Đáp án Bài tập tự luyện
Câu 1 [51845]: Trong không gian với hệ tọa độ 
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: Bán kính mặt cầu tâm 
là: 
. Do đó PT mặt cầu là 
Chọn D. Đáp án: D
là: . Do đó PT mặt cầu là
Chọn D. Đáp án: D
Câu 2 [901147]: 
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
mà 
tiếp xúc với 
tại 
.
Mà mặt phẳng
đi qua 
suy ra 
Chọn D. Đáp án: D
mà tiếp xúc với tại .Mà mặt phẳng
đi qua suy ra Chọn D. Đáp án: D
Câu 3 [51840]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt cầu 
Viết phương trình mặt phẳng 
tiếp xúc với 
tại điểm 
cho mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với tại điểm A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 4 [51829]: Trong không gian với hệ tọa độ 
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: Bán kính mặt cầu là: 
Chọn C. Đáp án: C
Chọn C. Đáp án: C
Câu 5 [884092]: Trong không gian tọa độ 
cho mặt cầu 
và mặt phẳng 
Với giá trị nào của 
thì mặt phẳng 
tiếp xúc với mặt cầu 
cho mặt cầu và mặt phẳng Với giá trị nào của thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: Mặt cầu 
có tâm 
và bán kính 
.
Để
tiếp xúc với mặt cầu 
thì 
Chọn B. Đáp án: B
có tâm và bán kính .
Để
tiếp xúc với mặt cầu thì
Chọn B. Đáp án: B
Câu 6 [901859]: [Đề THPT QG 2017] Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt cầu 
và 2 đường thẳng 
Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với 
song song với 
và 
cho mặt cầu và 2 đường thẳng Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với song song với và A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt phẳng cần tìm là 
có vectơ pháp tuyến là 
.
Các vectơ chỉ phương của
và 
là: 
.
Do
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là:
.
Gọi phương trình mặt phẳng
là: 
.
Mặt cầu
tâm 
bán kính 
.
Ta có:
tiếp xúc với 
nên 
.
Vậy
hoặc 
Chọn B. Đáp án: B
có vectơ pháp tuyến là .
Các vectơ chỉ phương của
và là: .
Do
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Gọi phương trình mặt phẳng
là: .
Mặt cầu
tâm bán kính .
Ta có:
tiếp xúc với nên .
Vậy
hoặc
Chọn B. Đáp án: B
Câu 7 [901864]: Trong không gian tọa độ 
mặt cầu 
tiếp xúc 
tại điểm 
và đi qua 
có bán kính là
mặt cầu tiếp xúc tại điểm và đi qua có bán kính là A, 
B, 
C, 
D, 
Do 
tiếp xúc với 
tại 
nên 
qua 
và có vectơ chỉ phương 
nên nó có phương trình là:
. Gọi 
giải
Phương trình mặt cầu
Chọn B. Đáp án: B
tiếp xúc với tại nên qua và có vectơ chỉ phương nên nó có phương trình là:
. Gọi giải
Phương trình mặt cầu
Chọn B. Đáp án: B
Câu 8 [51847]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho hai mặt phẳng 
Mặt cầu 
có tâm thuộc trục 
và tiếp xúc với hai mặt phẳng đã cho có phương trình là
cho hai mặt phẳng Mặt cầu có tâm thuộc trục và tiếp xúc với hai mặt phẳng đã cho có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi 
là tâm của mặt cầu 
. Ta có 
.
Chọn C. Đáp án: C
là tâm của mặt cầu . Ta có .
Chọn C. Đáp án: C
Câu 9 [51785]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt cầu 
và mặt phẳng 
Biết 
cắt 
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính 
Tính 
cho mặt cầu và mặt phẳng Biết cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 10 [51888]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho mặt phẳng 
có phương trình 
và mặt cầu 
có phương trình 
. Xác định bán kính 
của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng 
và mặt cầu 
.
