473]: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
287.PNG
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có .
Ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên đoạn nên .
Với .
Lại có , suy ra .
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn , suy ra . Chọn đáp án C.
Câu 37 [257471]: Cho hàm số Tích phân bằng
A,
B,
C,
D,
Ta có . Chọn đáp án D.
Câu 38 [289714]: Cần cho thêm bao nhiêu gam đường vào 1200 gam dung dịch chứa 144 gam đường để nồng độ dung dịch tăng thêm 8%?
A, 100 gam.
B, 110 gam.
C, 120 gam.
D, 130 gam.
Nồng độ dung dịch hiện tại là
Gọi khối lượng đường cần thêm vào là gam.
Ta có

(gam).
Vậy cần thêm gam đường.
Chọn đáp án C.
Câu 39 [349142]: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thoả mãn ?
A,
B,
C,
D,
Ta có
TH1: Với
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt
Áp dụng hệ thức Viet, ta được
Suy ra là hai nghiệm dương phân biệt
(TMĐK).
TH2: Với
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt
Suy ra mà
Lại có
Do đó (TMĐK).
Vậy có hai giá trị của tham số thoả mãn bài toán.
Chọn đáp án C.
Câu 40 [349143]: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?
A,
B,
C,
D,
Điều kiện:
Ta có






TH1:

TH2:

Kết hợp với điều kiện, ta được
Vậy có tất cả số nguyên thoả mãn bài toán.
Chọn đáp án C.
Câu 41 [349144]: Trong không gian cho điểm Có bao nhiêu đường thẳng qua cắt mặt phẳng tại và cắt trục tại điểm sao cho là ba đỉnh của một tam giác vuông cân?
A,
B,
C,
D,
Ta có
Lại có vuông cân
Gọi và với
Do đó
Vì thẳng hàng nên
và
Suy ra
Và
Đối chiếu điều kiện, ta được
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án C.
Câu 42 [349145]: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng
Đáp án:
Câu 43 [257478]: Cho hàm số có hai điểm cực trị là và Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng
A,
B,
C,
D,
Xét hàm số có .
Hàm số có hai điểm cực trị là và suy ra .
Khi đó ta có và hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là và . Đường thẳng đi qua hai điểm và là:
.
Vậy .
Xét phương trình .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng . Chọn đáp án C.
Câu 44 [352581]: Xét các số phức thoả mãn và là số thực. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính
Đáp án:
Câu 45 [257479]: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng chiều cao bằng Trên hai đường tròn đáy tâm và lần lượt lấy hai điểm sao cho góc giữa hai đường thẳng và bằng Cắt mặt trụ bởi mặt phẳng song song với trục, đi qua được thiết diện có diện tích bằng
A,
B,
C,
D,
Đáp án: D
Câu 46 [257480]: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
288.PNG
Gọi là một nguyên hàm của Số điểm cực đại của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Ta dễ dàng tìm được . Ta có phương trình .
Vì là một nguyên hàm của nên .
Xét hàm số có đạo hàm .
Ta có phương trình .
Suy ra hàm số không xác định tại các điểm .
Xét phương trình . Phương trình .
Phương trình .
Ta có các phương trình mỗi phương trình đều có 3 nghiệm thực phân biệt.
Suy ra phương trình có tổng cộng 9 nghiệm thực phân biệt.
Khi đó, ta thấy đổi dấu khi đi qua 11 điểm. Lại có .
Suy ra hàm số có 5 điểm cực đại và 6 điểm cực tiểu. Chọn đáp án D.
Câu 47 [257482]: Cho các số nguyên dương lớn hơn Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A,
B,
C,
D,
Từ phương trình , lấy logarit cơ số hai vế, ta được:
. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, khi đó .
Vì nên .
Tương tự với phương trình . .
Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: .
Vì suy ra . Khi đó ta có .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng . Chọn đáp án B.
Câu 48 [257474]: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, Biết góc giữa mặt phẳng và mặt đáy bằng Thể tích khối chóp bằng
A,
B,
C,
D,
Vì tứ giác là hình thoi có nên tam giác là tam giác đều cạnh .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Do nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với tâm ngoại tiếp tam giác hay ta có .
Ta có .
Suy ra hay tam giác vuông cân tại . Khi đó ta có .
Thể tích khối chóp bằng . Chọn đáp án B.
238.PNG
Câu 49 [257483]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng thuộc khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Ta có
.
Nhân 2 vế của phương trình với , ta được phương trình:
.
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình, ta được: . Lại có
Suy ra .
Khảo sát hàm số trên , ta tìm được Chọn đáp án D.
Câu 50 [257484]: Trong không gian cho mặt phẳng đường thẳng và hai điểm Hai điểm thuộc mặt phẳng sao cho và Tìm giá trị lớn nhất của đoạn
A,
B,
C,
D,
Gọi đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm .
Vì . Khi đó ta có .
Lại có nên thuộc đường tròn tâm có bán kính .
Gọi tọa độ của điểm là
Ta có
.
Suy ra thuộc đường tròn tâm và có bán kính .
Khi đó ta có nên hai đường tròn tâm và nằm ngoài nhau.
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi thẳng hàng. Vậy giá trị lớn nhất của đoạn bằng Chọn đáp án B.