PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [890668]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
?
cho mặt phẳng Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [503001]: Hàm số 
có tập xác định là
có tập xác định là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Hàm số xác định
Tập xác định là 
Đáp án: B
Hàm số xác định
Tập xác định là Đáp án: B
Câu 3 [890650]: Tìm nguyên hàm của hàm số 
trên 
trên A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Ta có:
Đáp án: C
Ta có:
Đáp án: C
Câu 4 [511844]: Cho cấp số cộng 
có 
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
có Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Gọi
là công sai của cấp số cộng.
Từ
Đáp án: A
Gọi
là công sai của cấp số cộng. Từ
Đáp án: A
Câu 5 [981911]: Cho hàm số 
có bảng xét dấu của 
như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
có bảng xét dấu của như sau:A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Hàm số đạt cực tiểu tại
và 
Đáp án: A
Hàm số đạt cực tiểu tại
và Đáp án: A
Câu 6 [807212]: Biết 
giá trị 
bằng
giá trị bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Ta có:
Đáp án: C
Ta có:
Đáp án: C
Câu 7 [681548]: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Tập xác định:
Ta có:
Vậy đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
Đáp án: B
Tập xác định:
Ta có:
Vậy đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Đáp án: B
Câu 8 [511137]: Tập nghiệm của bất phương trình 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D.
Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Đáp án: D
Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Đáp án: D
Câu 9 [328080]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh 
cạnh bên 
vuông góc với mặt đáy và 
Tìm số đo của góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
có đáy là hình vuông cạnh cạnh bên vuông góc với mặt đáy và Tìm số đo của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
• Theo giả thiết;
• Vì
vuông cân tại 
nên 
Đáp án: B
• Theo giả thiết;
• Vì
vuông cân tại nên Đáp án: B
Câu 10 [807220]: Trong không gian với hệ toạ độ 
cho mặt cầu 
Tính bán kính 
của mặt cầu.
cho mặt cầu Tính bán kính của mặt cầu. A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Mặt cầu
có tâm 
nên bán kính 
Đáp án: A
Mặt cầu
có tâm nên bán kính Đáp án: A
Câu 11 [696282]: Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả sau:
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Đáp án: C
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Đáp án: C
Câu 12 [599333]: Cho tứ diện 
Gọi 
là trọng tâm của tam giác 
Phát biểu nào sau đây là sai?
Gọi là trọng tâm của tam giác Phát biểu nào sau đây là sai? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Tính chất trọng tâm:
Câu B chỉ đúng khi 
là tâm tứ diện 
Đáp án: B
Tính chất trọng tâm:
Câu B chỉ đúng khi là tâm tứ diện Đáp án: B PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [696283]: Trong không gian 
cho hai điểm 
và mặt phẳng 
Mặt phẳng 
đi qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
cho hai điểm và mặt phẳng Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng
a) Đúng
Sử dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, do
nên VTPT là 
b) Sai
Áp dụng công thức tính tọa độ vecto khi biết hai điểm đầu cuối, ta có
c) Sai
Vì mặt phẳng
đi qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
nên 
và 
Do đó,
Ta có thể chọn
Vậy mặt phẳng
đi qua điểm 
và có 
có phương trình là:
d) Sai
Vì
nên 
Ta thấy
do đó 
không cùng phương với 
Do đó, đường thẳng
không vuông góc với mặt phẳng 
Sử dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, do
nên VTPT là
b) Sai
Áp dụng công thức tính tọa độ vecto khi biết hai điểm đầu cuối, ta có
c) Sai
Vì mặt phẳng
đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng nên và
Do đó,
Ta có thể chọn
Vậy mặt phẳng
đi qua điểm và có có phương trình là:
d) Sai
Vì
nên
Ta thấy
do đó không cùng phương với
Do đó, đường thẳng
không vuông góc với mặt phẳng
Câu 14 [696412]: Công ty 
chuyên sản xuất một loại sản phẩm, bộ phận sản xuất ước tính rằng với 
sản phẩm được sản xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là 
(nghìn đồng) và mỗi sản phẩm công ty bán với giá 
(nghìn đồng).
