Đáp án Bài tập tự luyện
Câu 1 [6431]: Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần bằng 
. Gọi 
là khối trụ có thể tích lớn nhất, chiều cao của 
bằng
. Gọi là khối trụ có thể tích lớn nhất, chiều cao của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Xét hàm số 
trên khoảng 
Bảng biến thiên
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi 
Chọn B. Đáp án: B
Câu 2 [327628]: Cho hình trụ 
nội tiếp trong một hình cầu có bán kính là 
. Hình trụ có thể tích lớn nhất là
nội tiếp trong một hình cầu có bán kính là . Hình trụ có thể tích lớn nhất là A, 
B, 
C, 
D, 
Trước hết, ta chuẩn hóa
Gọi
và 
là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ đã cho.Khi đó ta có:
(chọn 
).Ta có mối quan hệ giữa
và 
: 
Thể tích khối trụ là
Xét hàm số
với 
Khi đó
Chọn B.
Đáp án: B
Câu 3 [5924]: Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có thể tích là 
. Tìm bán kính đáy 
của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
. Tìm bán kính đáy của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi 
là chiều cao của hình trụ.
Thể tích của khối trụ là
Diện tích toàn phần của khối trụ là
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
Dấu “=” xảy ra khi
Chọn C. Đáp án: C
là chiều cao của hình trụ.
Thể tích của khối trụ là
Diện tích toàn phần của khối trụ là
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
Dấu “=” xảy ra khi
Chọn C. Đáp án: C
Câu 4 [6411]: Trong tất cả hình nón có độ dài đường sinh là 
, tìm hình nón có thể tích lớn nhất.
, tìm hình nón có thể tích lớn nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là 
Ta có
(theo bất đẳng thức AM – GM)
Suy ra
Chọn A. Đáp án: A
Ta có
(theo bất đẳng thức AM – GM)
Suy ra
Chọn A. Đáp án: A
Câu 5 [327630]: [Đề thi tham khảo lần 3 năm 2017] Cho mặt cầu tâm 
bán kính 
Xét mặt phẳng 
thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn 
Hình nón 
có đỉnh 
nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn 
và có chiều cao là 
Tính 
để thể tích khối nón được tạo nên bởi 
có giá trị lớn nhất.
bán kính Xét mặt phẳng thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn Hình nón có đỉnh nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn và có chiều cao là Tính để thể tích khối nón được tạo nên bởi có giá trị lớn nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Để đơn giản trong việc tính toán, ta chuẩn hóa
Đặt
Ta cần tìm mối liên hệ giữa
và 
Cách 1: Dựa hình vẽ ta có quan hệ:
Lại có:
Cách 2: Gọi
là điểm đối xứng của 
qua 
vuông tại 
có đường cao 
nên: 
Khi đó
(với 
).Xét hàm số
Lập bảng biến thiên suy ra
Chọn C.
Đáp án: C
Câu 6 [327634]: Cho hình nón 
có bán kính đáy 
và chiều cao bằng 
Một hình trụ nội tiếp hình nón 
Diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất bằng
có bán kính đáy và chiều cao bằng Một hình trụ nội tiếp hình nón Diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chuẩn hóa
Gọi
và 
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là:
Ta có:
Lại có:
thế vào 
ta có:
Xét hàm số
ta có: 
từ đó suy ra 
Chọn D.
Đáp án: D
Câu 7 [327635]: Cho hình nón tròn xoay 
có đỉnh 
và đáy là hình tròn tâm 
bán kính 
Đường cao 
Gọi 
là thể tích của hình trụ nội tiếp hình nón đã cho, giá trị lớn nhất của 
là
có đỉnh và đáy là hình tròn tâm bán kính Đường cao Gọi là thể tích của hình trụ nội tiếp hình nón đã cho, giá trị lớn nhất của là A, 
B, 
C, 
D, 
Chuẩn hóa
dựng hình nón như hình vẽ ta có: 
Gọi
và 
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó thể tích hình trụ là: 
Ta có:
Thế vào
ta có: 
Xét hàm số
ta có: 
Chọn C.
