Quay lại
Đáp án
Đáp án Bài tập tự luyện số 2
Câu 1 [57136]: Trong không gian cho hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
26.png Đáp án: C
Câu 2 [57132]: Trong không gian với hệ tọa độ góc hợp bởi mặt phẳng và mặt phẳng là
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: A
Câu 3 [57271]: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa và là
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: A
Câu 4 [57273]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng Tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: D
Câu 5 [879527]: Trong không gian tọa độ cho hai mặt phẳng và Tìm giá trị của tham số để góc giữa hai mặt phẳng và bằng
A,
B,
C,
D,
Các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và lần lượt là
Khi đó
Chọn A. Đáp án: A
Câu 6 [405671]: Trong không gian tọa độ cho hai mặt phẳng và Các mệnh đề sau đúng hay sai
A, a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
B, b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
C, c) Góc giữa hai mặt phẳng và bằng
D, d) Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và thì có một vectơ chỉ phương là
a) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
b) Sai.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
c) Đúng.
Các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và lần lượt là
Khi đó:
d) Đúng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và lần lượt là
Suy ra một vectơ chỉ phương của là
Câu 7 [405675]: Trong không gian cho hai đường thẳng và Các mệnh đề sau đúng hay sai
A, a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
B, b) Góc giữa và bằng
C, c) và là hai đường thẳng chéo nhau.
D, d) Gọi là mặt phẳng chứa và song song với thì khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng bằng
a) Sai.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
b) Đúng.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Suy ra
c) Đúng.
Nhắc lại: Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không song song và cũng không cắt nhau.
Cách 1: (ta chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau và cũng không song song với nhau)
+) Xét hệ phương trình
Từ phương trình và ta tìm được
Thay vào ta được
Suy ra hệ vô nghiệm
không cắt
+) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là
Ta thấy không song song với
Từ và suy ra và chéo nhau.
Cách 2: (ta so sánh với nếu thì hai đường thẳng đồng phẳng tức không chéo nhau; nếu thì hai đường thẳng không đồng phẳng tức hai đường thẳng chéo nhau)
Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là
Chọn
không đồng phẳng và chéo nhau.
d) Đúng.
Mặt phẳng có hai vectơ chỉ phương là
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
Suy ra khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng là
Câu 8 [405676]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng Các mệnh đề sau đúng hay sai
A, a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là
B, b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
C, c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
D, d) Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với thì khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng bằng
a) Đúng.
b) Sai.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
c) Sai.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
Gọi là góc giữa d và thì:
Suy ra
d) Đúng.
Vì chứa và vuông góc với nên sẽ có hai vectơ chỉ phương là
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
Suy ra khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng là
Câu 9 [163892]: Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm (gốc cây thông) và (nơi buộc dây neo) có toạ độ tương ứng là đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
t07.png
A, a)
B, b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
C, c) Góc giữa so với mặt phẳng sườn núi (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) là
D, d) Góc giữa so với mặt phẳng sườn núi (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) là

Thầy Tuấn-Xin lỗi các em về lỗi đề (sách 3000 bài tập nên không thể tránh khỏi trong lần đầu xuất bản) - Các em sửa lại đề theo đề Web nhé!. Cảm ơn các em nhiều! (bài này thêm toạ độ A)
a) Đúng.
Do điểm nên
b) Đúng.
Ta có: nên
Vì thế, vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt khác, do nên ta có:
c) Sai.

suy ra
Vậy góc tạo bởi dây neo và mặt phẳng sườn núi là khoảng
d) Sai.

