Đáp án Bài tập tự luyện số 2
Câu 1 [900643]: Trong không gian 
, cho hai điểm 
, 
và mặt phẳng 
. Mặt cầu 
tâm 
có bán kính 
, đi qua điểm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
tại điểm 
. Độ dài ngắn nhất của đoạn 
bằng
, cho hai điểm , và mặt phẳng . Mặt cầu tâm có bán kính , đi qua điểm và tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm . Độ dài ngắn nhất của đoạn bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn A
Gọi
là hình chiếu vuông góc của 
lên mặt phẳng 
. Ta có: 
và 
.
là điểm đối xứng với 
qua 
nên 
.
Hai tam giác
và 
đồng dạng nên 
.
Tam giác
vuông tại 
, ta có: 
.
Ta thấy
là điểm cố định và 
di động cùng thuộc mặt phẳng 
mà 
nên 
thuộc đường tròn 
nằm trong mặt phẳng 
có tâm 
và bán kính 
.
Gọi
là hình chiếu vuông góc của 
lên mặt phẳng 
. Ta có: 
.
Tam giác
vuông tại 
, ta có: 
.
Độ dài đoạn
ngắn nhất khi 
ngắn nhất.
Mà
nên 
ngắn nhất khi 
.
Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn
bằng 
. Đáp án: A
Gọi
là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Ta có: và . là điểm đối xứng với qua nên .Hai tam giác
và đồng dạng nên .Tam giác
vuông tại , ta có: .Ta thấy
là điểm cố định và di động cùng thuộc mặt phẳng mà nên thuộc đường tròn nằm trong mặt phẳng có tâm và bán kính .Gọi
là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Ta có: .Tam giác
vuông tại , ta có: .Độ dài đoạn
ngắn nhất khi ngắn nhất. Mà
nên ngắn nhất khi .Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn
bằng . Đáp án: A
Câu 2 [58264]: Trong không gian tọa độ 
, cho các điểm 
và hai điểm 
thay đổi trên mặt phẳng 
sao cho 
. Giá trị nhỏ nhất của 
là
, cho các điểm và hai điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho . Giá trị nhỏ nhất của là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: A
Câu 3 [58273]: Trong không gian 
cho điểm 
và mặt phẳng 
. Biết điểm 
thuộc 
, điểm 
thuộc 
sao cho chu vi tam giác 
nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là
cho điểm và mặt phẳng . Biết điểm thuộc , điểm thuộc sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 4 [58274]: Trong không gian 
, cho điểm 
và mặt phẳng 
. Điểm 
thay đổi thuộc 
; điểm 
thay đổi thuộc mặt phẳng 
. Biết rằng tam giác 
có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm 
là
, cho điểm và mặt phẳng . Điểm thay đổi thuộc ; điểm thay đổi thuộc mặt phẳng . Biết rằng tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 5 [175614]: [MĐ4] Trong không gian 
, cho ba điểm 
và 
. Điểm 
di động trên mặt cầu 
sao cho tam giác 
có 
. Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng 
thuộc khoảng nào dưới đây?
, cho ba điểm và . Điểm di động trên mặt cầu sao cho tam giác có . Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Ta có: 
có tâm 
, bán kính 
.
+
và 
.
Gọi
, từ 
điểm
di động trên mặt cầu 
.
Từ đó suy ra điểm
di động trên đường tròn 
, nằm trên 
và có tâm 
, bán kính 
.
Gọi
là hình chiếu vuông góc của 
lên 
.
Ta có:
và 
.
Vậy
. Đáp án: B
có tâm , bán kính .
+
và .
Gọi
, từ điểm di động trên mặt cầu .
Từ đó suy ra điểm
di động trên đường tròn , nằm trên và có tâm , bán kính .Gọi
là hình chiếu vuông góc của lên .
Ta có:
và .
