Đáp án Bài tập tự luyện
Câu 1 [80335]: Tính bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm 
và 
và A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 2 [57462]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho các điểm 
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
là
cho các điểm Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 3 [80354]: Trong không gian tọa độ 
tính bán kính mặt cầu 
đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng 
tính bán kính mặt cầu đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 4 [58176]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm 
và có tâm thuộc mặt phẳng 
, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 5 [57474]: Trong không gian với hệ tọa độ 
mặt cầu 
đi qua 
có phương trình là
mặt cầu đi qua có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 6 [57475]: Trong không gian với hệ toạ độ 
cho 4 điểm 
Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm 
cho 4 điểm Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Gọi
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
hay 
Đáp án: A
Gọi
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
hay Đáp án: A
Câu 7 [57461]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho tứ diện 
có tọa độ các đỉnh là 
Tâm 
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
là
, cho tứ diện có tọa độ các đỉnh là Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 8 [57464]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
, gọi 
là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm 
Tính độ dài đoạn thẳng 
, gọi là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm Tính độ dài đoạn thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 9 [57468]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho bốn điểm 
Tâm 
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
có tọa độ
cho bốn điểm Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tọa độ A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Gọi
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
hay 
có tâm 
Đáp án: C
Gọi
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
hay có tâm
Đáp án: C
Câu 10 [57470]: Trong không gian 
, cho bốn điểm 
; 
; 
; 
Gọi 
là mặt cầu đi qua 4 điểm 
Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 
tại điểm 
, cho bốn điểm ; ; ; Gọi là mặt cầu đi qua 4 điểm Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 11 [57472]: Cho điểm 
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
có bán kính là
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 12 [57463]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho điểm 
Viết phương trình mặt cầu 
ngoại tiếp tứ diện 
cho điểm Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 13 [57465]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho ba điểm 
Tìm bán kính 
của mặt cầu đi qua 4 điểm 
cho ba điểm Tìm bán kính của mặt cầu đi qua 4 điểm A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 14 [57466]: Trong không gian 
, viết phương trình mặt cầu 
đi qua bốn điểm 
và 
, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm và A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 15 [57471]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho 
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
là
cho Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 16 [58180]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho các điểm 
Mặt cầu 
có bán kính nhỏ nhất đi qua 
có tâm là
cho các điểm Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đi qua có tâm là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Ta có
suy ra 
vuông tại 
Do đó, mặt cầu
có bán kính 
và đi qua 
có tâm là trung điểm của 
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là
Đáp án: A
Ta có
suy ra vuông tại
Do đó, mặt cầu
có bán kính và đi qua có tâm là trung điểm của
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là
Đáp án: A
Câu 17 [58182]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho 3 điểm 
Phương trình mặt cầu 
qua 
có tâm nằm trên mặt phẳng 
cho 3 điểm Phương trình mặt cầu qua có tâm nằm trên mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Gọi
có tâm 
Tâm nằm trên mặt phẳng
nên 
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
Đáp án: C
Gọi
có tâm
Tâm nằm trên mặt phẳng
nên
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
Đáp án: C
Câu 18 [80356]: Trong không gian tọa độ 
cho 2 điểm 
và mặt phẳng 
. Viết phương trình mặt cầu 
có tâm 
thuộc 
đi qua A,B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ 
cho 2 điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đi qua A,B sao cho tam giác OIA vuông tại gốc tọa độ A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 19 [392167]: Trong không gian toạ độ 
cho bốn điểm 
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
cho bốn điểm Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A, a) Đường thẳng 
có phương trình là: 
có phương trình là: B, b) Mặt cầu đường kính 
có phương trình là 
có phương trình là C, c) Phương trình mặt phẳng 
là: 
là: D, d) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
có bán kính bằng 
có bán kính bằng
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng 
a) 
Đường thẳng 
có phương trình là: 
có phương trình là: b) Tâm 
của mặt cầu là trung điểm 
của mặt cầu là trung điểm Nên ta có 
Bán kính mặt cầu 
Vậy phương trình mặt cầu đường kính 
là 
là c) Mặt phẳng 
có vecto chỉ phương là 
có vecto chỉ phương là Nên 
hay 
hay Phương trình mặt phẳng 
là: 
là: d) Gọi 
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Và 
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
là 
là
Câu 20 [408105]: Trong không gian toạ độ 
cho bốn điểm 
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
cho bốn điểm Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A, Đường thẳng 
có phương trình là: 
có phương trình là: B, Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
là C, Mặt cầu tâm 
tiếp xúc với mặt phẳng 
có bán kính là 
tiếp xúc với mặt phẳng có bán kính là D, Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
có bán kính bằng 
có bán kính bằng
a) Đúng. 
