Quay lại
Đáp án
Đáp án Bài tập tự luyện số 2
Câu 1 [900643]: Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng . Mặt cầu tâm có bán kính , đi qua điểm và tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm . Độ dài ngắn nhất của đoạn bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn A

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Ta có: và .
là điểm đối xứng với qua nên .
Hai tam giác và đồng dạng nên .
Tam giác vuông tại , ta có: .
Ta thấy là điểm cố định và di động cùng thuộc mặt phẳng mà nên thuộc đường tròn nằm trong mặt phẳng có tâm và bán kính .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Ta có: .

Tam giác vuông tại , ta có: .
Độ dài đoạn ngắn nhất khi ngắn nhất.
Mà nên ngắn nhất khi .
Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn bằng . Đáp án: A
Câu 2 [58264]: Trong không gian tọa độ , cho các điểm và hai điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho . Giá trị nhỏ nhất của là
A, .
B, .
C, .
D, .
Đáp án: A
Câu 3 [58273]: Trong không gian cho điểm và mặt phẳng . Biết điểm thuộc , điểm thuộc sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất. Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là
A,
B,
C,
D,
49.png Đáp án: A
Câu 4 [58274]: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Điểm thay đổi thuộc ; điểm thay đổi thuộc mặt phẳng . Biết rằng tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm là
A,
B,
C,
D,
47.png Đáp án: A
Câu 5 [175614]: [MĐ4] Trong không gian , cho ba điểm và . Điểm di động trên mặt cầu sao cho tam giác có . Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?
A, .
B, .
C, .
D, .
Ta có: có tâm , bán kính .
+ và .
Gọi , từ điểm
di động trên mặt cầu .
Từ đó suy ra điểm di động trên đường tròn , nằm trên và có tâm , bán kính .
11.PNG
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Ta có: và .
Vậy . Đáp án: B
Câu 6 [58244]: Trong không gian gọi là đường thẳng đi qua , song song với mặt phẳng và có tổng khoảng cách từ các điểm tới đường thẳng có giá trị nhỏ nhất. Vectơ chỉ phương của có tọa độ là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 7 [903988]: Trong không gian cho điểm và hai mặt cầu
Gọi là điểm thuộc cả hai mặt cầu Khoảng cách
nhỏ nhất bằng
A,
B,
C,
D,


Hai mặt cầu và cắt nhau tại mặt phẳng :
Hình chiếu của lên mặt phẳng là:
Ta có: Tâm mặt phẳng hình tròn được cắt bởi hai mặt cầu là
Xét có: Tâm và bán kính
và
vuông tại

Có:
vuông tại

Đáp án: A

Đáp án: A
Câu 8 [82007]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và hai điểm Gọi là đường thẳng đi qua điểm và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng lớn nhất, là vectơ chỉ phương của đường thẳng Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 9 [82008]: Trong không gian cho hai điểm và mặt cầu Xét đường thẳng đi qua và tiếp xúc với sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: C
Câu 10 [903752]: Cho mặt cầu và đường thẳng Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu và gọi là tập hợp các tiếp điểm. Biết khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đạt giá trị nhỏ nhất thì thuộc mặt phẳng Tìm
A,
B,
C,
D,

Mặt cầu có tâm và bán kính

Từ ta kẻ các đường tiếp tuyến đến mặt cầu tạo thành hình tròn tập hợp các điểm.
Diện tích giới hạn bởi nhỏ nhất khi và chỉ khi hay
Xét vuông tại :




Ta có: khi và chỉ khi



Có
Lại có:

Ta có phương trình mặt phẳng chứa đi qua và có vecto pháp tuyến là :


Đáp án: B Đáp án: B
Câu 11 [43310]: Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng các điểm ( và nằm trên mặt phẳng ) và mặt cầu là một đường kính thay đổi của sao cho và bốn điểm tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 12 [522571]: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm . Bốn điểm thay đổi trên mặt cầu sao cho tứ giác là hình vuông. Khi khối chóp có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa bốn điểm có phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn B
5.5hinh3.png

Nhận thấy điểm nên đây chính là bài toán tìm thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu . Gọi là tâm của hình vuông .

tâm mặt cầu , bán kính

Đặt , với .