Đáp án: C
Câu 8 [327621]: Cho hình chóp 
đều nội tiếp trong mặt cầu bán kính 
không đổi. Hình chóp có thể tích lớn nhất có chiều cao là
đều nội tiếp trong mặt cầu bán kính không đổi. Hình chóp có thể tích lớn nhất có chiều cao là A, 
B, 
C, 
D, 
Chuẩn hóa
Ta tính được
(các em xem lại phần mặt cầu). Gọi 
và 
lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của khối chóp.Khi đó
Diện tích đáy là:
Thể tích khối chóp là:
Ta sẽ tìm mối liên hệ giữa
và 
, ta có: 
thế vào 
ta có: 
với 
Xét hàm số
với 
Ta có: 
Lập bảng biến thiên suy ra
Vậy 
Chọn B.
Đáp án: B
Câu 9 [327617]: [Đề thi THPT QG năm 2017-Mã 103] Xét khối chóp 
có đáy là tam giác vuông cân tại 
vuông góc với đáy, khoảng cách từ 
đến mặt phẳng 
bằng 
Gọi 
là góc giữa hai mặt phẳng 
và 
tính 
khi thể tích khối chóp 
nhỏ nhất.
có đáy là tam giác vuông cân tại vuông góc với đáy, khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và tính khi thể tích khối chóp nhỏ nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Đặt
, ta dễ dàng suy ra thể tích khối chóp 
là: 
Bây giờ ta sẽ tìm mối liên hệ giữa 2 đại lượng
và 
dựa vào giả thiết khoảng cách từ 
đến mặt phẳng 
Dựng
vuông cận tại 
Mặt khác
, 
Do đó ta có:
(với 
)Xét hàm số
Lập bảng biến thiên suy ra
Do đó
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [382886]: Từ một tấm bìa hình vuông 
có cạnh bằng 
người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là 
và 
Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi thể tích khối chóp lớn nhất bằng bao nhiêu dm^3 (Viết kết quả làm tròn
đến hàng phần mười)
có cạnh bằng người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là và Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi thể tích khối chóp lớn nhất bằng bao nhiêu dm^3 (Viết kết quả làm trònđến hàng phần mười)
Giả sử 
Chiều cao hình chóp là:
Ta có:
Đặt
Chiều cao hình chóp là:
Ta có:
Đặt
Câu 11 [31003]: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí 
có khoảng cách đến bờ biển 
Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí 
cách 
một khoảng 
. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ 
đến 
trên bờ biển với vận tốc 
rồi đi bộ đến 
với vận tốc 
. Vị trí của điểm 
cách 
một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?
có khoảng cách đến bờ biển Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng . Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biển với vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc . Vị trí của điểm cách một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Đặt 
Tam giác
vuông tại 
có 
Thời gian đi từ
là 
Thời gian đi từ
là 
Tổng thời gia thời gian đi từ
là 
Xét hàm số
trên khoảng 
có 
Phương trình
Vậy để đi từ
nhanh nhất khi 
cách 
một khoảng 
Chọn B. Đáp án: B
Tam giác
vuông tại có Thời gian đi từ
là Thời gian đi từ
là Tổng thời gia thời gian đi từ
là Xét hàm số
trên khoảng có Phương trình
Vậy để đi từ
nhanh nhất khi cách một khoảng Chọn B. Đáp án: B
Câu 12 [31024]: Một người cần đi từ khách sạn 
bên bờ biển đến hòn đảo 
Biết rằng khoảng cách từ đảo 
đến bờ biển là 
khoảng cách từ khách sạn 
đến điểm 
trên bờ gần đảo 
nhất là 
. Người đó có thể di đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 
, đi đường bộ là 
. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất (
)?
bên bờ biển đến hòn đảo Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là khoảng cách từ khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo nhất là . Người đó có thể di đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là , đi đường bộ là . Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất ()? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Đặt 
Suy ra kinh phí người đó phải bỏ là
Khảo sát hàm số
trên 
ta được: 
Suy ra
Vậy chi phí nhỏ nhất cần phải bỏ khi người đó đi bộ
và chi phí thấp nhất là 160 USD.
