Đáp án Bài tập tự luyện số 2

Câu 1 [402714]: Cho khối cầu tâm

bán kính

mặt phẳng

cách

một khoảng bằng

cắt khối cầu theo một hình tròn

. Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu và đáy là hình tròn

. Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của

bằng bao nhiêu cm?

Gọi

là tâm của

,

là đỉnh của hình nón,

là điểm trên đường tròn

Ta có

,

vậy

.
Thể tích khối nón là

.
Dấu

xảy ra khi

.

Câu 2 [5940]: Gia đình an xây bể hình trụ có thể tích

. Đáy bể bằng bê tông giá

/

. Phần thân làm bằng tôn giá

/

, nắp bằng nhôm giá

/

. Hỏi khi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?

A,

B,

C,

D,

Gọi bán kính đáy của bể là

chiều cao là

Ta có

Diện tích đáy là

Chi phí làm đáy là

(chục nghìn đồng)
Diện tích thân là

Chi phí làm thân là

Diện tích nắp là

Chi phí làm nắp là

Chi phí sản xuất bể là

(đồng)
Ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chọn A. Đáp án: A

Câu 3 [5923]: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích

nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (cho phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là

và bán kính đáy là

Tính tỉ số

sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?

A,

B,

C,

D,

Ta có

Chi phí sản xuất mặt xung quanh của thùng là

(đồng)

Tổng diện tích đáy và nắp là

Chi phí sản xuất đáy và nắp là

(đồng)

Suy ra chi phí để sản xuất thùng là

Chi phí thấp nhất khi

Chọn D. Đáp án: D

Câu 4 [390980]: Một chiếc cốc uống nước bằng giấy có dạng hình nón được làm để đựng được 27 cm³ nước. Tìm chiều cao của cốc để sử dụng lượng giấy là nhỏ nhất. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị cm.

Ta có:

Cốc sử dụng lượng giấy nhỏ nhất

nhỏ nhất
Ta có:

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

Câu 5 [327636]: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính đáy

Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (như hình vẽ). Muốn được cái phễu có thể tích lớn nhất thì hình quạt cần phải làm phễu có độ dài cung bằng bao nhiêu

A,

B,

C,

D,

Bán kính đáy của hình quạt chính là đường sinh của khối nón.
Gọi

lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Thể tích khối nón là:

, trong đó

Thế vào thể tích ta có:

Xét hàm số

Từ đó suy ra

Độ dài cung của hình quạt chính là chu vi đáy của hình nón suy ra

Chọn B. Đáp án: B

Câu 6 [399940]: Cho miếng tôn có diện tích

Người ta dùng miếng tôn hình tròn để tạo thành hình nón có diện tích toàn phần đúng bằng diện tích miếng tôn. Khi đó khối nón có thể tích lớn nhất được tạo thành sẽ có bán kính hình tròn đáy bằng bao nhiêu cm?

A,

B,

C,

D,

Phương pháp:
Từ diện tích toàn phần bằng diện tích miếng tôn tính 1 theo

Từ đó tình thể tích theo

, khảo sát hàm số và tìm GTLN của thể tích theo

Cách giải:
Ta có diện tích miếng tôn là

Diện tích toàn phần của hình nón là:

Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:

Thể tích khối nón là:

Dấu bằng xảy ra khi

, vậy

đạt GTLN khi

Chọn D. Đáp án: D

Câu 7 [5978]: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn

rồi dán hai bán kính

và

lại với nhau. Gọi

là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của

để thể tích phễu lớn nhất là

A,

B,

C,

D,

Phễu chính là khối nón có độ dài đường sinh

Chuẩn hoá

Gọi

lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón.

Ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Độ dài cung tròn

là

chính bằng chu vi đường tròn đáy của khối nón.
Khi đó

Chọn D. Đáp án: D

Câu 8 [6394]: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều

có cạnh bằng

Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật

từ mảnh tôn nguyên liệu (với

thuộc cạnh

và

tương ứng thuộc cạnh

và

) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là bao nhiêu

. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm?

Gọi

là trung điểm của

dễ dàng suy ra

là trung điểm của

Khi đó đặt

Gọi

là bán kính hình trụ

Xét hàm số

Khi đó ta tìm được

Đáp án: D

Câu 9 [6402]: Cho hình chóp

có

các cạnh còn lại đều bằng 18. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

A,

(đvdt).

B, 1458 (đvdt).

C, 8748 (đvdt).

D,

(đvdt).

Vì

suy ra hình chiếu vuông góc

của

trên mặt phẳng

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tam giác

cân tại

nên tâm

Ta có

vuông tại

Suy ra

Và

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

Suy ra

Chọn B. Đáp án: B

Câu 10 [5906]: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng

chiều cao

Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình trụ như hình vẽ. Gọi

là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính

.

A,

B,

C,

D,

Đặt

Ta có

Thể tích khúc gỗ hình trụ là

Chọn C. Đáp án: C

Câu 11 [6340]: Cho hình chóp tứ giác đều

mà khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

. Gọi

là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp. Khối chóp có thể tích nhỏ nhất khi

(

là phân số tối giản). Tính

A,

B,

C,

D,

Gọi

là trung điểm của

ta có

Kẻ

vuông góc với

ta có

Khi đó trong tam giác vuông

đặt

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

, ta có

Thể tích khối chóp

là

Khảo sát hàm số

Trong tam giác vuông

ta có

Chọn A. Đáp án: A

Câu 12 [327620]: [Đề thi THPT QG năm 2017-Mã 104] Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng

tính thể tích

của khối chóp có thể tích lớn nhất.

A,

B,

C,

D,

Xét mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

Gọi

là tâm hình vuông

Ta đặt

suy ra

Hình chóp

đều nên bán kính mặt cầu

là

Ta sẽ tìm mối quan hệ giữa

và

, ta có:

Do đó

với

Ta có:

Lập BBT suy ra

Chọn B. Đáp án: B

Câu 13 [791425]: Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính bằng

được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất, tính tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo

A,

B,

C,

D,