Đáp án Bài tập tự luyện số 2
Câu 1 [399674]: Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 
đồng /
Giả sử 
là chiều rộng của đáy bể. Khi đó
a) Thể tích của bể biểu diễn theo
là 
trong đó 
là chiều cao của bể.
b) Diện tích bể cần xây là
c) Nếu chiều rộng của bể là
thì chi phí thuê nhân công thấp nhất.
d) Chi phí thuê nhân công thấp nhất là 30 triệu đồng.
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là đồng / Giả sử là chiều rộng của đáy bể. Khi đó a) Thể tích của bể biểu diễn theo
là trong đó là chiều cao của bể. b) Diện tích bể cần xây là
c) Nếu chiều rộng của bể là
thì chi phí thuê nhân công thấp nhất. d) Chi phí thuê nhân công thấp nhất là 30 triệu đồng.
a) Gọi 
là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 
và 
là chiều cao bể
Thể tích của bể là
Vậy a – Đúng.
b) Bể có thể tích bằng
Diện tích cần xây
Vậy b – Sai.
c) Xét hàm
Bảng biến thiên
Do đó
.
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
Khi đó
Vậy c – Sai.
d) Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
Khi đó chi phí thuê nhân công thấp nhất là 150 x 200000 = 30.000.000 đồng. Vậy d – Đúng.
là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là và là chiều cao bểThể tích của bể là
Vậy a – Đúng.b) Bể có thể tích bằng
Diện tích cần xây
Vậy b – Sai.c) Xét hàm
Bảng biến thiên
Do đó
. Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
Khi đó
Vậy c – Sai.d) Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
Khi đó chi phí thuê nhân công thấp nhất là 150 x 200000 = 30.000.000 đồng. Vậy d – Đúng.
Câu 2 [6167]: Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích thước 
. Biết tỉ số hai cạnh đáy là 
và thể tích của hộp bằng 
Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng 
bằng
. Biết tỉ số hai cạnh đáy là và thể tích của hộp bằng Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án C.
Đáy có kích thước là
Chiều cao là 
nên thể tích thùng là 
Để tốn ít vật liệu nhất thì diện tích sản xuất phải nhỏ nhất.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó,
Đáp án: C
Đáy có kích thước là
Chiều cao là nên thể tích thùng là Để tốn ít vật liệu nhất thì diện tích sản xuất phải nhỏ nhất.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó,
Đáp án: C
Câu 3 [327615]: [Đề thi THPT QG năm 2018] Ông 
dự định sử dụng hết 
kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
dự định sử dụng hết kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A, 
B, 
C, 
D, 
Vì chiều dài bể cá gấp đôi chiều rộng nên ta gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể cá lần lượt là
Thể tích của bể cá là:
Ta sẽ tìm mối quan hệ giữa
và 
dựa vào diện tích phần lắp kính: 
Rút
(với 
) ta có: 
Xét hàm số
với 
ta có: 
Lập BBT suy ra
Chọn D. Đáp án: D
Câu 4 [5934]: Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 
đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 
/
Chi phí thuê nhân công thấp nhất là
đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là / Chi phí thuê nhân công thấp nhất là A, 75 triệu đồng.
B, 51 triệu đồng.
C, 36 triệu đồng.
D, 46 triệu đồng.
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là 
suy ra chiều dài của hình chữ nhật là 
Gọi
là chiều cao của bể nên ta có 
Diện tích của bể là
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Chi phí thấp nhất thuê nhân công là
đồng = 51 triệu đồng. Chọn B. Đáp án: B
suy ra chiều dài của hình chữ nhật là Gọi
là chiều cao của bể nên ta có Diện tích của bể là
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Chi phí thấp nhất thuê nhân công là
đồng = 51 triệu đồng. Chọn B. Đáp án: B
Câu 5 [327622]: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh 
chiều cao 
và thể tích 
Tính độ dài cạnh hình vuông 
sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa cát tông nhất.
chiều cao và thể tích Tính độ dài cạnh hình vuông sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa cát tông nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Theo giả thiết ta có thể tích chiếc hộp là 
Diện tích các mạnh cát tông là
Xét hàm số
ta có: 
Lập bảng biến thiên ta có:
nhỏ nhất khi 
Chọn B.
Đáp án: B
Diện tích các mạnh cát tông là
Xét hàm số
ta có: Lập bảng biến thiên ta có:
nhỏ nhất khi Chọn B.
Đáp án: B
Câu 6 [383949]: Từ một miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 20 cm × 10 cm, bạn Lan cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là x (cm) và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc như hình vẽ) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể đạt được là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Dựa vào hình minh họa đã cho, ta có kích thước đáy của hộp có dạng hình hộp chữ nhật lần lượt là 
và 
(cm) với 
và (cm) với Hộp có chiều cao là: 
(cm).
