Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [755166]: Trong không gian , tâm của mặt cầu có tọa độ là
A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Chọn A .

Tâm của mặt cầu có tọa độ là .

Đáp án: A
Câu 2 [755443]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu Bán kính của mặt cầu bằng:
A,
B,
C,
D,
Ta viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng
Do đó bán kính mặt cầu là Đáp án: D
Câu 3 [395558]: Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và bán kính Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn A
Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là:

Do đó phương trình mặt cầu là: Đáp án: A
Câu 4 [543814]: Trong không gian , mặt cầu có tâm và đi qua điểm có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Mặt cầu có tâm và đi qua điểm .
Bán kính .
Phương trình mặt cầu là: . Đáp án: A
Câu 5 [543229]: Trong không gian , phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm là
A, .
B, .
C, .
D, .
Ta có . Gọi là mặt cầu tâm và có bán kính Phương trình . Đáp án: D
Câu 6 [544720]: Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình . Tìm tọa độ tâm và bán kính .
A, và .
B, và .
C, và .
D,
và .

Chọn D.
Mặt cầu có phương trình .
Tìm tọa độ tâm và . Đáp án: D
Câu 7 [542960]: Trong mặt phẳng , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu ?
A,
B,
C,
D,
Chọn C
Ta có phương trình mặt cầu có dạng , với điều kiện nên chọn đáp án C Đáp án: C
Câu 8 [755199]: Trong không gian , cho hai điểm và . Mặt cầu đường kính có phương trình là
A, .
B,
C, .
D, .
Chọn C.
Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn .
Bán kính mặt cầu là .
Vậy phương trình mặt cầu là . Đáp án: C
Câu 9 [399917]: Trong không gian mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Chọn D.
Có
suy ra Đáp án: D
Câu 10 [57455]: Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục . phương trình mặt cầu là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.

Suy ra phương trình mặt cầu có dạng
Vì nên ta có hệ phương trình
Vậy phương trình mặt cầu Đáp án: C
Câu 11 [544704]: Cho mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu tâm cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng .
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn D.26.png
Ta có: .
.
Vậy . Đáp án: D
Câu 12 [399929]: Trong không gian , cho điểm Mặt cầu có tâm thuộc trục , đi qua đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng có bán kính là
A,
B,
C,
D,
Chọn B
Gọi tâm của mặt cầu là
Vì mặt cầu đi qua điểm nên
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên
Do đó,

Vậy bán kính của mặt cầu là Đáp án: B
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a),b),c),d) ở mỗi câu học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [778846]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng
a) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
b) Đúng.
Vì nên sẽ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm một vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng là
c) Sai.
Phương trình tham số của đường thẳng là
Vì là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng nên
Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng nên

Vậy tung độ của điểm bằng 3.
d) Đúng.
Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm và có bán kính Suy ra phương trình mặt cầu cần tính là
Câu 14 [778847]: Trong không gian toạ độ với là tâm trái đất, bề mặt trái đất có phương trình là Giả sử một thiết bị GPS được đặt trên mặt đất và ta xác định được khoảng cách từ nó đến ba vệ tinh tương ứng là Tại thời điểm đó, các vệ tinh trên ở vị trí có toạ độ và Giả sử tại thời điểm đã cho, thiết bị GPS ở vị trí
a) Sai.

b) Đúng.
Vì thuộc bề mặt trái đất nên ta có
Từ giả thiết, ta có
c) Đúng.
d) Sai.
Câu 15 [680751]: Các thiên thạch có đường kính lớn hơn và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 000 km . Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm đến điểm

a) Đúng.
Ta có . Chọn .
Khi đó, phương trình .
b) Sai.
Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu .
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình



Ta có
Suy ra: Điểm gặp đầu tiên là .
c) Đúng.

Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 000 km nên khoảng cách
d) Đúng.
(phút)
Câu 16 [696431]: Hải đăng là một ngọn tháp (nhà hoặc khung) được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính, hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Vào năm 293 trước Công nguyên, ngọn hải đăng đầu tiên đã được người Phoenicia xây dựng trên hòn đảo Pharos tại Alexandria. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng , trục hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao mét so với mực nước biển (hình vẽ bên dưới) biết đỉnh ở vị trí , biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.
a) Sai.
Vì đỉnh là và có bán kính phủ sóng
Phương trình mặt cầu tâm bán kính là .
b) Sai.
Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu ta được:
c) Đúng.
Bán kính vùng sáng này là
d) Đúng.