Chọn B. Đáp án: B
Suy ra kinh phí người đó phải bỏ là
Khảo sát hàm số
trên ta được: Suy ra
Vậy chi phí nhỏ nhất cần phải bỏ khi người đó đi bộ
và chi phí thấp nhất là 160 USD. Chọn B. Đáp án: B
Câu 13 [384769]: Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50 m và chiều dài 200 m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s. 
Đáp số:……………………………
Gọi quãng đường vận động viên chạy trên bờ là: 
Khi đó quãng đường vận động viên bơi dưới nước sẽ là:
Thời gian cho cả quãng đường đi (cả trên bờ và dưới nước) là:
Yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm
để 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
thì 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó quãng đường vận động viên bơi dưới nước sẽ là:
Thời gian cho cả quãng đường đi (cả trên bờ và dưới nước) là:
Yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm
để đạt giá trị nhỏ nhất. Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 14 [31013]: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí 
tới điểm 
về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 
(như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến 
và sau đó chạy đến 
, hay có thể chèo trực tiếp đến 
, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm 
giữa 
và 
và sau đó chạy đến 
. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 
, chạy 
và quãng đường 
. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến 
.
tới điểm về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến và sau đó chạy đến , hay có thể chèo trực tiếp đến , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm giữa và và sau đó chạy đến . Biết anh ấy có thể chèo thuyền , chạy và quãng đường . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến . A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Thời gian đi từ 
đến 
là 
đến là Thời gian đi từ 
đến 
rồi đến 
là 
đến rồi đến là Goi 
Xét hàm số 
Suy ra 
Suy ra thời gian ngắn nhất bằng 
Chọn D.
Đáp án: D Chọn D.
Câu 15 [358939]: Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 
và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân 
như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng 
không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
Viết kết quả làm tròn kết quả đến hang đơn vị.
và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân như Hình 36 (bờ sông là đường thẳng không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?Viết kết quả làm tròn kết quả đến hang đơn vị.
Gọi 
là hình chiếu vuông góc của 
trên 
và đặt 
là hình chiếu vuông góc của
trên và đặt Có: 
và 
và Diện tích hình thang 
là: 
là: Có: 
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra bác đó có thể rào được
mảnh vườn có diện tích lớn nhất là 
Câu 16 [31097]: Một sợi dây kim loại dài 
được cắt ra thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ dài 
được uốn thành một hình vuông. Đoạn dây còn lại được uốn thành một vòng tròn. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì giá trị của 
xấp xỉ bao nhiêu 
được cắt ra thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ dài được uốn thành một hình vuông. Đoạn dây còn lại được uốn thành một vòng tròn. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì giá trị của xấp xỉ bao nhiêu A, 
B, 
C, 
D, 
+Độ dài cạnh hình vuông là 
Chu vi
Đáp án: B
Chu vi
Đáp án: B
Câu 17 [8775]: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là 
Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).
Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng). A, 
B, 
C, 
D, 
Xét khối trụ nội tiếp khối cầu. Gọi
và 
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ đã cho.Khi đó ta có
Thể tích khối trụ là
Suy ra
Do khối trụ chỉ nằm trong nửa hộp kem nên
Chọn B. Đáp án: B
Câu 18 [384811]: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4, chiều cao bằng 8. Một khối trụ có bản kính đáy thay đổi và nội tiếp hình nón đã cho (tham khảo hình vẽ).
Thể tích của khối trụ đạt giá trị lớn nhất bằng
A, 
B, 
C, 
D, 
Xét khối trụ nội tiếp khối nón như hình vẽ.