chuyên sản xuất một loại sản phẩm, bộ phận sản xuất ước tính rằng với sản phẩm được sản xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là (nghìn đồng) và mỗi sản phẩm công ty bán với giá (nghìn đồng).
a) Đúng
Chi phí mỗi tháng công ty phải bỏ ra để sản xuất 50 sản phẩm là
(nghìn đồng).
b) Sai
Tổng số tiền thu được sau khi bán
sản phẩm là 
Do đó, lợi nhuận khi bán
sản phẩm là 
(nghìn đồng).
c) Sai
Áp dụng công thức tọa độ đỉnh I của parabol ta có:
Vì hàm lợi nhuận là một parabol có hệ số
nên giá trị lớn nhất của hàm số là 
(nghìn đồng).
d) Đúng
Xét hàm số
trên khoảng 
Ta có bảng biến thiên:
Vậy nếu số lượng sản phẩm bán ra trong một tháng nằm trong khoảng từ 60 đến 70 thì lợi nhuận sẽ được ước tính trong khoảng 44200 đến 44840 (nghìn đồng).
Chi phí mỗi tháng công ty phải bỏ ra để sản xuất 50 sản phẩm là
(nghìn đồng).
b) Sai
Tổng số tiền thu được sau khi bán
sản phẩm là
Do đó, lợi nhuận khi bán
sản phẩm là (nghìn đồng).
c) Sai
Áp dụng công thức tọa độ đỉnh I của parabol ta có:
Vì hàm lợi nhuận là một parabol có hệ số
nên giá trị lớn nhất của hàm số là (nghìn đồng).
d) Đúng
Xét hàm số
trên khoảng
Ta có bảng biến thiên:
Vậy nếu số lượng sản phẩm bán ra trong một tháng nằm trong khoảng từ 60 đến 70 thì lợi nhuận sẽ được ước tính trong khoảng 44200 đến 44840 (nghìn đồng).
Câu 15 [702630]: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 người nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau.
a) Sai.
Xác suất cả hai người được chọn đều là nữ là
b) Đúng.
Xác suất cả hai người được chọn đều là nam là
Do vậy xác suất để ít nhất một nữ được chọn là
c) Sai.
Gọi
là biến cố “Cả hai nữ được chọn” và 
là biến cố ít nhất một nữ được chọn”
Ta có
(vì 
nên 
d) Đúng.
Gọi
là biến cố “Hoa được chọn” thì 
YCBT
Tính 
Ta có
(vì 
nên 
Xác suất cả hai người được chọn đều là nữ là
b) Đúng.
Xác suất cả hai người được chọn đều là nam là
Do vậy xác suất để ít nhất một nữ được chọn là
c) Sai.
Gọi
là biến cố “Cả hai nữ được chọn” và là biến cố ít nhất một nữ được chọn”Ta có
(vì nên d) Đúng.
Gọi
là biến cố “Hoa được chọn” thì YCBT
Tính Ta có
(vì nên
Câu 16 [702631]: Hai vật 
và 
được ném thẳng đứng từ độ cao khác nhau tại cùng một thời điểm với vận tốc ban đầu là 
(m/s) và chuyển động với gia tốc trọng trường 
Theo phương 
ban đầu vật 
có hình chiếu trên trục 
là điểm 
Sau 5 giây, vật 
chuyển động được 
mét; hình chiếu của 
lên 
đã đi qua vị trí 
và cách 
một khoảng 
mét (tham khảo như hình vẽ).
và được ném thẳng đứng từ độ cao khác nhau tại cùng một thời điểm với vận tốc ban đầu là (m/s) và chuyển động với gia tốc trọng trường Theo phương ban đầu vật có hình chiếu trên trục là điểm Sau 5 giây, vật chuyển động được mét; hình chiếu của lên đã đi qua vị trí và cách một khoảng mét (tham khảo như hình vẽ).
a) Đúng
Áp dụng công thức tính vận tốc của chuyển động thẳng biến đổi đều với gia tốc
ta có 
(m/s).
b) Đúng
Vì vận tốc của hai vật đều bằng nhau nên khoảng cách giữa hai vật là đại lượng không đổi và bằng
(m).
c) Sai
Áp dụng công thức chuyển động biến đổi đều đối với vật B
ta có:
(m/s).
d) Đúng
Vì vật
tiếp đất sau 10 giây nên quãng đường vật B di chuyển đến khi tiếp đất là 
(m).