(cm). Thể tích của chiếc hộp là: 
(
)
() Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
với 
với Có: 
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
Suy ra thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể đạt được là: 
Câu 7 [5879]: Cho một tấm bìa hình chữ nhật chiều dài 
, chiều rộng 
. Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng 
, rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ dưới đây để được một hộp quà có nắp. Tìm 
để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
, chiều rộng . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng , rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ dưới đây để được một hộp quà có nắp. Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.A, 
B, 
C, 
D, 
Hộp quà là hình hộp chữ nhật có chiều cao là 
Đáy là hình chữ nhật với hai kích thước lần lượt là
và 
Vậy thể tích của hộp quà là
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Chọn A. Đáp án: A
Đáy là hình chữ nhật với hai kích thước lần lượt là
và Vậy thể tích của hộp quà là
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Chọn A. Đáp án: A
Câu 8 [6085]: Một bạn đã cắt tấm bìa carton phẳng và cứng có kích thước như hình vẽ. Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt thành một hình chữ nhật. Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 
, chiều cao là 
và diện tích tấm bìa là 
. Tổng 
bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất.
, chiều cao là và diện tích tấm bìa là . Tổng bằng bao nhiêu để thể tích hộp là lớn nhất.
Thể tích của khối hộp là 
Diện tích của tấm bìa là
Từ
suy ra 
Suy ra
Mặt khác
nên 
xảy ra khi và chỉ khi 
Thế vào
ta được 
Chọn D.
Điền đáp số: 1,41
Đáp án: D
Diện tích của tấm bìa là
Từ
suy ra
Suy ra
Mặt khác
nên xảy ra khi và chỉ khi
Thế vào
ta được Chọn D.
Điền đáp số: 1,41
Đáp án: D
Câu 9 [383951]: [Trích Đề thi mẫu ĐGTD ĐH Bách Khoa HN]: Một người thợ nhôm kính nhận đơn đặt hàng làm một bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với thể tích bằng 
và chiều cao của bể gấp 2 lần chiều rộng của đáy. Biết giá một mét vuông kính để làm bể cá là 1 triệu đồng. Để mua đủ mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu thì người thợ cần tối thiểu số tiền bằng ... triệu đồng. (Coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể).
Đáp số:…………………..
và chiều cao của bể gấp 2 lần chiều rộng của đáy. Biết giá một mét vuông kính để làm bể cá là 1 triệu đồng. Để mua đủ mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu thì người thợ cần tối thiểu số tiền bằng ... triệu đồng. (Coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể).Đáp số:…………………..
Gọi 
lần lượt là chiều rộng của đáy, chiều dài của đáy và chiều cao của bể.
lần lượt là chiều rộng của đáy, chiều dài của đáy và chiều cao của bể. Từ dữ kiện bài cho, ta có:
Tổng diện tích 5 mặt của bể cá là:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 3 số dương ta có:
Dấu “
” xảy ra khi và chỉ khi 
” xảy ra khi và chỉ khi Lúc này chi phí tối thiểu để mua nguyên liệu là: 
triệu.
triệu.
Câu 10 [382885]: Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 
và chiều rộng là 
bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau 
(xem hình vẽ). Khoảng không gian phía trong có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
và chiều rộng là bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau (xem hình vẽ). Khoảng không gian phía trong có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 
Gọi tên như hình vẽ với 
là trung điểm của 
Xét tam giác 
vuông tại 
theo định lý
Áp dụng bất đẳng thức, 
ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy 
khi 
Câu 11 [5938]: Gia đình Toán xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp dung tích 
. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng được làm bằng bê tông có giá 
đồng/
, thân bể được xây bằng gạch có giá 
đồng/
và nắp bể được làm bằng tôn có giá 
đồng/
. Hỏi chi phí thấp nhất gia đình Toán cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
?
. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng được làm bằng bê tông có giá đồng/, thân bể được xây bằng gạch có giá đồng/ và nắp bể được làm bằng tôn có giá đồng/. Hỏi chi phí thấp nhất gia đình Toán cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
?
Đổi 
Gọi chiều dài và chiều rộng đáy bể lần lượt là
và 
Diện tích đáy là
diện tích xung quanh là 
Thể tích bể nước:
Ta có:
(nghìn đồng)
Vậy
nghìn đồng.
Điền đáp số: 2281 nghìn đồng Đáp án: A
Gọi chiều dài và chiều rộng đáy bể lần lượt là
và
Diện tích đáy là
diện tích xung quanh là
Thể tích bể nước:
Ta có:
(nghìn đồng)
Vậy
nghìn đồng.
