Đáp án Bài tập tự luyện số 2

Câu 1 [31009]: Hai thành phố

và

ngăn cách nhau bởi một con sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố

cách bờ sông

thành phố

cách bờ sông

khoảng cách giữ đường thẳng đi qua

và đường thẳng đi qua

cùng vuông góc với bờ sông là

Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi phí đi từ thành phố

đến thành phố

người ta xây cây cầu ở vị trí

để quãng đường đi từ thành phố

đến thành phố

là ngắn nhất (hình vẽ). Khi đó, độ dài đoạn

bằng

A,

B,

C,

D,

HD:

Với hình vẽ trên giả sử

khi đó

Khi đó

Quảng đường

là:

ngắn nhất khi

nhỏ nhất.
Ta có:

Đặt

thì ta có

Do đó

, dấu bằng xảy ra khi

Áp dụng ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

Đáp án: A

Câu 2 [31058]: Một người muốn kéo đường dây đi từ vị trí

đến vị trí

nằm ở hai bên bờ sông bằng cách kéo từ

đến

, rồi từ

kéo đến vị trí

, sau đó từ

kéo đến

theo đường gấp khúc

(các số liệu như hình vẽ). Biết rằng chi phí lắp đặt cho mỗi

dây kéo từ

đến

là

triệu đồng, từ

đến

là

triệu đồng và chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ

đến

tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi vị trí điểm

phải cách

một khoảng là bao nhiêu để tổng chi phí lắp đặt là ít nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A,

B,

.

C,

.

D,

Đặt

Tam giác

vuông tại

có

Tam giác

vuông tại

có

Vậy tổng chi phí để lắp đặt quãng đường từ

và

là

Xét hàm số

với

có

Phương trình

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi

Chọn B.

Đáp án: B

Câu 3 [31087]: Một con thuyền đang ở ngoài khơi cách đất liền

và cách hòn đảo

. Hòn đảo cách đất liền

. Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Quãng đường ngắn nhất mà con thuyền đó đi là (làm tròn đến hàng đơn vị)

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Thuyền ở vị trí

sẽ đi đến

(đất liền) và đi ra đảo

Bài toán yêu cầu tìm GTNN của quãng đường

Chuẩn hoá

Cách 1: Đặt

Ta có:

Đặt

Khảo sát hàm số

trên khoảng

Cách 2: Gọi

là điểm đối xứng với

qua

và

là điểm đối xứng với

qua

Vì

là hình chiếu của

lên

Khi đó,

là hình thang cân và

Ta thấy

nên

Để

và điều đó có nghĩa là

thẳng hàng.
Vì thế

Hay quãng đường ngắn nhất cần tính là

Chọn D Đáp án: D

Câu 4 [358940]: Có hai xã

cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là

và người ta đo được

(Hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí

của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn

sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí

là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Điền đáp án: 2460.
Đặt

Suy ra:

Rõ ràng,

phảithỏa mãn điều kiện

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

Tổng khoảng cách từ hai vị trí

đến vị trí

là:

Xét hàm số

với

Ta có:

Trên khoảng

ta thấy

khi

Bảng biến thiên:
TO.23.png

Dựa vào bảng biếnthiên, ta thấy hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là 2460 m.

Câu 5 [31062]: Một người lính đặc công thực hiện bơi luyện tập từ vị trí

trên bờ biển đến một cái thuyền đang neo đậu ở vị trí

trên biển. Sau khi bơi được

do khác nước người này đã bơi vào vị trí

trên bờ để uống nước rồi mới từ

bơi đến

. Hãy tính xem người lính này phải bơi ít nhất bao nhiêu

. Biết rằng khoảng cách từ

đến

là

và khoảng cách ngắn nhất từ

vào bờ là

.

A,

B,

C,

D,

Tam giác

vuông có

và

Đặt

Tam giác

vuông tại

có

Khi đó,

Xét hàm số

với

ta có

(thoả mãn điều kiện).
Dựa vào BBT, suy ra

đạt giá trị nhỏ nhất là

Chọn D Đáp án: D

Câu 6 [31043]: Trên sân bay có một máy bay cất cánh trên đường băng

(từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm

. Gọi

là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng

của máy bay. Dọc theo đường băng

cách vị trị máy bay cất cánh

một khoảng

về phía bên phải có 1 người quan sát

. Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng

và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình

(với

là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng

và tính từ

). Khoảng cách ngắn nhất từ người

(đứng cố định) đến máy bay là

A,

B,

C,

D,

Lấy

Ta có:

Xét hàm số:

có nghiệm duy nhất

Ta có bảng biến thiên sau
TO.48.png

Đáp án: C

Câu 7 [31012]: Một màn ảnh hình chữ nhật cao

được đặt ở độ cao

so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác đinh khoảng cách đó.