Suy ra, tổng quãng đường vật A di chuyển đến khi chạm đất là
(m).
Do đó, tổng thời gian vật A di chuyển thảo mãn
(s).
Vậy, vật
tiếp đất sau vật 
là 1,1 giây.
Áp dụng công thức tính vận tốc của chuyển động thẳng biến đổi đều với gia tốc
ta có (m/s).b) Đúng
Vì vận tốc của hai vật đều bằng nhau nên khoảng cách giữa hai vật là đại lượng không đổi và bằng
(m).c) Sai
Áp dụng công thức chuyển động biến đổi đều đối với vật B
ta có: (m/s).d) Đúng
Vì vật
tiếp đất sau 10 giây nên quãng đường vật B di chuyển đến khi tiếp đất là (m).Suy ra, tổng quãng đường vật A di chuyển đến khi chạm đất là
(m).Do đó, tổng thời gian vật A di chuyển thảo mãn
(s).Vậy, vật
tiếp đất sau vật là 1,1 giây. PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [696498]: Cho lăng trụ tứ giác đều 
có 
tang của góc nhị diện 
bằng 
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
có tang của góc nhị diện bằng Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu? 
Gọi
là góc nhị diện 
tức góc giữa hai mặt phẳng 
và 
Gọi
là hình chiếu của 
lên 
là tâm của hình vuông 
Do
Ta có:
Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là
Ta có:
Diện tích tam giác
Câu 18 [696288]: Minh để các quả cam vào 20 cái giỏ theo quy luật: Số quả ở giỏ phía sau luôn hơn số quả của giỏ ngay trước nó 
quả.
Minh nhận thấy tổng số quả ở giỏ thứ 2 và giỏ thứ 19 là 23 quả. Minh đã bỏ tất cả bao nhiêu quả cam vào các giỏ?
quả.Minh nhận thấy tổng số quả ở giỏ thứ 2 và giỏ thứ 19 là 23 quả. Minh đã bỏ tất cả bao nhiêu quả cam vào các giỏ?
Điền đáp án: 
Gọi là
số cam ở giỏ thứ 
Theo đề bài ta có:
Tổng số quả ở giỏ thứ 2 và giỏ thứ 19 là 23 quả nên ta có phương trình:
Ta có:
Mà
Tổng số quả cam của các giỏ là:
(quả).
Gọi là
số cam ở giỏ thứ Theo đề bài ta có:
Tổng số quả ở giỏ thứ 2 và giỏ thứ 19 là 23 quả nên ta có phương trình:
Ta có:
Mà
Tổng số quả cam của các giỏ là:
(quả).
Câu 19 [693840]: Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với 
các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với 
các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là 
Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Nhưng vì muốn chắc chắn hơn về kết quả nhiễm bệnh của mình, người này tiếp tục thực hiện xét nghiệm lần thứ hai. Tính xác suất lần hai vẫn trả về kết quả dương tính. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm?
các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Nhưng vì muốn chắc chắn hơn về kết quả nhiễm bệnh của mình, người này tiếp tục thực hiện xét nghiệm lần thứ hai. Tính xác suất lần hai vẫn trả về kết quả dương tính. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm?
Điền đáp án: 0,66.
Cách làm: Khi biết xét nghiệm lần 1 cho kết quả dương tính dẫn đến xác suất nhiễm bệnh của cộng đồng sẽ thay đổi, và ta sẽ tính được xác xuất nhiễm bệnh khi biết lần 1 dương tính; từ đó ta dùng xác suất nhiễm bệnh mới này để tính xác suất lần 2 cho kết quả dương tính.
Gọi
là biến cố “Xét nghiệm lần thứ 
dương tính, với 
”
là biến cố “Người đó nhiễm bệnh”
YCBT
Tính 
+) Người đó xét nghiệm lần 1 dương tính:
Từ dữ kiện đề bài, ta có
Ta có sơ đồ cây sau:
Suy ra
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất người đó nhiễm bệnh khi biết xét nghiệm lần 1 dương tính là
+) Xét nghiệm lần 2 dương tính (lúc này xác suất người nhiễm bệnh sẽ bằng
Suy ra
Ta có sơ đồ cây sau:
Khi đó xác suất lần 2 dương tính là
Cách làm: Khi biết xét nghiệm lần 1 cho kết quả dương tính dẫn đến xác suất nhiễm bệnh của cộng đồng sẽ thay đổi, và ta sẽ tính được xác xuất nhiễm bệnh khi biết lần 1 dương tính; từ đó ta dùng xác suất nhiễm bệnh mới này để tính xác suất lần 2 cho kết quả dương tính.
