Đáp án Bài tập tự luyện số 2
Câu 1 [402714]: Cho khối cầu tâm 
bán kính 
mặt phẳng 
cách 
một khoảng bằng 
cắt khối cầu theo một hình tròn 
. Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu và đáy là hình tròn 
. Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của 
bằng bao nhiêu cm?
bán kính mặt phẳng cách một khoảng bằng cắt khối cầu theo một hình tròn . Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu và đáy là hình tròn . Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của bằng bao nhiêu cm?
Gọi 
là tâm của 
, 
là đỉnh của hình nón, 
là điểm trên đường tròn 
Ta có
, 
vậy 
.
Thể tích khối nón là
.
Dấu
xảy ra khi 
.
là tâm của , là đỉnh của hình nón, là điểm trên đường tròn Ta có
, vậy . Thể tích khối nón là
. Dấu
xảy ra khi .
Câu 2 [5940]: Gia đình an xây bể hình trụ có thể tích 
. Đáy bể bằng bê tông giá 
/
. Phần thân làm bằng tôn giá 
/
, nắp bằng nhôm giá 
/
. Hỏi khi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
. Đáy bể bằng bê tông giá /. Phần thân làm bằng tôn giá /, nắp bằng nhôm giá /. Hỏi khi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi bán kính đáy của bể là 
chiều cao là 
Ta có
Diện tích đáy là
Chi phí làm đáy là 
(chục nghìn đồng)
Diện tích thân là
Chi phí làm thân là 
Diện tích nắp là
Chi phí làm nắp là 
Chi phí sản xuất bể là
(đồng)
Ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Chọn A. Đáp án: A
chiều cao là Ta có
Diện tích đáy là
Chi phí làm đáy là (chục nghìn đồng)Diện tích thân là
Chi phí làm thân là Diện tích nắp là
Chi phí làm nắp là Chi phí sản xuất bể là
(đồng)Ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Chọn A. Đáp án: A
Câu 3 [5923]: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích 
nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (cho phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là 
và bán kính đáy là 
Tính tỉ số 
sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?
nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (cho phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là và bán kính đáy là Tính tỉ số sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất? A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Ta có
Chi phí sản xuất mặt xung quanh của thùng là 
(đồng)
Tổng diện tích đáy và nắp là
Chi phí sản xuất đáy và nắp là 
(đồng)
Suy ra chi phí để sản xuất thùng là
Chi phí thấp nhất khi
Chọn D. Đáp án: D
Ta có
Chi phí sản xuất mặt xung quanh của thùng là (đồng)Tổng diện tích đáy và nắp là
Chi phí sản xuất đáy và nắp là (đồng)Suy ra chi phí để sản xuất thùng là
Chi phí thấp nhất khi
Chọn D. Đáp án: D
Câu 4 [390980]: Một chiếc cốc uống nước bằng giấy có dạng hình nón được làm để đựng được 27 cm³ nước. Tìm chiều cao của cốc để sử dụng lượng giấy là nhỏ nhất. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị cm.
Ta có: 
Cốc sử dụng lượng giấy nhỏ nhất
nhỏ nhất
Ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
Cốc sử dụng lượng giấy nhỏ nhất
nhỏ nhất Ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
Câu 5 [327636]: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính đáy 
Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (như hình vẽ). Muốn được cái phễu có thể tích lớn nhất thì hình quạt cần phải làm phễu có độ dài cung bằng bao nhiêu
Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (như hình vẽ). Muốn được cái phễu có thể tích lớn nhất thì hình quạt cần phải làm phễu có độ dài cung bằng bao nhiêu A, 
B, 
C, 
D, 
Bán kính đáy của hình quạt chính là đường sinh của khối nón.
Gọi
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón Thể tích khối nón là:
, trong đó 
Thế vào thể tích ta có:
Xét hàm số
Từ đó suy ra
Độ dài cung của hình quạt chính là chu vi đáy của hình nón suy ra
Chọn B.
Đáp án: B
Câu 6 [399940]: Cho miếng tôn có diện tích 
Người ta dùng miếng tôn hình tròn để tạo thành hình nón có diện tích toàn phần đúng bằng diện tích miếng tôn. Khi đó khối nón có thể tích lớn nhất được tạo thành sẽ có bán kính hình tròn đáy bằng bao nhiêu cm?
Người ta dùng miếng tôn hình tròn để tạo thành hình nón có diện tích toàn phần đúng bằng diện tích miếng tôn. Khi đó khối nón có thể tích lớn nhất được tạo thành sẽ có bán kính hình tròn đáy bằng bao nhiêu cm? A, 
B, 
C, 
D, 
Phương pháp:
Từ diện tích toàn phần bằng diện tích miếng tôn tính 1 theo
Từ đó tình thể tích theo
, khảo sát hàm số và tìm GTLN của thể tích theo 
Cách giải:
Ta có diện tích miếng tôn là
Diện tích toàn phần của hình nón là:
Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:
Thể tích khối nón là:
Dấu bằng xảy ra khi
, vậy 
đạt GTLN khi 
Chọn D. Đáp án: D
Từ diện tích toàn phần bằng diện tích miếng tôn tính 1 theo
Từ đó tình thể tích theo
, khảo sát hàm số và tìm GTLN của thể tích theo Cách giải:
Ta có diện tích miếng tôn là
Diện tích toàn phần của hình nón là:
Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:
Thể tích khối nón là:
Dấu bằng xảy ra khi
, vậy đạt GTLN khi Chọn D. Đáp án: D
Câu 7 [5978]: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn 
rồi dán hai bán kính 
và 
lại với nhau. Gọi 
là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của 
để thể tích phễu lớn nhất là
rồi dán hai bán kính và lại với nhau. Gọi là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của để thể tích phễu lớn nhất làA, 
B, 
C, 
D, 
Phễu chính là khối nón có độ dài đường sinh 
Chuẩn hoá 
Gọi
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón.
Ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Độ dài cung tròn
là 
chính bằng chu vi đường tròn đáy của khối nón.
Khi đó
Chọn D. Đáp án: D
Chuẩn hoá
Gọi
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón.
Ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Độ dài cung tròn
là chính bằng chu vi đường tròn đáy của khối nón.
Khi đó
Chọn D. Đáp án: D
Câu 8 [6394]: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều 
có cạnh bằng 
Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật 
từ mảnh tôn nguyên liệu (với 
thuộc cạnh 
và 
tương ứng thuộc cạnh 
và 
) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng 
Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là bao nhiêu 
. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm? 
có cạnh bằng Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật từ mảnh tôn nguyên liệu (với thuộc cạnh và tương ứng thuộc cạnh và ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là bao nhiêu . Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm?
Gọi 
là trung điểm của 
dễ dàng suy ra 
là trung điểm của 
Khi đó đặt
Gọi
là bán kính hình trụ 
Xét hàm số
Khi đó ta tìm được
Đáp án: D
là trung điểm của dễ dàng suy ra là trung điểm của
Khi đó đặt
Gọi
là bán kính hình trụ
Xét hàm số
Khi đó ta tìm được
Đáp án: D
Câu 9 [6402]: Cho hình chóp 
có 
các cạnh còn lại đều bằng 18. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp 
có các cạnh còn lại đều bằng 18. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp A, 
(đvdt).
(đvdt).B, 1458 (đvdt).
C, 8748 (đvdt).
D, 
(đvdt).
(đvdt).
Vì
suy ra hình chiếu vuông góc 
của 
trên mặt phẳng 
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Tam giác
cân tại 
nên tâm 
Ta có
vuông tại 
Suy ra
Và
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
Suy ra
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [5906]: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng 
chiều cao 
Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình trụ như hình vẽ. Gọi 
là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính 
.
chiều cao Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình trụ như hình vẽ. Gọi là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính . A, 
B, 
C, 
D, 
Đặt
Ta có
Thể tích khúc gỗ hình trụ là
Chọn C. Đáp án: C
Câu 11 [6340]: Cho hình chóp tứ giác đều 
mà khoảng cách từ 
đến mặt phẳng 
bằng 
. Gọi 
là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp. Khối chóp có thể tích nhỏ nhất khi 
(
là phân số tối giản). Tính 
mà khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp. Khối chóp có thể tích nhỏ nhất khi ( là phân số tối giản). Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi
là trung điểm của 
ta có 
Kẻ
vuông góc với 
ta có 
Khi đó trong tam giác vuông
đặt 
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông
, ta có 
Thể tích khối chóp
là 
Khảo sát hàm số
Trong tam giác vuông
ta có 
Chọn A. Đáp án: A
Câu 12 [327620]: [Đề thi THPT QG năm 2017-Mã 104] Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 
tính thể tích 
của khối chóp có thể tích lớn nhất.
tính thể tích của khối chóp có thể tích lớn nhất. A, 
B, 
C, 
D, 
Xét mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp 
Gọi
là tâm hình vuông 
Ta đặt
suy ra 
Hình chóp
đều nên bán kính mặt cầu 
là 
Ta sẽ tìm mối quan hệ giữa
và 
, ta có: 
Do đó
với 
Ta có:
Lập BBT suy ra 
Chọn B. Đáp án: B
Câu 13 [791425]: Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng 
được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo
được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều
có đáy 
là hình vuông tâm 
, cạnh 
, đường cao 
. Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm 
.
Gọi
là trung điểm cạnh 
.
Gọi
là hình chiếu của 
trên 
là hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
.
Dễ thấy
Thể tích khối chóp
là:
Dấu bằng xảy ra
; 
Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là:
Đáp án: D
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều
có đáy là hình vuông tâm , cạnh , đường cao . Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm .Gọi
là trung điểm cạnh .Gọi
là hình chiếu của trên là hình chiếu của trên mặt phẳng .Dễ thấy
Thể tích khối chóp
là: Dấu bằng xảy ra
; Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là:
Đáp án: D
Câu 14 [26515]: Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật 
có diện tích bằng 
và cạnh 
để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật 
thành 
hình chữ nhật 
và 
, trong đó phần hình chữ nhật 
được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng 
; phần hình chữ nhật 
được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi). Tính gần đúng giá trị 
để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).
có diện tích bằng và cạnh để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật thành hình chữ nhật và , trong đó phần hình chữ nhật được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng ; phần hình chữ nhật được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi). Tính gần đúng giá trị để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể). A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Ta có 
Gọi
là bán kính đáy hình trụ inox gò được.
Ta có chu vi hình tròn đáy bằng
Do đó
Như vậy
Thể tích khối trụ inox gò được là
Để thể tích khối trụ là lớn nhất
lớn nhất.
Xét hàm số
với 
và 
Bởi vậy
đồng biến trên khoảng 
và nghịch biến trên khoảng 
Suy ra
Vậy thể tích
lớn nhất tại 
Chọn D. Đáp án: D
Gọi
là bán kính đáy hình trụ inox gò được.
Ta có chu vi hình tròn đáy bằng
Do đó
Như vậy
Thể tích khối trụ inox gò được là
Để thể tích khối trụ là lớn nhất
lớn nhất.
Xét hàm số
với
và
Bởi vậy
đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
Suy ra
Vậy thể tích
lớn nhất tại Chọn D. Đáp án: D