Đáp án Bài tập tự luyện
Câu 1 [243347]: Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột dọc còn lại 23 mét, sút vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ đến hai cột khung thành trên.
Ta có: 
Câu 2 [239355]: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 
và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 
(hình vẽ). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 
và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng (hình vẽ). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình
Cách 1:
Ta có:
Áp dụng định lísin, ta có:
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là
Cách 2:
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là
Cách 1:
Ta có:
Áp dụng định lísin, ta có:
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là
Cách 2:
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là
Câu 3 [238396]: Một người quan sát đứng cách một cái tháp 
, nhìn thấy đỉnh tháp một góc 
và nhìn dưới chân tháp một góc 
so với phương nằm ngang như trong hình vẽ. Tính chiều cao 
của tháp.
, nhìn thấy đỉnh tháp một góc và nhìn dưới chân tháp một góc so với phương nằm ngang như trong hình vẽ. Tính chiều cao của tháp. 
Ta có
.Vậy chiều cao của tháp là 
.
Câu 4 [243356]: Vào lúc 1 giờ chiều, hai vận động viên A và B xuất phát từ cùng một vị trí. Vận động viên A chạy với vận tốc 14 km/h theo một góc định hướng là 
Vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo một góc định hướng là 
(tham khảo hình vẽ). Tại thời điểm nào A sẽ cách B một khoảng 20 km?
Vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo một góc định hướng là (tham khảo hình vẽ). Tại thời điểm nào A sẽ cách B một khoảng 20 km?
Sau 
giờ thì vận động viên A chạy được 
vận động viên B chạy được 
Ta có:
Áp dụng định lý cosin ta được:
Suy ra
giờ thì vận động viên A chạy được vận động viên B chạy được Ta có:
Áp dụng định lý cosin ta được:
Suy ra
Câu 5 [243351]: An và Bắc đang xem xét mua một mảnh đất. Nhân viên nhà đất cung cấp cho họ một bản vẽ chi tiết như hình vẽ. Hãy tính diện tích mảnh đất.
Ta có: 
Trong đó
Suy ra
Trong đó
Suy ra
Câu 6 [242533]: Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là 
và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.
và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.
Xét 
vuông tại B, ta có: 
Ta có:
Xét
vuông tại B, Ta có: 
Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2,1 (m).
vuông tại B, ta có:
Ta có:
Xét
vuông tại B, Ta có:
Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2,1 (m).
Câu 7 [239891]: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí 
đến vị trí 
và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 
và 
. Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là 
(Hình). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
đến vị trí và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là và . Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là (Hình). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi C là vị trí ngọn hải đăng và H là hình chiếu của C trên 
.
Khi đó
là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển.
Ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác 
ta có: 
Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển
.
.Khi đó
là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển. Ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển
.
Câu 8 [239356]: Tính chiều cao 
của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 
và 
(Hình).
của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là và (Hình).
Tam giác 
vuông tại 
nên ta có:
Tam giác ADB vuông tại B nên ta có:
Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.
vuông tại nên ta có: Tam giác ADB vuông tại B nên ta có:
Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.
Câu 9 [238395]: Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 
m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?
m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?
Ta có 
.
Áp dụng định lí sin cho tam giác
: 
.
Xét tam giác vuông
ta có:
.
Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ
m.
.Áp dụng định lí sin cho tam giác
: .Xét tam giác vuông
ta có:.Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ
m.
Câu 10 [238401]: Từ hai vị trí 
,
người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy 
là điểm gốc cây, 
là điểm ngọn cây. 
,
cùng thẳng hàng với điểm 
thuộc chiều cao 
của cây. Người ta đo được 
, 
, 
, 
. Tính chiều cao của cây đó.
, người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy là điểm gốc cây, là điểm ngọn cây. , cùng thẳng hàng với điểm thuộc chiều cao của cây. Người ta đo được , , , . Tính chiều cao của cây đó.
Ta có 
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
Tam giác
vuông tại 
nên có: 
.
Vây chiều cao của cây là
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
Tam giác
vuông tại nên có: . Vây chiều cao của cây là
Câu 11 [243348]: Một tòa tháp cao 42 mét đứng trên đỉnh một ngọn đồi. Từ một điểm trên mặt đất cách xa chân đồi, có thể nhìn thấy đỉnh tháp và chân tháp dưới góc 
và 
so với mặt đất. Tính chiều cao của ngọn đồi.
và so với mặt đất. Tính chiều cao của ngọn đồi.