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
Đường thẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
có phương trình là
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình là
b) Sai.
Mặt phẳng 
có 2 vectơ chỉ phương là 
có 2 vectơ chỉ phương là Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là c) Đúng.
Mặt phẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến 
có phương trình là 
đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là Vì mặt cầu tâm 
tiếp xúc với mặt phẳng 
nên ta có 
tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có
d) Sai.
Giải hệ phương trình 
Suy ra 
và bán kính mặt cầu là 
và bán kính mặt cầu là
Câu 21 [408106]: Trong không gian toạ độ 
cho ba điểm 
và mặt phẳng 
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
cho ba điểm và mặt phẳng Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A, Độ dài đoạn thẳng 
bằng 
bằng B, Phương trình mặt phẳng 
là: 
là: C, Mặt cầu tâm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
có bán kính bằng 
và tiếp xúc với mặt phẳng có bán kính bằng D, Gọi 
mặt cầu đi qua 
và có tâm 
thì bán kính mặt cầu 
bằng 
mặt cầu đi qua và có tâm thì bán kính mặt cầu bằng
a) Sai. 
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
b) Đúng.
Mặt phẳng 
có 2 vectơ chỉ phương là 
có 2 vectơ chỉ phương là Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là Mặt phẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến 
có phương trình là
đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
c) Đúng.
Vì mặt cầu tâm tâm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
nên ta có 
và tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có
d) Sai.
Giải hệ phương trình 
Suy ra 
bán kính mặt cầu 
bán kính mặt cầu Khi đó phương trình mặt cầu là 
Câu 22 [408107]: Trong không gian 
cho ba điểm 
và mặt phẳng 
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
cho ba điểm và mặt phẳng Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A, Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
là B, Phương trình đường thẳng 
là: 
là: C, Phương trình mặt cầu đường kính 
là: 
là: D, Gọi 
mặt cầu đi qua 
và có tâm 
thì bán kính mặt cầu 
bằng 
mặt cầu đi qua và có tâm thì bán kính mặt cầu bằng
a) Sai. 
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
là b) Sai.
Ta có 
Phương trình đường thẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
là
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là
c) Đúng.
Mặt cầu đường kính 
có
có +) Tâm 
+) Bán kính 
Suy ra phương trình mặt cầu đường kính 
là: 
là: d) Đúng.
Giải hệ phương trình 
Suy ra 
bán kính mặt cầu 
bán kính mặt cầu
Câu 23 [392169]: Trong không gian 
cho hình chóp đều 
có 
Gọi 
là trung điểm của 
Gọi 
là tâm mặt cầu 
ngoại tiếp của hình chóp 
Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?
cho hình chóp đều có Gọi là trung điểm của Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai? A, a) 
cách đều ba điểm 
cách đều ba điểm B, b) 
thuộc đường thẳng 
thuộc đường thẳng C, c) 
cách đều mặt đáy và mặt bên của hình chóp.
cách đều mặt đáy và mặt bên của hình chóp.D, d) Phương trình mặt cầu 
là 
là 
Theo bài cho ta có:
Ta có:
là hình vuông có tâm 
là trung điểm của 
Phương trình đường thẳng 
có vecto 
Là:
Trung điểm của
là 
Phương trình mặt phẳng trung trực của 
là 
Tâm
của mặt cầu cần tìm là giao của 
và 
Giải phương trình:
Bán kính mặt cầu bình phương:
Phương trình mặt cầu:
A.Đúng, vì:
là tâm mặt cầu 
ngoại tiếp của hình chóp 
nên 
sẽ cách đều 3 điểm 
B. Đúng, vì: Tâm
của mặt cầu cần tìm là giao của 
và 
C. Đúng, vì:
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đều trùng với tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp đều.