Vậy
. Đáp án: B
Câu 6 [58244]: Trong không gian 
gọi 
là đường thẳng đi qua 
, song song với mặt phẳng 
và có tổng khoảng cách từ các điểm 
tới đường thẳng 
có giá trị nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương 
của 
có tọa độ là
gọi là đường thẳng đi qua , song song với mặt phẳng và có tổng khoảng cách từ các điểm tới đường thẳng có giá trị nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương của có tọa độ là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 7 [903988]: Trong không gian 
cho điểm 
và hai mặt cầu 
Gọi 
là điểm thuộc cả hai mặt cầu 
Khoảng cách
nhỏ nhất bằng
cho điểm và hai mặt cầu Gọi là điểm thuộc cả hai mặt cầu Khoảng cách nhỏ nhất bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Hai mặt cầu 
và 
cắt nhau tại mặt phẳng 
: 
Hình chiếu của 
lên mặt phẳng 
là: 
Ta có: Tâm mặt phẳng hình tròn 
được cắt bởi hai mặt cầu là 
Xét 
có: Tâm 
và bán kính 
và 
vuông tại 
Có: 
vuông tại 
Đáp án: A
Câu 8 [82007]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho đường thẳng 
và hai điểm 
Gọi 
là đường thẳng đi qua điểm 
và cắt đường thẳng 
sao cho khoảng cách từ 
đến đường thẳng 
lớn nhất, 
là vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Giá trị của 
bằng
cho đường thẳng và hai điểm Gọi là đường thẳng đi qua điểm và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng lớn nhất, là vectơ chỉ phương của đường thẳng Giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 9 [82008]: Trong không gian 
cho hai điểm 
và mặt cầu 
Xét đường thẳng 
đi qua 
và tiếp xúc với 
sao cho khoảng cách từ 
đến 
nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng 
là
cho hai điểm và mặt cầu Xét đường thẳng đi qua và tiếp xúc với sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 10 [903752]: Cho mặt cầu 
và đường thẳng 
Từ điểm 
kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu 
và gọi 
là tập hợp các tiếp điểm. Biết khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
đạt giá trị nhỏ nhất thì 
thuộc mặt phẳng 
Tìm 
và đường thẳng Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu và gọi là tập hợp các tiếp điểm. Biết khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đạt giá trị nhỏ nhất thì thuộc mặt phẳng Tìm A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt cầu
có tâm 
và bán kính 
Từ
ta kẻ các đường tiếp tuyến đến mặt cầu 
tạo thành hình tròn 
tập hợp các điểm.Diện tích giới hạn bởi
nhỏ nhất khi và chỉ khi 
hay 
Xét
vuông tại 
: 
Ta có:
khi và chỉ khi 
Có
Lại có:
Ta có phương trình mặt phẳng chứa
đi qua 
và có vecto pháp tuyến là 
:
Đáp án: B Đáp án: B
Câu 11 [43310]: Trong không gian tọa độ 
cho mặt phẳng 
các điểm 
(
và 
nằm trên mặt phẳng 
) và mặt cầu 
là một đường kính thay đổi của 
sao cho 
và bốn điểm 
tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện 
bằng
cho mặt phẳng các điểm ( và nằm trên mặt phẳng ) và mặt cầu là một đường kính thay đổi của sao cho và bốn điểm tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 12 [522571]: Trong không gian 
, cho mặt cầu 
và điểm 
. Bốn điểm 
thay đổi trên mặt cầu sao cho tứ giác 
là hình vuông. Khi khối chóp 
có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa bốn điểm 
có phương trình là
, cho mặt cầu và điểm . Bốn điểm thay đổi trên mặt cầu sao cho tứ giác là hình vuông. Khi khối chóp có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa bốn điểm có phương trình là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Nhận thấy điểm
nên đây chính là bài toán tìm thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu 
. Gọi 
là tâm của hình vuông 
.
tâm mặt cầu 
, bán kính 
Đặt
, với 
.
; 
Thể tích khối chóp
bằng 
Đặt
, với 
Xét hàm số
, với 
Từ bảng biến thiên suy ra
khi 
Vì mặt phẳng
nên mặt phẳng 
nhận véc tơ 
làm véctơ pháp tuyến nên phương trình có dạng: 
hoặc 
.