cho mặt phẳng có phương trình và mặt cầu có phương trình . Xác định bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: A
Câu 11 [51876]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
và điểm 
Mặt cầu tâm 
, bán kính bằng 
cắt mặt phẳng 
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
cho mặt phẳng và điểm Mặt cầu tâm , bán kính bằng cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 12 [51865]: Trong không gian với hệ tọa độ 
mặt cầu 
có tâm 
và cắt mặt phẳng 
có phương trình 
theo giao tuyến là một đường tròn có đường kính bằng 4. Phương trình của mặt cầu là
mặt cầu có tâm và cắt mặt phẳng có phương trình theo giao tuyến là một đường tròn có đường kính bằng 4. Phương trình của mặt cầu là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 13 [865530]: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình 
và mặt phẳng 
Biết mặt cầu 
cắt mặt phẳng 
theo một đường tròn 
Tính chu vi đường tròn 
và mặt phẳng Biết mặt cầu cắt mặt phẳng theo một đường tròn Tính chu vi đường tròn A, 
B, 
C, 
D, 
Lời giải: Mặt cầu 
có tâm 
và bán kính 
Khoảng cách từ tâm đến 
là: 
Bán kính đường tròn 
là: 
Chu vi đường tròn 
là: 
Chọn C. Đáp án: C
có tâm và bán kính
Khoảng cách từ tâm đến là:
Bán kính đường tròn là:
Chu vi đường tròn là: Chọn C. Đáp án: C
Câu 14 [579683]: [Đề mẫu HSA 2024]: Trong không gian 
cho điểm 
và mặt phẳng 
Mặt cầu 
có tâm 
và cắt 
theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 
Phương trình mặt cầu 
là
cho điểm và mặt phẳng Mặt cầu có tâm và cắt theo giao tuyến là đường tròn có chu vi Phương trình mặt cầu là A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có chu vi đường tròn giao tuyến là 
Bán kính đường tròn giao tuyến là 
Lại có
Chọn A. Đáp án: A
Bán kính đường tròn giao tuyến là Lại có
Chọn A. Đáp án: A
Câu 15 [51913]: Cho mặt phẳng 
cắt mặt cầu 
theo một đường tròn có tọa độ tâm là
cắt mặt cầu theo một đường tròn có tọa độ tâm là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 16 [58453]: Trong không gian với hệ tọa độ 
viết phương trình mặt cầu 
có tâm 
và tiếp xúc với đường thẳng 
viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 17 [58452]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt cầu 
và đường thẳng 
Đường thẳng 
cắt mặt cầu 
tại hai điểm 
Tính độ dài đoạn 
cho mặt cầu và đường thẳng Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm Tính độ dài đoạn A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 18 [80354]: Trong không gian tọa độ 
tính bán kính mặt cầu 
đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng 
tính bán kính mặt cầu đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 19 [58176]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm 
và có tâm thuộc mặt phẳng 
, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 20 [57464]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
, gọi 
là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm 
Tính độ dài đoạn thẳng 
, gọi là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm Tính độ dài đoạn thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 21 [51855]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho các điểm 
Tính bán kính 
của mặt cầu tâm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
cho các điểm Tính bán kính của mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Phương trình mặt phẳng
là 
.
Chọn A. Đáp án: A
Phương trình mặt phẳng
là . Chọn A. Đáp án: A
Câu 22 [853385]: Trong không gian tọa độ 
cho 
và 
Mặt cầu 
có tâm 
sao cho giao tuyến của 
và 
là đường tròn có chu vi 8π có bán kính là
cho và Mặt cầu có tâm sao cho giao tuyến của và là đường tròn có chu vi 8π có bán kính là A, 
B, 
C, 
D, 
Lời giải: Do chu vi đường tròn giao tuyến 
Ta có: 
Bán kính mặt cầu là 
Phương trình mặt cầu là: 
Chọn C. Đáp án: C
Ta có: Bán kính mặt cầu là Phương trình mặt cầu là: Chọn C. Đáp án: C
Câu 23 [51832]: Trong không gian tọa độ 
, cho mặt phẳng 
tiếp xúc mặt cầu có phương trình 
tại 
Tính 
, cho mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu có phương trình tại Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: VTPT của 
là: 
. Mặt cầu 
có tâm 
và bán kính 
. Phương trình đường thẳng 
qua 
và vuông góc với 
là: 
Khi đó:
Chọn B. Đáp án: B
là: . Mặt cầu có tâm và bán kính . Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với là:
Khi đó:
Chọn B. Đáp án: B
Câu 24 [51851]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt cầu 
và mặt phẳng 
Mặt phẳng 
cắt mặt cầu 
theo một đường tròn 
Tính bán kính 
của 
cho mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn Tính bán kính của A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 25 [396725]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho điểm 
và đường thẳng 
Mặt cầu có tâm 
và cắt đường thẳng 
tại hai điểm 
sao cho tam giác 
vuông có bán kính bằng bao nhiêu?
cho điểm và đường thẳng Mặt cầu có tâm và cắt đường thẳng tại hai điểm sao cho tam giác vuông có bán kính bằng bao nhiêu?