Đặt 
là bán kính đáy của hình trụ, chiều cao hình trụ bằng 
là bán kính đáy của hình trụ, chiều cao hình trụ bằng Khi đó 
Suy ra 
(với 
)
(với ) Suy ra thể tích của khối trụ là 
Xét hàm số 
Ta có 
Bảng biến thiên
Suy ra thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất là 
Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Câu 19 [384770]: Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ bên, nó được giới hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số 
Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục toạ độ là 
Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số 
Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước Khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất la bao nhiêu mét?Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục?
Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục toạ độ là Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước Khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất la bao nhiêu mét?Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục?
Gọi 
là điểm tượng trưng cho bến thuyền trên bờ hồ.
(1)
Khoảng cách từ bến thuyền đến con đường là:
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
Đặt
với 
Có:
Bảng biến thiên:
Để
ngắn nhất 
Hàm số 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của
là 16 khi 
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ bến thuyền đến con đường là:
là điểm tượng trưng cho bến thuyền trên bờ hồ. (1)Khoảng cách từ bến thuyền đến con đường là:
(2)Từ (1) và (2), ta có:
Đặt
với Có:
Bảng biến thiên:
Để
ngắn nhất Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của
là 16 khi Vậy khoảng cách ngắn nhất từ bến thuyền đến con đường là:
Câu 20 [31034]: Có hai chiếc cọc cao 
và 
lần lượt đặt hai vị trí 
Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 
Người ta chọn một cái chốt ở vị trí 
trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng giăng giây nối đến hai đỉnh 
và 
của cọc như hình vẽ. Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?
và lần lượt đặt hai vị trí Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng Người ta chọn một cái chốt ở vị trí trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng giăng giây nối đến hai đỉnh và của cọc như hình vẽ. Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Đặt 
Tam giác 
vuông tại 
có 
vuông tại có Khi đó 
Xét hàm số 
với 
ta có 
(thỏa mãn điều kiện )
với ta có (thỏa mãn điều kiện ) Dựa vào BBT, suy ra 
đạt giá trị nhỏ nhất 
Chọn A.
Đáp án: A đạt giá trị nhỏ nhất Chọn A.
Câu 21 [31058]: Một người muốn kéo đường dây đi từ vị trí 
đến vị trí 
nằm ở hai bên bờ sông bằng cách kéo từ 
đến 
, rồi từ 
kéo đến vị trí 
, sau đó từ 
kéo đến 
theo đường gấp khúc 
(các số liệu như hình vẽ). Biết rằng chi phí lắp đặt cho mỗi 
dây kéo từ 
đến 
là 
triệu đồng, từ 
đến 
là 
triệu đồng và chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ 
đến 
tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi vị trí điểm 
phải cách 
một khoảng là bao nhiêu để tổng chi phí lắp đặt là ít nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
đến vị trí nằm ở hai bên bờ sông bằng cách kéo từ đến , rồi từ kéo đến vị trí , sau đó từ kéo đến theo đường gấp khúc (các số liệu như hình vẽ). Biết rằng chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ đến là triệu đồng, từ đến là triệu đồng và chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ đến tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi vị trí điểm phải cách một khoảng là bao nhiêu để tổng chi phí lắp đặt là ít nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A, 
B, 
.
.C, 
.
.D, 
Đặt 
Tam giác 
vuông tại 
có 
vuông tại có Tam giác 
vuông tại 
có 
vuông tại có Vậy tổng chi phí để lắp đặt quãng đường từ 
và 
là 
và là Xét hàm số 
với 
có 
với có Phương trình 
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi
Chọn B.
Đáp án: B Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi
Chọn B.
