Đáp án Bài tập tự luyện số 1

Câu 1 [6431]: Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần bằng

. Gọi

là khối trụ có thể tích lớn nhất, chiều cao của

bằng

A,

B,

C,

D,

Ta có

Xét hàm số trên khoảng

Bảng biến thiên

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi
Chọn B. Đáp án: B

Câu 2 [327628]: Cho hình trụ

nội tiếp trong một hình cầu có bán kính là

. Hình trụ có thể tích lớn nhất là

A,

B,

C,

D,

Trước hết, ta chuẩn hóa

Gọi

và

là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ đã cho.
Khi đó ta có:

(chọn

).
Ta có mối quan hệ giữa

và

:

Thể tích khối trụ là

Xét hàm số

với

Khi đó

Chọn B. Đáp án: B

Câu 3 [5924]: Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có thể tích là

. Tìm bán kính đáy

của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.

A,

B,

C,

D,

Gọi

là chiều cao của hình trụ.
Thể tích của khối trụ là

Diện tích toàn phần của khối trụ là

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

Dấu “=” xảy ra khi

Chọn C. Đáp án: C

Câu 4 [6411]: Trong tất cả hình nón có độ dài đường sinh là

, tìm hình nón có thể tích lớn nhất.

A,

B,

C,

D,

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là

Ta có

(theo bất đẳng thức AM – GM)

Suy ra

Chọn A. Đáp án: A

Câu 5 [327630]: [Đề thi tham khảo lần 3 năm 2017] Cho mặt cầu tâm

bán kính

Xét mặt phẳng

thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn

Hình nón

có đỉnh

nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn

và có chiều cao là

Tính

để thể tích khối nón được tạo nên bởi

có giá trị lớn nhất.

A,

B,

C,

D,

Để đơn giản trong việc tính toán, ta chuẩn hóa

Đặt

Ta cần tìm mối liên hệ giữa

và

Cách 1: Dựa hình vẽ ta có quan hệ:

Lại có:

Cách 2: Gọi

là điểm đối xứng của

qua

vuông tại

có đường cao

nên:

Khi đó

(với

).
Xét hàm số

Lập bảng biến thiên suy ra

Chọn C. Đáp án: C

Câu 6 [327633]: Cho một hình nón

có đáy là hình tròn tâm

, đường kính bằng

và đường cao

. Cho điểm

thay đổi trên đoạn thẳng

. Mặt phẳng

vuông góc với

tại

và cắt hình nón theo đường tròn

. Khối nón có đỉnh là

và đáy là hình tròn

có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

A,

B,

C,

D,

Chuẩn hóa

Đặt

và

khi đó khối nón có đỉnh là

và đáy là hình tròn

có thể tích là:

Ta sẽ tìm mối liên hệ giữa

và

Vì

nên theo định lý Talet ta có:

Thế vào

ta được

Xét hàm số

với

Ta có:

Vậy thể tích lớn nhất của khối nón là

Chọn B. Đáp án: D

Câu 7 [327634]: Cho hình nón

có bán kính đáy

và chiều cao bằng

Một hình trụ nội tiếp hình nón

Diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất bằng

A,

B,

C,

D,

Chuẩn hóa

Gọi

và

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là:

Ta có:

Lại có:

thế vào

ta có:

Xét hàm số

ta có:

từ đó suy ra

Chọn D. Đáp án: D

Câu 8 [327635]: Cho hình nón tròn xoay

có đỉnh

và đáy là hình tròn tâm

bán kính

Đường cao

Gọi

là thể tích của hình trụ nội tiếp hình nón đã cho, giá trị lớn nhất của

là

A,

B,

C,

D,

Chuẩn hóa

dựng hình nón như hình vẽ ta có:

Gọi

và

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó thể tích hình trụ là:

Ta có:

Thế vào

ta có:

Xét hàm số

ta có:

Chọn C. Đáp án: C

Câu 9 [327621]: Cho hình chóp

đều nội tiếp trong mặt cầu bán kính

không đổi. Hình chóp có thể tích lớn nhất có chiều cao là

A,

B,

C,

D,

Chuẩn hóa

Ta tính được

(các em xem lại phần mặt cầu). Gọi

và

lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của khối chóp.
Khi đó
Diện tích đáy là:

Thể tích khối chóp là:

Ta sẽ tìm mối liên hệ giữa

và

, ta có:

thế vào

ta có:

với

Xét hàm số

với

Ta có:

Lập bảng biến thiên suy ra

Vậy

Chọn B. Đáp án: B

Câu 10 [327617]: [Đề thi THPT QG năm 2017-Mã 103] Xét khối chóp

có đáy là tam giác vuông cân tại

vuông góc với đáy, khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng

và

tính

khi thể tích khối chóp

nhỏ nhất.

A,

B,

C,

D,

Đặt

, ta dễ dàng suy ra thể tích khối chóp

là:

Bây giờ ta sẽ tìm mối liên hệ giữa 2 đại lượng

và

dựa vào giả thiết khoảng cách từ

đến mặt phẳng

Dựng

vuông cận tại

Mặt khác

,

Do đó ta có:

(với

)
Xét hàm số

Lập bảng biến thiên suy ra

Do đó

Chọn B. Đáp án: B

Câu 11 [6351]: Cho hình chóp tứ giác đều

có khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng 4 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi V là thể tích khối chóp

, tính giá trị nhỏ nhất của V.

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Gọi

là trung điểm của

là hình chiếu của

trên

Suy ra

Đặt

Thể tích khối chóp

là

Khảo sát hàm số

Vậy

Chọn C. Đáp án: C

Câu 12 [6347]: Cho hình chóp tứ giác đều

có khoảng cách từ tâm

của đáy đến

bằng

là hằng số dương. Đặt

Giá trị của

để thể tích khối chóp

đạt giá trị nhỏ nhất là

A,

B,

C,

D,

Ta có

Suy ra thể tích của khối chóp là

Khảo sát hàm số

trên khoảng

Bảng biến thiên

Suy ra đạt GTNN tại Chọn B.

Đáp án: B

Câu 13 [327624]: [Đề thi THPT QG năm 2017-Mã 101] Xét khối tứ diện

có cạnh

và các cạnh còn lại đều bằng

Tìm

để thể tích khối tứ diện

đạt giá trị lớn nhất.

A,

B,

C,

D,

Gọi

là trung điểm của

các tam giác

cân tại

và

nên

Mặt khác

, dựng

là trung điểm của

Ta có:

Mặt khác

Theo BĐT Cosi ta có:

nên

Chọn C.
Cách 2: Đặt

, ta có

và

đều nên:

Áp dụng công thức nhanh ta có:

Dấu bằng xảy ra

Đáp án: C

Câu 14 [5936]: Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình trụ không nắp có thể tích bằng

với giá thuê nhân công xây bể là

/

. Chi phí thuê nhân công thấp nhất gần bằng giá trị nào trong các giá trị sau?

A,

B,

C,

D,

Gọi bán kính đáy bể là

Chiều cao bể là

Diện tích xung quanh là

Diện tích đáy là

Suy ra diện tích bể cần xây là

Chi phí thuê công nhân thấp nhất là

(đồng)
Chọn C. Đáp án: C

Câu 15 [8775]: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là

Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).

A,

B,

C,

D,

Xét khối trụ nội tiếp khối cầu. Gọi

và

lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ đã cho.
Khi đó ta có

Thể tích khối trụ là

Suy ra

Do khối trụ chỉ nằm trong nửa hộp kem nên

Chọn B. Đáp án: B

Câu 16 [384811]: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4, chiều cao bằng 8. Một khối trụ có bản kính đáy thay đổi và nội tiếp hình nón đã cho (tham khảo hình vẽ).