Kẻ 
mà 
vuông 
mà vuông Ta có: 
Lại có 
ép cho 
ép cho
Câu 26 [159444]: Trong không gian tọa độ 
, cho mặt cầu 
Đường thẳng 
cắt mặt cầu 
tại hai điểm 
Biết các tiếp diện của mặt cầu 
tại hai điểm 
vuông góc với nhau. Tính 
, cho mặt cầu Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm Biết các tiếp diện của mặt cầu tại hai điểm vuông góc với nhau. Tính 
Ta có: mặt cầu
Gọi các tiếp diện của mặt cầu
tại hai điểm 
lần lượt là 
và 
Ta có:
Câu 27 [80352]: Trong không gian tọa độ 
tính bán kính 
của mặt cầu 
đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng 
tính bán kính của mặt cầu đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 28 [396454]: Trong không gian tọa độ 
mặt cầu 
có tâm 
đi qua 3 điểm
và 
thuộc mặt phẳng 
Tính 
mặt cầu có tâm đi qua 3 điểm và thuộc mặt phẳng Tính
Gọi 
là tâm mặt cầu.
Giải hệ phương trình
Suy ra
là tâm mặt cầu.
Giải hệ phương trình
Suy ra
Câu 29 [59136]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho ba điểm 
và 
. Gọi 
là điểm khác 
sao cho 
đôi một vuông góc với nhau và 
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
. Tính 
.
, cho ba điểm và . Gọi là điểm khác sao cho đôi một vuông góc với nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính . A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
là đường thẳng qua điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
là 
Khi đó
và 
đều thuộc đường thắng 
Gọi
ta có: 
Gọi
Đáp án: B
Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
là đường thẳng qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là
Khi đó
và đều thuộc đường thắng
Gọi
ta có:
Gọi
Đáp án: B
Câu 30 [202975]: Trong không gian với hệ toạ độ 
đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ 
mỗi đơn vị trên trục ứng với 
Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 
sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí 
chuyển động theo đường thẳng 
có vectơ chỉ phương là 
và hướng về đài kiểm soát không lưu Toạ độ của vị trí mà máy bay bay ra khỏi màn hình ra đa là 
Tính 
đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ mỗi đơn vị trên trục ứng với Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu Toạ độ của vị trí mà máy bay bay ra khỏi màn hình ra đa là Tính
Phương trình đường thẳng 
đi qua điểm 
và có vecto chỉ phương
là 
Dựa vào hình vẽ ta thấy B là vị trí sớm nhất máy bay xuất hiện trên màn hình rada và C là vị trí máy bay ra khỏi màn hình rada, gọi
Giải phương trình
Ứng với
ta được điểm 
là vị trí sớm nhất máy bay xuất hiện trên màn hình rada.
Ứng với
ta được điểm 
là vị trí t máy bay ra khỏi màn hình rada.
Vậy
đi qua điểm và có vecto chỉ phương là Dựa vào hình vẽ ta thấy B là vị trí sớm nhất máy bay xuất hiện trên màn hình rada và C là vị trí máy bay ra khỏi màn hình rada, gọi
Giải phương trình
Ứng với
ta được điểm là vị trí sớm nhất máy bay xuất hiện trên màn hình rada. Ứng với
ta được điểm là vị trí t máy bay ra khỏi màn hình rada. Vậy
Câu 31 [202969]: Giả sử Trái Đất có dạng hình cầu và bạn An đang đứng trên mặt đất. Có 3 vệ tinh báo về máy chủ tiếp nhận thông tin rằng vệ tinh thứ nhất đang cách An 
vệ tinh thứ hai đang cách An 
và vệ tinh thứ ba đang cách An 
Biết rằng trong hệ trục toạ độ 
cho trước với 
là tâm Trái Đất (1 đơn vị = 
), tại thời điểm vệ tinh thông báo về máy chủ thì toạ độ của các vệ tinh lần lượt là 
và 
Giả sử bạn An đang đứng ở vị trí có toạ độ là 
Hãy tính 
vệ tinh thứ hai đang cách An và vệ tinh thứ ba đang cách An Biết rằng trong hệ trục toạ độ cho trước với là tâm Trái Đất (1 đơn vị = ), tại thời điểm vệ tinh thông báo về máy chủ thì toạ độ của các vệ tinh lần lượt là và Giả sử bạn An đang đứng ở vị trí có toạ độ là Hãy tính
Gọi 
thì 
chính là giao điểm của bốn mặt cầu: Trái Đất và ba mặt cầu tâm lần lượt 
có bán kính lần lượt là khoảng cách từ các vệ tinh đến An.
thì chính là giao điểm của bốn mặt cầu: Trái Đất và ba mặt cầu tâm lần lượt có bán kính lần lượt là khoảng cách từ các vệ tinh đến An. Ta có hệ phương trình
Vậy toạ độ bạn An là 
Câu 32 [360644]: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42).
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí 
cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm 
là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
cho bốn vệ tinh 
Toạ độ của điểm 
trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm 
lần lượt là 
. Tính 
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho. Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
cho bốn vệ tinh Toạ độ của điểm trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm lần lượt là
Theo bài ra ta có: 
và 
Ta có:
Đáp án: 2.
và Ta có:
Đáp án: 2.