D. Sai, vì: Phương trình mặt cầu:
Câu 24 [57469]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho 4 điểm 
Mặt cầu đi qua bốn điểm 
có bán kính bằng
, cho 4 điểm Mặt cầu đi qua bốn điểm có bán kính bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D.
Gọi
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
hay 
với bán kính 
Đáp án: D
Gọi
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Vậy
hay với bán kính Đáp án: D
Câu 25 [80352]: Trong không gian tọa độ 
tính bán kính 
của mặt cầu 
đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng 
tính bán kính của mặt cầu đi qua 3 điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 26 [396454]: Trong không gian tọa độ 
mặt cầu 
có tâm 
đi qua 3 điểm
và 
thuộc mặt phẳng 
Tính 
mặt cầu có tâm đi qua 3 điểm và thuộc mặt phẳng Tính
Gọi 
là tâm mặt cầu.
Giải hệ phương trình
Suy ra
là tâm mặt cầu.
Giải hệ phương trình
Suy ra
Câu 27 [396456]: Trong không gian với hệ tọa độ 
mặt cầu đi qua 4 điểm 
và 
có tâm là 
Tính 
mặt cầu đi qua 4 điểm và có tâm là Tính
Giải hệ phương trình 
Câu 28 [59136]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho ba điểm 
và 
. Gọi 
là điểm khác 
sao cho 
đôi một vuông góc với nhau và 
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
. Tính 
.
, cho ba điểm và . Gọi là điểm khác sao cho đôi một vuông góc với nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính . A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
là đường thẳng qua điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
là 
Khi đó
và 
đều thuộc đường thắng 
Gọi
ta có: 
Gọi
Đáp án: B
Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
là đường thẳng qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là
Khi đó
và đều thuộc đường thắng
Gọi
ta có:
Gọi
Đáp án: B
Câu 29 [202969]: Giả sử Trái Đất có dạng hình cầu và bạn An đang đứng trên mặt đất. Có 3 vệ tinh báo về máy chủ tiếp nhận thông tin rằng vệ tinh thứ nhất đang cách An 
vệ tinh thứ hai đang cách An 
và vệ tinh thứ ba đang cách An 
Biết rằng trong hệ trục toạ độ 
cho trước với 
là tâm Trái Đất (1 đơn vị = 
), tại thời điểm vệ tinh thông báo về máy chủ thì toạ độ của các vệ tinh lần lượt là 
và 
Giả sử bạn An đang đứng ở vị trí có toạ độ là 
Hãy tính 
vệ tinh thứ hai đang cách An và vệ tinh thứ ba đang cách An Biết rằng trong hệ trục toạ độ cho trước với là tâm Trái Đất (1 đơn vị = ), tại thời điểm vệ tinh thông báo về máy chủ thì toạ độ của các vệ tinh lần lượt là và Giả sử bạn An đang đứng ở vị trí có toạ độ là Hãy tính
Gọi 
thì 
chính là giao điểm của bốn mặt cầu: Trái Đất và ba mặt cầu tâm lần lượt 
có bán kính lần lượt là khoảng cách từ các vệ tinh đến An.
thì chính là giao điểm của bốn mặt cầu: Trái Đất và ba mặt cầu tâm lần lượt có bán kính lần lượt là khoảng cách từ các vệ tinh đến An. Ta có hệ phương trình
Vậy toạ độ bạn An là 
Câu 30 [360644]: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42).
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí 
cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm 
là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
cho bốn vệ tinh 
Toạ độ của điểm 
trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm 
lần lượt là 
. Tính 
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho. Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
cho bốn vệ tinh Toạ độ của điểm trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm lần lượt là
Theo bài ra ta có: 
và 
Ta có:
Đáp án: 2.
và Ta có:
Đáp án: 2.