Câu 22 [31087]: Một con thuyền đang ở ngoài khơi cách đất liền 
và cách hòn đảo 
. Hòn đảo cách đất liền 
. Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Quãng đường ngắn nhất mà con thuyền đó đi là (làm tròn đến hàng đơn vị)
và cách hòn đảo . Hòn đảo cách đất liền . Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Quãng đường ngắn nhất mà con thuyền đó đi là (làm tròn đến hàng đơn vị) A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Thuyền ở vị trí 
sẽ đi đến 
(đất liền) và đi ra đảo 
Bài toán yêu cầu tìm GTNN của quãng đường
Chuẩn hoá
Cách 1: Đặt
Ta có: 
Đặt
Khảo sát hàm số
trên khoảng 
Cách 2: Gọi
là điểm đối xứng với 
qua 
và 
là điểm đối xứng với 
qua 
Vì 
là hình chiếu của 
lên 
Khi đó,
là hình thang cân và 
Ta thấy 
nên 
Để
và điều đó có nghĩa là 
thẳng hàng.
Vì thế
Hay quãng đường ngắn nhất cần tính là
Chọn D Đáp án: D
sẽ đi đến (đất liền) và đi ra đảo Bài toán yêu cầu tìm GTNN của quãng đường
Chuẩn hoá
Cách 1: Đặt
Ta có: Đặt
Khảo sát hàm số
trên khoảng Cách 2: Gọi
là điểm đối xứng với qua và là điểm đối xứng với qua Vì là hình chiếu của lên Khi đó,
là hình thang cân và Ta thấy nên Để
và điều đó có nghĩa là thẳng hàng. Vì thế
Hay quãng đường ngắn nhất cần tính là
Chọn D Đáp án: D
Câu 23 [358940]: Có hai xã 
cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là 
và người ta đo được 
(Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí 
của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn 
sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí 
là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là và người ta đo được (Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Điền đáp án: 2460.
Đặt
Suy ra:
Rõ ràng,
phảithỏa mãn điều kiện 
Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:
Tổng khoảng cách từ hai vị trí
đến vị trí 
là: 
Xét hàm số
với 
Ta có:
Trên khoảng 
ta thấy 
khi 
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biếnthiên, ta thấy hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là 2460 m.
Đặt
Suy ra:
Rõ ràng,
phảithỏa mãn điều kiện Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:
Tổng khoảng cách từ hai vị trí
đến vị trí là: Xét hàm số
với Ta có:
Trên khoảng ta thấy khi Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biếnthiên, ta thấy hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là 2460 m.
Câu 24 [390980]: Một chiếc cốc uống nước bằng giấy có dạng hình nón được làm để đựng được 27 cm³ nước. Tìm chiều cao của cốc để sử dụng lượng giấy là nhỏ nhất. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị cm.
Ta có: 
Cốc sử dụng lượng giấy nhỏ nhất
nhỏ nhất
Ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
Cốc sử dụng lượng giấy nhỏ nhất
nhỏ nhất Ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
Câu 25 [31012]: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 
được đặt ở độ cao 
so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác đinh khoảng cách đó.
được đặt ở độ cao so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác đinh khoảng cách đó. A, 
B, 
C, 
D, 
Với bài toán này, ta cần xác định 
để góc 
lớn nhất. Điều này xảy ra 
lớn nhất.
Đặt
với 
Ta có
Xét hàm số
trên khoảng 
Ta có
Tính các giá trị tại
Vậy khoảng cách
cần tìm là 
Đáp án: A
để góc lớn nhất. Điều này xảy ra lớn nhất. Đặt
với Ta có
Xét hàm số
trên khoảng Ta có
Tính các giá trị tại
Vậy khoảng cách
cần tìm là Đáp án: A
Câu 26 [390554]: Một người quan sát đang đứng ở điểm 
cách con đường một khoảng 
Tại một thời điểm nào đó, có một chiếc xe đạp và xe máy cùng xuất phát tại điểm A và chạy về cùng một hướng (xem hình vẽ bên), biết rằng vận tốc của xe máy gấp bốn lần vận tốc xe đạp. Tìm giá trị lớn nhất của góc nhìn 
của người quan sát với hai chiếc xe đó. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ. 
cách con đường một khoảng Tại một thời điểm nào đó, có một chiếc xe đạp và xe máy cùng xuất phát tại điểm A và chạy về cùng một hướng (xem hình vẽ bên), biết rằng vận tốc của xe máy gấp bốn lần vận tốc xe đạp. Tìm giá trị lớn nhất của góc nhìn của người quan sát với hai chiếc xe đó. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ. Đáp số:……………………..