Gọi
là biến cố “Xét nghiệm lần thứ dương tính, với ” là biến cố “Người đó nhiễm bệnh”YCBT
Tính +) Người đó xét nghiệm lần 1 dương tính:
Từ dữ kiện đề bài, ta có
Ta có sơ đồ cây sau:
Suy ra
Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất người đó nhiễm bệnh khi biết xét nghiệm lần 1 dương tính là
+) Xét nghiệm lần 2 dương tính (lúc này xác suất người nhiễm bệnh sẽ bằng
Suy ra
Ta có sơ đồ cây sau:
Khi đó xác suất lần 2 dương tính là
Câu 20 [696289]: Tại một thời điểm nhất định, một máy bay bay về phía Đông với vận tốc 400 km/h vượt qua trực tiếp một ô tô đang di chuyển về phía Đông Nam một góc 
với vận tốc 100 km/h trên một con đường thẳng, bằng phẳng. Nếu máy bay bay ở độ cao 1 km, thì khoảng cách giữa máy bay và ô tô đang tăng lên với tốc độ bao nhiêu (km/h) sau 36 giây kể từ khi máy bay vượt qua trực tiếp ô tô? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
với vận tốc 100 km/h trên một con đường thẳng, bằng phẳng. Nếu máy bay bay ở độ cao 1 km, thì khoảng cách giữa máy bay và ô tô đang tăng lên với tốc độ bao nhiêu (km/h) sau 36 giây kể từ khi máy bay vượt qua trực tiếp ô tô? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 323.
Gọi vận tốc máy bay là
vận tốc ô tô là 
Từ hình vẽ ta có:
Đổi:
Gọi vận tốc máy bay là
vận tốc ô tô là
Từ hình vẽ ta có:
Đổi:
Câu 21 [696290]: Trong không gian tọa độ 
cho 3 điểm 
Mặt cầu 
đi qua hai điểm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
tại điểm 
Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng 
bằng bao nhiêu?
cho 3 điểm Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu?
Gọi tâm của mặt cầu là 
và bán kính là R.
Mặt cầu đi qua A và B, nên ta có
Từ đó, ta có hai phương trình:
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
tại điểm C, tức là 
Thay vào các phương trình trên, ta có:
Để tìm độ dài đoạn thẳng
ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm 
và 
và bán kính là R.
Mặt cầu đi qua A và B, nên ta có
Từ đó, ta có hai phương trình:
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
tại điểm C, tức là
Thay vào các phương trình trên, ta có:
Để tìm độ dài đoạn thẳng
ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm và
Câu 22 [696309]: Một vật thể (H) có đáy dạng elip với trục lớn 
trục nhỏ 
Biết rằng cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục lớn ta luôn được thiết diện là nửa lục giác đều. Tính thể tích 
của vật thể (H). Làm tròn đến hàng đơn vị
trục nhỏ Biết rằng cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục lớn ta luôn được thiết diện là nửa lục giác đều. Tính thể tích của vật thể (H). Làm tròn đến hàng đơn vị
Dựng hệ trục tọa độ 
như hình vẽ. Xét trong mặt phẳng 
phương trình elip đáy là 
Xét một điểm thuộc trụ̣c lớn có hoành độ bằng
với thiết diện tạo thành là nửa lục giác đều 
Khi đó ta có
do đó diện tích nửa lục giác đều 
là:
Do đó thể tích vật thể
là
như hình vẽ. Xét trong mặt phẳng phương trình elip đáy là Xét một điểm thuộc trụ̣c lớn có hoành độ bằng
với thiết diện tạo thành là nửa lục giác đều Khi đó ta có
do đó diện tích nửa lục giác đều là:Do đó thể tích vật thể
là