suy ra
Vậy góc tạo bởi dây neo và mặt phẳng sườn núi là khoảng

Câu 10 [202965]: Trong không gian với hệ toạ độ một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ là (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Các mệnh đề sau đúng hay sai
t08.png
A, a) Phương trình đường cáp là
B, b) Giả sử sau kể từ xuất phát cabin đến điểm Toạ độ của điểm theo là
C, c) Cabin dừng ở điểm có hoành độ Độ dài quãng đường (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét) bằng mét.
D, d) Đường cáp tạo với mặt phẳng góc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) là
a. Sai.
Phương trình chính tắc của đường cáp là:
b. Sai.
Do tốc độ chuyển động của cabin là nên độ dài bằng (m).
Vì vậy
Do hai vectơ và là cùng phương và cùng hướng nên với là số thực dương nào đó.
Suy ra
Do đó Suy ra Vì thế, ta có:
Gọi toạ độ của điểm là
Do
Nên
Vậy điểm có toạ độ là
c. Đúng.
Do nên
Do đó, ta có điểm
Vậy
d. Đúng.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Do đó, ta có:
Vậy
Câu 11 [57133]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ xuống mặt phẳng số đo góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có phương trình bằng bao nhiêu độ
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: C
Câu 12 [57257]: Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm và Góc giữa hai cạnh và có số đo là bao nhiêu độ
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: D
Câu 13 [867060]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Góc hợp giữa đường thẳng và mặt phẳng là bao nhiêu độ?
A,
B,
C,
D,
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là Gọi là góc giữa d và thì:

Suy ra Chọn C.
Đáp án: C
Câu 14 [57276]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Số đo góc bằng bao nhiêu độ?
A,
B,
C,
D,
Screenshot_1.png Đáp án: C
Câu 15 [899529]: Cho đường thẳng và mặt phẳng Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho Tổng các phần tử của tập hợp bằng bao nhiêu?
A,
B,
C,
D,
Ta có



Đáp án: C
Câu 16 [161474]: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại và (minh hoạ như hình bên).

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng
Chọn C
Cách 1:

Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có .
Mặt phẳng vuông góc với AC ≡ Oy nên nhận là vectơ pháp tuyến.
Ta có

Mặt phẳng nhận vectơ là vectơ pháp tuyến.
Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Ta có .
Vậy góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng .

Câu 17 [202979]: Trong không gian với hệ toạ độ cho hình chóp có và đáy là hình vuông, Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Giá trị bằng bao nhiêu. Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

Ghép trục toạ độ như hình, với
Suy ra toạ độ điểm
+) Mặt phẳng có 2 vectơ chỉ phương là
Suy ra vectơ pháp tuyến của mp là
+) Mặt phẳng có 2 vectơ chỉ phương là
Suy ra vectơ pháp tuyến của mp là
Suy ra
Câu 18 [202980]: Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân, Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với Góc giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu độ?.
Gọi là trung điểm của Ta có
+) (vì là đường trung tuyến của tam giác cân )
+) (vì mà ).
Nên ta chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ và xét là gốc toạ độ.

+) Xét vuông cân tại ta có

Suy ra toạ độ điểm
+) Xét tam giác vuông tại ta có


+) Giả sử toạ độ điểm
(vì và đối xứng nhau qua gốc toạ độ )
Ta có
Chọn
+) Mặt phẳng có 2 vectơ chỉ phương là
Suy ra vectơ pháp tuyến của mp là
+) Mặt phẳng có 2 vectơ chỉ phương là
Suy ra vectơ pháp tuyến của mp là
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là
Suy ra góc giữa hai mp bằng
Câu 19 [202971]: Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau người ta thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Gọi điểm cách nhau trên mặt nước là
Vị trí thả rọi xuống đáy bể lần lượt là sao cho

Chọn gốc toạ độ tại trung điểm
Khi đó,
Ta có:
Mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có:
Mặt phẳng đáy bể là mp nên có vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mp có vectơ pháp tuyến là
Nên góc giữa hai mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang là:

Suy ra
Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng độ.
Câu 20 [202972]: Trong một bể hình lập phương cạnh có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm đến đáy bể tương ứng là
t12.png
Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
t13.png
Khi đó,
Suy ra
Vì là hình bình hành nên
Do đó,

Đáy bể nằm trong mặt phẳng có phương trình là
Ta có:
Suy ra
Do đó
Suy ra