Ta có: 
Lại có
Suy ra chiều cao ngọn đồi là
Lại có
Suy ra chiều cao ngọn đồi là
Câu 12 [580931]: Đứng ở chân của một tòa nhà Nam phải nhìn hướng lên 
để thấy ngọn của một cái cây. Nếu đứng ở đỉnh của tòa nhà đó cao 150 mét so với mặt đất, Nam phải nhìn hướng xuống một góc 
so với phương nằm ngang để thấy ngọn của cái đây đó. Tính khoảng cách từ tòa nhà đến cây.
để thấy ngọn của một cái cây. Nếu đứng ở đỉnh của tòa nhà đó cao 150 mét so với mặt đất, Nam phải nhìn hướng xuống một góc so với phương nằm ngang để thấy ngọn của cái đây đó. Tính khoảng cách từ tòa nhà đến cây. HD: Ta có: 
(1)là chiều cao cái cây
Lại có: 
Áp dụng định lý sin ta có: 
thay vào (1) ta tính được chiều cao xấp sỹ 38 mét.
Khoảng cách từ tòa nhà đến cái cây là 
Câu 13 [238402]: Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 
và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang 
(như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao 
.
và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang (như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao .
Ta có: 
Áp dụng định lý hàm
cho 
ta có
Xét
vuông tại 
, ta có 
.
Áp dụng định lý hàm
cho ta cóXét
vuông tại , ta có .
Câu 14 [238394]: Từ hai vị trí 
và 
của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh 
của ngọn núi. Biết rằng độ cao 
, phương nhìn 
tạo với phương nằm ngang một góc 
, phương nhìn 
tạo với phương nằm ngang một góc 
(như hình vẽ). Tính độ cao 
của ngọn núi so với mặt đất.
và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi. Biết rằng độ cao , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc (như hình vẽ). Tính độ cao của ngọn núi so với mặt đất. 
Cách 1:
+ Ta có:
.
+ Lại có:
.
+ Do
nên 
.
+ Vậy
.
Cách 2:
+ Ta có:
.
.
+ Áp dụng định lí sin trong tam giác
, ta có:
.
+ Lại có:
.
Câu 15 [238470]: Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (
cm;
cm; 
cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
cm;cm; cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). A, 5,73 cm.
B, 6,01cm.
C, 5,85cm.
D, 4,57cm.
Chọn A
Bán kính
của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Nửa chu vi của tam giác
là: 
cm.
Diện tích tam giác
là: 
cm2.
Mà
cm. Đáp án: A
Bán kính
của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Nửa chu vi của tam giác
là: cm.
Diện tích tam giác
là: cm2.
Mà
cm. Đáp án: A
Câu 16 [580932]: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 
. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh 
và chân 
của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 
và 
so với phương nằm ngang 
Tính chiều cao của tòa nhà.
. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh và chân của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là và so với phương nằm ngang Tính chiều cao của tòa nhà.
Tính các góc của tam giác 
.
Gọi H là hình chiếu của 
lên đường thẳng 
.
Xét tam giác 
, vuông tại H ta có:
Từ 
và 
, suy ra: 
.
Vậy ba góc của tam giác 
lần lượt là: 
.
Tính chiều cao của tòa nhà.
Áp dụng định lý sin cho tam giác 
, ta được:
Mà 
Xét tam giác 
, vuông tại H ta có:
Mà: 
Vậy chiều cao của tòa nhà là: 
Câu 17 [579669]: [Đề mẫu HSA 2024]: Để đo chiều cao tòa tháp người ta dùng dụng cụ đo góc có chiều cao 
đặt tại hai vị trí trên mặt đất cách nhau một khoảng 
Tại vị trí 
và 
góc đo thu được so với phương ngang lần lượt là 
(hình minh họa). Chiều cao 
của tòa tháp (từ điểm 
tới mặt đất) là bao nhiêu?
đặt tại hai vị trí trên mặt đất cách nhau một khoảng Tại vị trí và góc đo thu được so với phương ngang lần lượt là (hình minh họa). Chiều cao của tòa tháp (từ điểm tới mặt đất) là bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Xét
vuông: 
Xét
vuông: 
Suy ra
Chọn D. Đáp án: D
Câu 18 [239357]: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm 
và 
nằm ở sườn đồi nghiêng 
so với phương ngang, cách nhau 
(Hình 10). Người quan sát tại 
xác định góc nâng của khinh khí cầu là 
. Cùng lúc đó, người quan sát tại 
xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 
. Tính khoảng cách từ 
đến khinh khí cầu.
và nằm ở sườn đồi nghiêng so với phương ngang, cách nhau (Hình 10). Người quan sát tại xác định góc nâng của khinh khí cầu là . Cùng lúc đó, người quan sát tại xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là . Tính khoảng cách từ đến khinh khí cầu. 
Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.
Ta có:
Tại
, góc nâng của khinh khí cầu là 
Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là
và 
Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:
Vậy khoảng cách từ'
đến khinh khí cầu là 215,56 m.
Câu 19 [239358]: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 
so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 
, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 
và đến điểm mốc khác là 
(hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là , góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là và đến điểm mốc khác là (hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này. 
Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.
Xét tam giác
ta có:
Mà
Tương tự, ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác
, ta có:
Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc này là 514 m.
Câu 20 [240465]: Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ 
tới 
. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
tới . Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
Bước 1:
Áp dụng định lí cos trong tam giác
ta có:
Bước 2:
Lại có: Theo định lí sin thì
Bước 3:
Áp dụng định lí cos trong tam giác ACD ta có:
Bước 4:
Độ dài đường mới giảm số kilomet so với đường cũ là:
Áp dụng định lí cos trong tam giác
ta có: Bước 2:
Lại có: Theo định lí sin thì
Bước 3:
Áp dụng định lí cos trong tam giác ACD ta có:
Bước 4:
Độ dài đường mới giảm số kilomet so với đường cũ là:
Câu 21 [239421]: Hai chiếc tàu thủy 
và 
cách nhau 
và thẳng hàng với chân 
của tháp hải đăng 
ở trên bờ biển (Hình). Từ 
và 
, người ta nhìn thấy tháp hải đăng 
dưới các góc 
và 
. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
và cách nhau và thẳng hàng với chân của tháp hải đăng ở trên bờ biển (Hình). Từ và , người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc và . Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
Xét tam giác 
và 
, ta có:
= 
Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.
và , ta có: = Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.
Câu 22 [239422]: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách 
cùng thẳng hàng với chân 
của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là 
. Gọi 
là đỉnh tháp và hai điểm 
cùng thẳng hàng với 
thuộc chiều cao 
của tháp. Người ta do được 
. Tính chiều cao 
của tháp.
cùng thẳng hàng với chân của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là . Gọi là đỉnh tháp và hai điểm cùng thẳng hàng với thuộc chiều cao của tháp. Người ta do được . Tính chiều cao của tháp.
Ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác
, ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác
, ta có:
Do đó, chiều cao
của tháp là: 
Áp dụng định lí sin trong tam giác
, ta có: Áp dụng định lí sin trong tam giác
, ta có: Do đó, chiều cao
của tháp là:
Câu 23 [238400]: Giả sử chúng ta cần đo chiều cao 
của một tòa tháp với 
là chân tháp và 
là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm 
và 
có khoảng cách 
sao cho ba điểm 
thẳng hàng người ta đo các góc 
và góc 
. Hãy tính chiều cao 
của tòa tháp.
của một tòa tháp với là chân tháp và là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm và có khoảng cách sao cho ba điểm thẳng hàng người ta đo các góc và góc . Hãy tính chiều cao của tòa tháp. 
Trong tam giác
: có góc 
Áp dụng định lý sin trong tam giác
ta có:
Trong tam giác vuông
ta có 
Vậy chiều cao của tòa tháp là
Câu 24 [243355]: An và Bắc cùng xuất phát từ điểm 
đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 
để đến đích là điểm 
Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại 
và 
(như hình vẽ). Hỏi Bắc phải đi bao xa nữa để đến đích?
đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc để đến đích là điểm Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại và (như hình vẽ). Hỏi Bắc phải đi bao xa nữa để đến đích?
Ta cần tính 
Ta có: 
Mặt khác
Do đó
Ta có:
Mặt khác
Do đó
Câu 25 [243353]: Một chiếc thuyền dự định đi trực tiếp từ A đến B. Tuy nhiên, nó đã đi thẳng đến trước khi thuyền trưởng nhận ra rằng ông ta đa đi lệch khỏi hải trình. Chiếc thuyền đã đổi hướng một góc 
rồi đi thêm 10 km để đến B. Hành trình lẽ ra đã ngắn hơn 4 km nếu thuyền đi thẳng từ A đến B. Hỏi thuyền đã đi bao xa?
rồi đi thêm 10 km để đến B. Hành trình lẽ ra đã ngắn hơn 4 km nếu thuyền đi thẳng từ A đến B. Hỏi thuyền đã đi bao xa?
Theo giả thiết bài toán ta có: 
Đặt
Ta có:
thuyền đã đi 
Đặt
Ta có:
thuyền đã đi