Vì
Đáp án: B
Nhận thấy điểm
nên đây chính là bài toán tìm thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu . Gọi là tâm của hình vuông . tâm mặt cầu , bán kính Đặt
, với . ; Thể tích khối chóp
bằng Đặt
, với Xét hàm số
, với Từ bảng biến thiên suy ra
khi Vì mặt phẳng
nên mặt phẳng nhận véc tơ làm véctơ pháp tuyến nên phương trình có dạng: hoặc . Vì
Câu 13 [59092]: Trong không gian 
cho mặt cầu 
Gọi 
là mặt phẳng đi qua hai điểm 
và cắt 
theo giao tuyến là đường tròn 
sao cho khối nón có đỉnh là tâm của 
đáy là 
có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng 
có phương trình dạng 
khi đó 
bằng
cho mặt cầu Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm của đáy là có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng khi đó bằng
Mặt cầu 
có tâm 
và bán kính 
Điểm
Điểm
Mặt phẳng
có dạng 
Gọi
là khoảng cách từ tâm 
đến mặt phẳng 
và 
là bán kính của đường tròn 
Khi đó khối nón có đỉnh
và đáy là đường tròn 
có thể tích là:
Đặt
Suy ra
và 
(vì 
).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
đạt giá trị lớn nhất khi 
hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi 
Mà
nên 
Vậy
Đáp án: A
có tâm và bán kính Điểm
Điểm
Mặt phẳng
có dạng Gọi
là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng và là bán kính của đường tròn Khi đó khối nón có đỉnh
và đáy là đường tròn có thể tích là: Đặt
Suy ra
và (vì ). Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
đạt giá trị lớn nhất khi hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi Mà
nên Vậy
Đáp án: A
Câu 14 [59093]: Trong không gian tọa độ 
cho hai điểm 
Gọi 
là mặt cầu có đường kính 
Mặt phẳng 
vuông góc với đoạn 
tại 
sao cho khối nón đỉnh 
và đáy là hình tròn tâm 
(giao của mặt cầu 
và mặt phẳng 
) có thể tích lớn nhất, biết rằng 
với 
Tính 
cho hai điểm Gọi là mặt cầu có đường kính Mặt phẳng vuông góc với đoạn tại sao cho khối nón đỉnh và đáy là hình tròn tâm (giao của mặt cầu và mặt phẳng ) có thể tích lớn nhất, biết rằng với Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Trên hệ trục tọa độ
cho 
Mặt cầu
có đường kính 
Mặt phẳng
vuông góc với 
tại 
hình tròn tâm 
Đặt
Ta có:
Vì
Vậy
Đáp án A Đáp án: A
Câu 15 [903990]: Trong không gian 
cho đường thẳng 
và mặt cầu 
Hai điểm 
thay đổi trên 
sao cho tiếp diện của 
tại 
và 
vuông góc với nhau. Đường thẳng qua 
song song với 
cắt mặt phẳng 
tại 
đường thẳng qua 
song song với 
cắt mặt phẳng 
tại 
Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
cho đường thẳng và mặt cầu Hai điểm thay đổi trên sao cho tiếp diện của tại và vuông góc với nhau. Đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng tại đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng tại Tìm giá trị lớn nhất của tổng A, 
B, 
C, 
D, 
Theo giả thiết, ta có:
là hai điểm thay đổi trên 
Gọi
lần lượt là tiếp diện của mặt cầu 
tại hai điểm 
lần lượt là vecto pháp tuyến của 
Hai thiết diện vuông góc với nhau
Theo giả thiết, lại có:
và 
là hình thang. Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang, ta có:
Xét
là trung điểm 
luôn nằm trên mặt cầu 
Có:
là đường trung bình của hình thang 
Gọi
là hình chiếu của 
trên 
Có:
nằm trên đỉnh mặt cầu 
Đáp án: A. Đáp án: A
Câu 16 [902892]: Trong không gian tọa độ 
cho mặt cầu 
Biết rẳng từ một điểm 
thuộc mặt phẳng 
ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến 
đôi một vuông góc với nhau đến mặt cầu 
(trong đó 
là các tiếp điểm). Tính giá trị lớn nhất của 
cho mặt cầu Biết rẳng từ một điểm thuộc mặt phẳng ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến đôi một vuông góc với nhau đến mặt cầu (trong đó là các tiếp điểm). Tính giá trị lớn nhất của A, 
B, 
C, 
D, 
Từ
ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến 
đôi một vuông góc với nhau.Có
+ Hình chiếu
lên 
: 
Đáp án B. Đáp án: B
Câu 17 [906260]: Trong không gian tọa độ 
cho ba điểm 
và mặt phẳng 
Điểm 
nằm trên mặt phẳng 
sao cho 
và 
đều tạo với mặt phẳng 
các góc bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất của đoạn 
cho ba điểm và mặt phẳng Điểm nằm trên mặt phẳng sao cho và đều tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất của đoạn A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Theo giả thiết, ta có: 
sao cho 
tạo với mặt phẳng 
góc bẳng nhau.
Gọi hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
lần lượt là 
luôn nằm trên mặt cầu có tâm 
và bán kính 
Lại có: 
Khoảng cách từ 
đến 
đạt giá trị lớn nhất khi và khi hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
là xa nhất, hay 
Có: 
Đáp án: 7,099019.
Câu 18 [59189]: Trong không gian 
, cho hai điểm 
. Gọi 
là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến cảu hai mặt cầu 
và 
. Xét hai điểm 
bất kì thuộc 
sao cho 
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
, cho hai điểm . Gọi là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến cảu hai mặt cầu và . Xét hai điểm bất kì thuộc sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
có tâm 
có tâm 
Ta có 
tâm đường tròn thiết diện chính là 
Phương trình 
qua 
và nhận 
làm VTPT là: 
khác phía so với 
Xét tiết diện thả̉ng chứa 
và hai hình chiếu 
của 
lên 
Ta có 
Ta tìm 
nhỏ nhất
Gọi 
là ảnh cùa 
qua phép tịnh tiến theo 
(cùng hướng với 
và có độ dài bằng 1 )
Ta có 
nhȯ nhất khi 
, khi đó 
.
Chọn đáp án A.
Đáp án: A
Câu 19 [280814]: Trong không gian 
cho 
Xét các điểm 
thay đổi sao cho tam giác
không có góc tù và có diện tích bằng 
Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng 
thuộc khoảng nào dưới đây?
cho Xét các điểm thay đổi sao cho tam giác không có góc tù và có diện tích bằng Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B
Ta có: 
Suy ra:
di động trên mặt trụ, bán kính bằng 
trục là 
Xét điểm
như hình vẽ, 
Vì
nên giới hạn của 
là hai mặt trụ với trục 
và 
Vì hình chiếu của
cách 
gần hơn nên 
Đáp án: B
Suy ra:
di động trên mặt trụ, bán kính bằng trục là Xét điểm
như hình vẽ,
Vì
nên giới hạn của là hai mặt trụ với trục và Vì hình chiếu của
cách gần hơn nên Đáp án: B
Câu 20 [904828]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
và điểm 
Đường thẳng 
có phương trình tham số 
, trong đó 
là tham số và 
. Gọi 
là mặt phẳng chứa 
và 
, đường thẳng vuông góc với 
tại S cắt 
tại 
. Khoảng cách 
ngắn nhất bằng 
,
và
tối giản. Tính giá trị biểu thức 
.
cho mặt phẳng và điểm Đường thẳng có phương trình tham số , trong đó là tham số và . Gọi là mặt phẳng chứa và , đường thẳng vuông góc với tại S cắt tại . Khoảng cách ngắn nhất bằng , và tối giản. Tính giá trị biểu thức . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: C