Đáp án Bài tập tự luyện
Câu 1 [151694]: Một khối cầu có bán kính là 
, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 
để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 2 [151703]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi cung tròn 
của đường tròn tâm 
bán kính 
và dây cung 
vuông góc với 
tại 
và 
(hình vẽ). Tính thể tích 
của vật thể tròn xoay tạo được khi quay hình phẳng 
xung quanh 
.
giới hạn bởi cung tròn của đường tròn tâm bán kính và dây cung vuông góc với tại và (hình vẽ). Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo được khi quay hình phẳng xung quanh . A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 3 [151712]: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 
mét, chiều dài 
mét, đỉnh trại cách nền 
mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại.
mét, chiều dài mét, đỉnh trại cách nền mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: B
Câu 4 [15924]: Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 
, đường kính lớn nhất của nhân thùng là 
, chiều cao thùng là 
, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể)
, đường kính lớn nhất của nhân thùng là , chiều cao thùng là , cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng Bia hơi gần nhất với số nào sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia không đáng kể) A, 70 (lít).
B, 62 (lít).
C, 60 (lít).
D, 64 (lít).
Đáp án: D
Câu 5 [151704]: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây:
Người ta đo được đường kính của miệng ly là
và chiều cao là 
. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một Parabol. Tính thể tích 
của vật đã cho.
Người ta đo được đường kính của miệng ly là
và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một Parabol. Tính thể tích của vật đã cho. A, 
B, 
C, 
D, 
Thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình 
giới hạn bởi các đường 
quanh trục tung.
Khi đó
Chọn C. Đáp án: C
giới hạn bởi các đường quanh trục tung.
Khi đó
Chọn C. Đáp án: C
Câu 6 [151696]: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 
, trục nhỏ 
. Biết cứ 
dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 
. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
, trục nhỏ . Biết cứ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá . Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 7 [408110]: Từ hình chữ nhật 
có chiều dài 
và chiều rộng 
người ta cắt bỏ miền 
được giới hạn bởi cạnh 
của hình chữ nhật và hai nửa đường thẳng parabol có chung đỉnh là trung điểm cạnh 
chúng lần lượt đi qua hai đầu mút 
của hình chứ nhất đó (phần tô đậm như hình vẽ). Phần còn lại cho quay quanh trục 
để tạo nên một đồ vật làm trang trí, thể thế của vật trang trí đó bằng bao nhiêu 
Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
có chiều dài và chiều rộng người ta cắt bỏ miền được giới hạn bởi cạnh của hình chữ nhật và hai nửa đường thẳng parabol có chung đỉnh là trung điểm cạnh chúng lần lượt đi qua hai đầu mút của hình chứ nhất đó (phần tô đậm như hình vẽ). Phần còn lại cho quay quanh trục để tạo nên một đồ vật làm trang trí, thể thế của vật trang trí đó bằng bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. 
Phương trình Parabol 
có dạng: 
có dạng: Mặt khác Parabol đi qua điểm 
Khi đó phương trình đường cong 
là 
là Thể tích của vật thể thu được là: 
Câu 8 [408108]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền 
(Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới) quanh trục 
Biết rằng 
miền 
được giới hạn bởi đoạn thẳng 
, cung tròn 
có tâm 
đường tròn elip 
có trục 
và 
Thể tích của vật trang trí bằng bao nhiêu 
Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
(Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới) quanh trục Biết rằng miền được giới hạn bởi đoạn thẳng , cung tròn có tâm đường tròn elip có trục và Thể tích của vật trang trí bằng bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Chọn hệ trục với 
trùng với 
như hình vẽ. 
trùng với như hình vẽ. Phương trình nửa đường tròn là 
Phương trình Elip là: 
suy ra phương trình đường cong Elip phía trên là 
suy ra phương trình đường cong Elip phía trên là Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 
Câu 9 [398640]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền 
(phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục 
Biết rằng 
, 
là trung điểm 
, miền 
được giới hạn bởi đoạn thẳng 
và các cung tròn bán kính 
có tâm 
và 
Thể tích vật trang trí đó bằng bao nhiêu cm3. Viết kết quả làm tròn đến hang phần chục.
(phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục Biết rằng , là trung điểm , miền được giới hạn bởi đoạn thẳng và các cung tròn bán kính có tâm và Thể tích vật trang trí đó bằng bao nhiêu cm3. Viết kết quả làm tròn đến hang phần chục. A, 2,9 cm3.
B, 3,5 cm3.
C, 1,7 cm3.
D, 4,2 cm3.
Chọn A.
Chọn hệ trục
như hình vẽ
Khi đó mặt phẳng
được giới hạn bởi hai cung tròn: 
và 
Hoành độ giao điểm của hai cung tròn này là nghiệm của phương trình
Khi đó miền phẳng
Vậy
Đáp án: A
Chọn hệ trục
như hình vẽ
Khi đó mặt phẳng
được giới hạn bởi hai cung tròn: và
Hoành độ giao điểm của hai cung tròn này là nghiệm của phương trình
Khi đó miền phẳng
Vậy
Đáp án: A
Câu 10 [408109]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền 
được giới hạn bởi đường gấp khúc 
và cung tròn 
(phần tô đậm trong hình bên) xung quanh trục 
. Biết 
là hình chữ nhật cạnh 
, 
; 
là trung điểm của 
; điểm 
cách 
một đoạn bằng 
. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị 
được giới hạn bởi đường gấp khúc và cung tròn (phần tô đậm trong hình bên) xung quanh trục . Biết là hình chữ nhật cạnh , ; là trung điểm của ; điểm cách một đoạn bằng . Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị 
+ Gắn hệ trục
như hình vẽ.Gọi
là trung điểm 
+ Gọi
là thể tích khối trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật 
quanh trục 
gọi 
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn đi qua 
và cạnh 
quanh 
+ Ta có:
+
+ Phương trình đường tròn đi qua
là 
+ Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng
Câu 11 [408479]: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng 
, đường cong 
là một phần của parabol có đỉnh là điểm 
. Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu 
. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị
, đường cong là một phần của parabol có đỉnh là điểm . Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu . Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị 
Lưu ý: 
(Vì 
)
(Vì )
Câu 12 [395596]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền 
(phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục 
Miền 
được giới hạn bởi các cạnh 
, 
của hình vuông 
và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng 
cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh 
, 
Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười
(phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục Miền được giới hạn bởi các cạnh , của hình vuông và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh , Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ
sao cho trục 
chứa cạnh 
và 
Khi đó
và 
với 
, 
lần lượt là trung điểm của 
, 
Khi đó đường tròn tâm
chứa cung tròn 
là 
và đường tròn tâm 
chứa cung tròn 
là 
Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm
là 
và phương trình cung dưới của của đường tròn tâm 
là 
Khi đó, thể tích vật thể trang trí là
Đáp án: B
Chọn hệ trục tọa độ
sao cho trục chứa cạnh và Khi đó
và với , lần lượt là trung điểm của , Khi đó đường tròn tâm
chứa cung tròn là và đường tròn tâm chứa cung tròn là Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm
là và phương trình cung dưới của của đường tròn tâm là Khi đó, thể tích vật thể trang trí là
Đáp án: B
Câu 13 [204876]: Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình bên. Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh 2m và hai xương dây 𝑎, 𝑏 nằm trên các đường parabol đỉnh 𝑆. Biết chiều cao của lều là 
𝑂 là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị 
. Viết kết quả dưới dạng số thập phân. 
𝑂 là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị . Viết kết quả dưới dạng số thập phân.
Gắn hệ trục như hình vẽ.