Chân ngọn hải đăng là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng


Thời gian để đến điểm đầu tiên nhìn thấy được ánh sáng ngọn hải đăng trên là phút.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22.
Câu 17 [778849]: Ericsson Globe (Thuỵ Điển) là toà nhà bán cầu lớn nhất trên thế giới (năm 2020),với hình dạng một quả cầu màu trắng. Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của toà nhà Ericsson Globe trong hệ trục toạ độ bởi một mặt cầu có tâm và đo được chiều cao toà nhà đáy toà nhà là đường tròn có bán kính (xem hình vẽ). Biết đơn vị trục là mét, tính đường kính mặt cầu này bằng bao nhiêu mét (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 110.
Giả sử bán kính của mặt cầu là Khi đó,
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ta có
Suy ra đường kính của mặt cầu bằng
Câu 18 [778850]: Trong không gian cho đường thẳng , , Gọi mặt cầu có tâm thuộc và tiếp xúc với . Biết toạ độ điểm tính tổng
Trả lời: 5
Ta có: phương trình tham số của là . Vì .
Mặt cầu có tâm thuộc và tiếp xúc với nên ta có:



Suy ra mặt cầu có tâm
Câu 19 [713221]: Mỗi cạnh của một hộp lập phương có chiều dài 1 m. Hộp chứa chín quả cầu hình cầu có cùng bán kính Tâm của một quả cầu nằm ở tâm của khối lập phương và nó tiếp xúc với tám quả cầu còn lại. Mỗi quả cầu trong tám quả cầu còn lại tiếp xúc với ba cạnh của hộp. Do đó, các quả cầu được xếp chặt trong hộp (xem hình vẽ). Tìm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị mét)
Điền đáp án: 0,23.

Ghép khối hộp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ trên. Gọi là tâm của các quả cầu. Với là tâm của quả cầu nằm ở tâm của khối lập phương.
Khi đó, ta có
Vì quả cầu tâm tiếp xúc với quả cầu trung tâm nên ta có
Vậy bán kính của các quả cầu là 0,23 m.
Câu 20 [778851]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm Tính đường kính của mặt cầu đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Trả lời: 10,2
Gọi tâm mặt cầu là: .


Suy ra
Vậy
Câu 21 [778852]: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Trong không gian với hệ toạ độ cho bốn vệ tinh Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm biết rằng khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm lần lượt là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điểm thuộc mặt cầu tâm , bán kính có phương trình .
Điểm thuộc mặt cầu tâm , bán kính có phương trình .
Điểm thuộc mặt cầu tâm , bán kính có phương trình .
Điểm thuộc mặt cầu tâm , bán kính có phương trình .
Ta có là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh .
Toạ độ là nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được .
Khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm là
Câu 22 [693130]: Một quả bóng hình cầu có bán kính đang được treo trong một góc của tường nhà (hai bờ tường vuông góc), một điểm cố định nằm trên mép của hai bờ tường và cách mặt đất sợi dây treo bóng có độ dài và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất Hỏi đường kính của quả bóng là bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 38.
Giả sử mặt cầu có toạ độ tâm Từ giả thiết, ta thấy rằng
Ta khai thác dữ kiện đề bài:
Vì điểm nằm trên trục và cách mặt đất 80 cm nên
Lại có và là độ dài ngắn nhất nối điểm với mặt xung quanh của quả bóng, nên ta có
Vì quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường (tức hai mặt phẳng và nên ta có mà
Suy ra toạ độ điểm
Từ giả thiết: vị trí thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm nên ta có
Khi đó, phương trình (*) tương đương với





Vậy đường kính của quả bóng là 38 cm.
Note: Để chứng minh bài trên, ta sử dụng bổ đề sau:
Cho một điểm bất kì; mặt cầu có tâm và bán kính Gọi là một điểm di động trên mặt cầu Minh hoạ như hình vẽ.


Khi đó:
+)
+)