Điền đáp số: 2281 nghìn đồng Đáp án: A
Câu 12 [390558]: Cần phải đặt một ngọn đèn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính 
Hỏi phải treo ở độ cao h bằng bao nhiêu mét để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức 
( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bà và 
là khoảng cách từ bóng đèn đến mép bàn). Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Hỏi phải treo ở độ cao h bằng bao nhiêu mét để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức ( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bà và là khoảng cách từ bóng đèn đến mép bàn). Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:………………………………
Dựa vào hình ảnh minh họa, ta có:
Đặt
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất thì giá trị của
là: 
Đặt
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất thì giá trị của
là:
Câu 13 [384768]: Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ
tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy tính khoảng cách giữa lớn nhất giữa hai con tàu trong khoảng thời gian tính từ lúc hai tàu xuất phát đến khi tàu B đến vị trí ban đầu của tàu A (đơn vị hải lý, làm tròn đến hàng phần trăm)?
tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy tính khoảng cách giữa lớn nhất giữa hai con tàu trong khoảng thời gian tính từ lúc hai tàu xuất phát đến khi tàu B đến vị trí ban đầu của tàu A (đơn vị hải lý, làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp số:………………………………
Gọi 
là khoảng cách của hai tàu sau khi xuất phát 
(giờ), 
Ta có:
Đặt
Để
lớn nhất thì 
phải lớn nhất.
Nhận xét:
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hai con tàu có khoảng cách lớn nhất là khi hai tàu chưa di chuyển,
(hải lý).
là khoảng cách của hai tàu sau khi xuất phát (giờ), Ta có:
Đặt
Để
lớn nhất thì phải lớn nhất.Nhận xét:
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hai con tàu có khoảng cách lớn nhất là khi hai tàu chưa di chuyển,
(hải lý).
Câu 14 [383952]: [Trích Đề thi mẫu ĐGNL ĐHQG Hà Nội]: Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng 
Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu 
(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp số:…………………………………….
Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp số:…………………………………….
Giả sử chóp tứ giác đều là
Gọi 
Đặt
ta có 
Gọi M là trung điểm của CD ta có:
Ta có:
áp dụng định lí Pytago ta có:
Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì
nhỏ nhất 
đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
(BĐT Cauchy). Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là:
Câu 15 [390559]: Một người thợ thủ công muốn làm một con diều bằng giấy có kích thước 
như hình vẽ bên. Khi diện tích con diều lớn nhất, em hãy tính độ dài đường chéo 
theo đơn vị mét. 
Đáp số:…………………….
như hình vẽ bên. Khi diện tích con diều lớn nhất, em hãy tính độ dài đường chéo theo đơn vị mét. Đáp số:…………………….
Cách 1: Xem video bài giảng (cách này sẽ ngắn hơn)
Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm số.
Gọi
là giao điểm của 
và 
.
Gọi
là độ dài của 
Diện tích của con diều là:
= 
với 
Lại có:
Do vậy
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra khi diện tích con diều lớn nhất thì độ dài đường chéo 
là: 
Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm số.
Gọi
là giao điểm của và .Gọi
là độ dài của Diện tích của con diều là:
= với Lại có:
Do vậy
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra khi diện tích con diều lớn nhất thì độ dài đường chéo là:
Câu 16 [31068]: Từ một khúc gôc tròn hình trụ, đường kính bằng 
cần xẻ thành một chiếu xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ kích thước 
như hình vẽ. Hãy xác định 
để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.
cần xẻ thành một chiếu xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ kích thước như hình vẽ. Hãy xác định để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Theo Pitago ta có
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất khi diện tích miếng phụ là
lớn nhất.
Ta có:
Hàm số 
có BBT
Suy ra
lớn nhất khi 
Chọn A. Đáp án: A
Theo Pitago ta có
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất khi diện tích miếng phụ là
lớn nhất. Ta có:
Hàm số có BBT Suy ra
lớn nhất khi Chọn A. Đáp án: A
Câu 17 [390560]: Một vật nặng có khối lượng 
được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 
Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo 
cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức: 
trong đó 
là gia tốc trọng trường và 
là hệ số ma sát của bề mặt
(Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014).
Với 
Tìm giá trị nhỏ nhất của lực kéo 
Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức:
trong đó là gia tốc trọng trường và là hệ số ma sát của bề mặt
(Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014).
Với Tìm giá trị nhỏ nhất của lực kéo Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục. Đáp số:………………………………
Ta có: 
Cho 
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của lực kéo 
, đạt tại khi 
, đạt tại khi