Ta tính được
Gọi phương trình của đường thẳng
là 
Ta có
đi qua các điểm
Suy ra ta có hệ
Gọi
Mặt phẳng vuông góc
tại 
cắt hình đa cho theo 1 thiết diện là hình vuông 
có diện tích 
Theo giả thiết trên các điểm
cùng có tung độ bằng 
Mà hai điểm 
thuộc đường 
có phương trình 
Suy ra
Suy ra thể tích chiếc lều là
Ta tính được
Gọi phương trình của đường thẳng
là Ta có
đi qua các điểm Suy ra ta có hệ
Gọi
Mặt phẳng vuông góc
tại cắt hình đa cho theo 1 thiết diện là hình vuông có diện tích Theo giả thiết trên các điểm
cùng có tung độ bằng Mà hai điểm thuộc đường có phương trình Suy ra
Suy ra thể tích chiếc lều là
Câu 14 [151705]: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao 
của mực cát bằng 
chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 
/
Khi chiều cao của cát còn 
thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 
(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu 
(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi / Khi chiều cao của cát còn thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 15 [151706]: Bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 
, chiều cao trong lòng cốc là 
đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Thể tích lượng nước trong cốc là bao nhiêu cm^3.
, chiều cao trong lòng cốc là đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Thể tích lượng nước trong cốc là bao nhiêu cm^3. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 16 [151709]: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 
người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 
để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây).
Kí hiệu
là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính 
người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây).Kí hiệu
là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 17 [151711]: Người ta dựng một cái lều vải 
có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ dưới. Đáy của 
là một hình lục giác đều cạnh 
Chiều cao 
(
vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của 
là các sợi 
nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với 
Giả sử giao tuyến (nếu có) của 
với mặt phẳng 
vuông góc với 
là một lục giác đều và khi 
đi qua trung điểm 
thì lục giác đều cạnh bằng 
Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều 
đó.
có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ dưới. Đáy của là một hình lục giác đều cạnh Chiều cao ( vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của là các sợi nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có) của với mặt phẳng vuông góc với là một lục giác đều và khi đi qua trung điểm thì lục giác đều cạnh bằng Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều đó. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 18 [151713]: Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lơn bằng 
độ dài trục bé bằng 
Tính thể tích 
của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
độ dài trục bé bằng Tính thể tích của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 19 [140098]: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính 
đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao 
Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần bằng
đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 20 [151716]: Gọi 
là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ có bán kính bằng a (xem hình vẽ bên). Tính thể tích của 
là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ có bán kính bằng a (xem hình vẽ bên). Tính thể tích của A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 21 [151717]: Cho 2 đường tròn 
và 
cắt nhau tại 2 điểm 
sao cho 
là 1 đường kính của đường tròn 
Gọi 
là hình thẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay 
quanh trục 
ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
và cắt nhau tại 2 điểm sao cho là 1 đường kính của đường tròn Gọi là hình thẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay quanh trục ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 22 [151718]: Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ dưới, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính 
có diện tích là 
và 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình 
(phần tô đậm) xung quanh đường thẳng 
có diện tích là và Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 23 [151719]: Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (hình 1).
Thiết diện qua trục của bình như hình 2. Biết
,
, 
, 
và giá mỗi lít rượu là 
đồng. Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể)?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng?
Thiết diện qua trục của bình như hình 2. Biết
,, , và giá mỗi lít rượu là đồng. Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể)?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng? A, 
đồng.
đồng.B, 
đồng.
đồng.C, 
đồng.
đồng.D, 
đồng.
đồng.
Đáp án: D
Câu 24 [408423]: Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiều bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ 
, bán kính đường tròn lớn 
và mặt cắt bởi mặt phẳng đi qua trục vuông góc với mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày của vỏ săm. Thể tích không khí được chứa bên trong săm la bao nhiêu 
. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
, bán kính đường tròn lớn và mặt cắt bởi mặt phẳng đi qua trục vuông góc với mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày của vỏ săm. Thể tích không khí được chứa bên trong săm la bao nhiêu . Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục. 
Thể tích săm là 12,3 
Câu 25 [408422]: Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn 
quanh trục 
). Biết rằng 
. Thể tích 
của chiếc phao la bao nhiêu lít. Viết kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân
quanh trục ). Biết rằng . Thể tích của chiếc phao la bao nhiêu lít. Viết kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân 
Thể tích phao là 14,8 lít