A,

B,

C,

D,

Với bài toán này, ta cần xác định

để góc

lớn nhất. Điều này xảy ra

lớn nhất.
Đặt

với

Ta có

Xét hàm số

trên khoảng

Ta có

Tính các giá trị tại

Vậy khoảng cách

cần tìm là

Đáp án: A

Câu 8 [390554]: Một người quan sát đang đứng ở điểm

cách con đường một khoảng

Tại một thời điểm nào đó, có một chiếc xe đạp và xe máy cùng xuất phát tại điểm A và chạy về cùng một hướng (xem hình vẽ bên), biết rằng vận tốc của xe máy gấp bốn lần vận tốc xe đạp. Tìm giá trị lớn nhất của góc nhìn

của người quan sát với hai chiếc xe đó. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ.

Đáp số:……………………..

Đặt

(vì vận tốc của xe máy gấp 4 lần vân tốc xe đạp)
Ta có:

Do đó

Câu 9 [390555]: Bạn Nam có thể chèo thuyền với vận tốc

và có thể đi bộ với vận tốc

Hiện tại Nam đang ở vị trí A trên bờ hồ bán kính 2 km. Nam sẽ chèo thuyền đến điểm C, sau đó đi bộ quanh bờ đến điểm B đối diện với A (như hình vẽ). Thời gian dài nhất bạn Nam đi từ A đến C rồi đến B là bao nhiều phút?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Đáp số:……………………………

Quãng đường Nam đi là:

Gọi tâm hồ là

Ta có:

có

là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

vuông tại

Tổng thời gian Nam đi là:

(giờ)
Xét

với

Ta bấm máy, nhận thấy bạn Nam đi từ A đến B với khoảng thời gian lớn nhất tại

và

Đáp án:

Câu 10 [390556]: Trên con đường

người ta muốn xây dựng một trạm quan sát

để theo dõi hai vị trí

và

Biết rằng hai vị trí

và

này cách con đường

một khoảng lần lượt là

và

(như hình vẽ). Hãy tính độ dài

khi góc quan sát

đạt giá trị lớn nhất. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét.

Đáp số:……………………..

Đặt

thì

Khi đó

(1)

Ta đặt

Mặt khác

và

Thay vào (1) ta được:

Để

thì

Giải phương trình

Suy ra

Câu 11 [31027]: Một cái ao có hình

(như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính

, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ

của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu

cây cầu biết:
- Hai bờ

và

nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại

.
- Bờ

là một phần của một parabol có đỉnh là điểm

và có trục đối xứng là đoạn thẳng

.
- Độ dài đoạn

và

lần lượt là

và

.
- Tâm

của mảnh vườn cách đường thẳng

và

lần lượt là

và

.

A,

B,

C,

D,

Gắn hệ trục toạ độ

với

Toạ độ tâm

Phương trình parabol có đỉnh là điểm

đi qua

là

Điểm

Độ dài cây cầu ngắn nhất

Xét hàm số

trên

suy ra

Vậy

Độ dài cây cầu cần tính là

Chọn A

Đáp án: A

Câu 12 [30959]: Lúc 10 giờ sáng trên sa mạc, một nhà địa chất đang ở tại vị trí

anh ta muốn đến vị trí

(bằng ôtô) trước 12 giờ trưa, với

Nhưng trong xa mạc thì xe chỉ có thể di chuyển với vận tốc

Cách vị trí

một đoạn

có một con đường nhựa chạy song song với đường thẳng nối từ

đến

Trên đường nhwuaj thì xe có thể di chuyển với vận tốc

Tìm thời gian ít nhất để nhà địa chất đến

A, 1 giờ 52 phút.

B, 1 giờ 56 phút.

C, 1 giờ 54 phút.

D, 1 giờ 58 phút.

Giả sử ô tô đi từ vị trí

như hình vẽ.
Đặt

Khi đó, tổng thời gian ô tô đi từ

là

Ta có:

Suy ra

Xét hàm số

Vậy thời gian nhỏ nhất đi từ

là 1 giờ 56 phút. Chọn B Đáp án: B

Câu 13 [31072]: Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí

biết rằng điểm

cao

so với nền nhà và điểm

cách tường nhà

(như hình vẽ). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)