Đặt 
(vì vận tốc của xe máy gấp 4 lần vân tốc xe đạp)
Ta có:
Do đó
(vì vận tốc của xe máy gấp 4 lần vân tốc xe đạp)Ta có:
Do đó
Câu 27 [390555]: Bạn Nam có thể chèo thuyền với vận tốc 
và có thể đi bộ với vận tốc 
Hiện tại Nam đang ở vị trí A trên bờ hồ bán kính 2 km. Nam sẽ chèo thuyền đến điểm C, sau đó đi bộ quanh bờ đến điểm B đối diện với A (như hình vẽ). Thời gian dài nhất bạn Nam đi từ A đến C rồi đến B là bao nhiều phút?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. 
và có thể đi bộ với vận tốc Hiện tại Nam đang ở vị trí A trên bờ hồ bán kính 2 km. Nam sẽ chèo thuyền đến điểm C, sau đó đi bộ quanh bờ đến điểm B đối diện với A (như hình vẽ). Thời gian dài nhất bạn Nam đi từ A đến C rồi đến B là bao nhiều phút?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. Đáp số:……………………………
Quãng đường Nam đi là: 
Gọi tâm hồ là
Ta có:
có 
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
vuông tại 
Tổng thời gian Nam đi là:
(giờ)
Xét
với 
Ta bấm máy, nhận thấy bạn Nam đi từ A đến B với khoảng thời gian lớn nhất tại
và 
Đáp án:
Gọi tâm hồ là
Ta có:
có là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông tại Tổng thời gian Nam đi là:
(giờ)Xét
với Ta bấm máy, nhận thấy bạn Nam đi từ A đến B với khoảng thời gian lớn nhất tại
và Đáp án:
Câu 28 [31072]: Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí 
biết rằng điểm 
cao 
so với nền nhà và điểm 
cách tường nhà 
(như hình vẽ). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)
biết rằng điểm cao so với nền nhà và điểm cách tường nhà (như hình vẽ). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng) A, 1.400.000 đồng.
B, 800.000 đồng.
C, 2.160.000 đồng.
D, 1.665.000 đồng.
khi đó 
Do đó, 
Ta có: 
Chọn D
Đáp án: D Chọn D
Câu 29 [31020]: Cho một tờ giấy hình chữ nhật có chiều dài 
, chiều rộng 
. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy dưới (như hình vẽ). Gọi độ dài nếp gấp là 
thì giá trị nhỏ nhất của 
là bao nhiêu?
, chiều rộng . Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy dưới (như hình vẽ). Gọi độ dài nếp gấp là thì giá trị nhỏ nhất của là bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Ta kí hiệu như hình.
Ta có
Lại có
Chọn C. Đáp án: C
Câu 30 [31077]: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 
. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng 
để diện tích hình thang 
đạt giá trị nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng để diện tích hình thang đạt giá trị nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 4,95.
Đường thẳng
cắt 
lần lượt tại 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Đường thẳng
cắt lần lượt tại Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Câu 31 [791425]: Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng 
được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo
được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều
có đáy 
là hình vuông tâm 
, cạnh 
, đường cao 
. Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm 
.
Gọi
là trung điểm cạnh 
.
Gọi
là hình chiếu của 
trên 
là hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
.
Dễ thấy
Thể tích khối chóp
là:
Dấu bằng xảy ra
; 
Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là:
Đáp án: D
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều
có đáy là hình vuông tâm , cạnh , đường cao . Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm .Gọi
là trung điểm cạnh .Gọi
là hình chiếu của trên là hình chiếu của trên mặt phẳng .Dễ thấy
Thể tích khối chóp
là: Dấu bằng xảy ra
; Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là:
Đáp án: D