;



Thể tích khối chóp bằng

Đặt , với



Xét hàm số , với

5.6hinhf2.png
Từ bảng biến thiên suy ra khi



Vì mặt phẳng nên mặt phẳng nhận véc tơ làm véctơ pháp tuyến nên phương trình có dạng:



hoặc .

Vì
Đáp án: B
Câu 13 [59092]: Trong không gian cho mặt cầu Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm của đáy là có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng khi đó bằng
Mặt cầu có tâm và bán kính
Điểm
Điểm
Mặt phẳng có dạng
Gọi là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng và là bán kính của đường tròn
Khi đó khối nón có đỉnh và đáy là đường tròn có thể tích là:

Đặt
Suy ra và (vì ).
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị lớn nhất khi hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi
Mà nên
Vậy Đáp án: A
Câu 14 [59093]: Trong không gian tọa độ cho hai điểm Gọi là mặt cầu có đường kính Mặt phẳng vuông góc với đoạn tại sao cho khối nón đỉnh và đáy là hình tròn tâm (giao của mặt cầu và mặt phẳng ) có thể tích lớn nhất, biết rằng với Tính
A,
B,
C,
D,

Trên hệ trục tọa độ cho
Mặt cầu có đường kính
Mặt phẳng vuông góc với tại hình tròn tâm







Đặt
Ta có:



Vì
Vậy
Đáp án A Đáp án: A
Câu 15 [903990]: Trong không gian cho đường thẳng và mặt cầu Hai điểm thay đổi trên sao cho tiếp diện của tại và vuông góc với nhau. Đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng tại đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng tại Tìm giá trị lớn nhất của tổng
A,
B,
C,
D,

Theo giả thiết, ta có: là hai điểm thay đổi trên
Gọi lần lượt là tiếp diện của mặt cầu tại hai điểm
lần lượt là vecto pháp tuyến của
Hai thiết diện vuông góc với nhau
Theo giả thiết, lại có: và
là hình thang. Gọi lần lượt là trung điểm của
Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang, ta có:


Xét

là trung điểm
luôn nằm trên mặt cầu
Có: là đường trung bình của hình thang


Gọi là hình chiếu của trên


Có:

nằm trên đỉnh mặt cầu


Đáp án: A. Đáp án: A
Câu 16 [902892]: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu Biết rẳng từ một điểm thuộc mặt phẳng ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến đôi một vuông góc với nhau đến mặt cầu (trong đó là các tiếp điểm). Tính giá trị lớn nhất của
A,
B,
C,
D,



Từ ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến đôi một vuông góc với nhau.
Có







+ Hình chiếu lên :


Đáp án B. Đáp án: B
Câu 17 [906260]: Trong không gian tọa độ cho ba điểm và mặt phẳng Điểm nằm trên mặt phẳng sao cho và đều tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất của đoạn
A,
B,
C,
D,




Ta có:



Theo giả thiết, ta có: sao cho tạo với mặt phẳng góc bẳng nhau.
Gọi hình chiếu của trên mặt phẳng lần lượt là






luôn nằm trên mặt cầu có tâm và bán kính
Lại có:


Khoảng cách từ đến đạt giá trị lớn nhất khi và khi hình chiếu của trên mặt phẳng là xa nhất, hay
Có:




Đáp án: 7,099019.

Đáp án: D
Câu 18 [59189]: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến cảu hai mặt cầu và . Xét hai điểm bất kì thuộc sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
42.png Đáp án: A
Câu 19 [280814]: Trong không gian cho Xét các điểm thay đổi sao cho tam giác không có góc tù và có diện tích bằng Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn B Ta có:
Suy ra: di động trên mặt trụ, bán kính bằng trục là
34.PNG
Xét điểm như hình vẽ,
Vì nên giới hạn của là hai mặt trụ với trục và
35.PNG
Vì hình chiếu của cách gần hơn nên Đáp án: B
Câu 20 [904828]: Trong không gian cho mặt phẳng và điểm Đường thẳng có phương trình tham số , trong đó là tham số và . Gọi là mặt phẳng chứa và , đường thẳng vuông góc với tại S cắt tại . Khoảng cách ngắn nhất bằng , và tối giản. Tính giá trị biểu thức .
A, .
B, .
C, .
D, .
Đáp án: C