Đáp án Bài tập tự luyện số 3

Câu 1 [804009]: Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho điểm

và mặt cầu

tâm

, bán kính

. Mặt phẳng

đi qua

và cắt

theo giao tuyến là đường tròn

. Gọi

là khối nón có đỉnh

và nhận

làm đường tròn đáy. Tính bán kính của

khi thể tích khối nón

đạt giá trị lớn nhất

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Chọn A

 Ta có:

Suy ra điểm

nằm bên trong mặt cầu
Gọi

là hình chiếu của

lên mặt phẳng

và

là bán kính đường tròn giao tuyến

và

cũng chính là đường cao của khối nón

. Mà

với

nên
Ta đặt

Suy ra

Xét hàm

có

Bảng biến thiên hàm

như sau:

Dựa vào BBT ta kết luận được

khi

Đáp án: A

Câu 2 [59189]: Trong không gian

, cho hai điểm

. Gọi

là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến cảu hai mặt cầu

và

. Xét hai điểm

bất kì thuộc

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

có tâm
có tâm
Ta có tâm đường tròn thiết diện chính là
Phương trình qua và nhận làm VTPT là:
khác phía so với
Xét tiết diện thả̉ng chứa và hai hình chiếu của lên
Ta có
Ta tìm nhỏ nhất
Gọi là ảnh cùa qua phép tịnh tiến theo (cùng hướng với và có độ dài bằng 1 )
Ta có nhȯ nhất khi , khi đó .
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Câu 3 [903623]: Trong không gian

, cho hình nón

có đỉnh

và đường tròn đáy có tâm

, bán kính

không đổi. Hình trụ

có một đường tròn đáy tâm

, đường tròn đáy còn lại có tâm

và đường tròn này nằm trên mặt xung quanh của hình nón

. Khi

có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn tâm

có phương trình

. Tính

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Chọn B

Xét mặt phẳng

qua trục của hình nón, cắt hình nón

và hình trụ

theo tam giác

và hình chữ nhật

(như hình). Đặt

(

) .
Khi đó hình trụ

có chiều cao

, bán kính

.
Trong mp

:

và

đồng dạng nên

.
Thể tích khối trụ

là:

Dấu bằng xảy ra khi

.
Khi

có thể tích lớn nhất thì

Khi đó mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm

và nhận

hay

làm VTPT nên có phương trình

.
Mà theo giả thiết mp đó có phương trình

, do đó

.
Vậy

. Đáp án: B

Câu 4 [971972]: Trong không gian tọa độ

cho hai điểm

và

Xét hai điểm

và

thay đổi thuộc mặt phẳng

sao cho

Giá trị lớn nhất của

bằng

A,

B,

C,

D,

Chọn D

Dễ thấy , nằm hai phía của mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng suy ra , .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên mặt phẳng , ta có , . Do đó .
Dựng suy ra . Vậy .
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của .
Do nằm trên mặt phẳng , nên .
Suy ra nằm trên mặt phẳng chứa , song song với .
Mà nên quỹ tích là đường tròn .
Kẻ .
Có .
Dấu "=" xảy ra khi nằm giữa .
Vậy GTLN của là .

Đáp án: D

Câu 5 [971973]: Trong không gian tọa độ

cho hai điểm

và

Xét hai điểm

và

thay đổi thuộc mặt phẳng

sao cho

Giá trị lớn nhất của

bằng

A,

B,

C,

D,

Chọn D

Dễ thấy

,

nằm hai phía của mặt phẳng

.
Gọi

đối xứng với

qua mặt phẳng

suy ra

,

.
Gọi

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên mặt phẳng

, ta có

,

. Do đó

.
Dựng

suy ra

. Vậy

.
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của

.
Do

nằm trên mặt phẳng

,

nên

.
Suy ra

nằm trên mặt phẳng chứa

, song song với

.
Mà

nên quỹ tích

là đường tròn

.
Kẻ

.
Có

.
Dấu "=" xảy ra khi

nằm giữa

.
Vậy GTLN của

là

. Đáp án: D

Câu 6 [808979]: Trong không gian

cho hai điểm

và đường thẳng

. Gọi

là điểm di động thuộc mặt phẳng

sao cho

và

là điểm di động thuộc

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

?

A,

B,

C,

D,

Chọn A
Ta có:

là điểm di động thuộc mặt phẳng

nên suy ra

Mà

nện suy ra

Ta lại có:

như vậy phương trình trên tương đương với:

Suy ra tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng

là một đường tròn

có tâm

vá bán kính

với đường tròn

là giao tuyến giữa mặt cầu đường kính

và mặt phẳng

Gọi

mà ta có

là điểm di động thuộc

nên suy ra ta có:

với

nên suy ra giá trị nhỏ nhất của

bằng 2 với dấu bằng xảy ra khi

Đáp án: A

Câu 7 [222336]: Trong không gian

, cho mặt phẳng

và mặt cầu

. Một khối hộp chữ nhật

có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng

và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu

. Khi

có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của

nằm trên mặt cầu

là

. Giá trị

bằng

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Chọn B.

Ta có mặt cầu

có tâm

và bán kính

và

.
Do

là hình hộp chữ nhật nên

.
Khi đó

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là

Gọi

là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là

Áp dụng bất đẳng thức

:

Ta có thể tích của khối hộp

là

Đẳng thức xảy ra khi

. Đáp án: B

Câu 8 [81696]: Trong không gian

cho điểm

và mặt cầu

Gọi

là giao tuyến của

và mặt phẳng

Lấy hai điểm M, N trên

sao cho

Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào dưới đây?

A,

B,

C,

D,

Đáp án: A

Câu 9 [59171]: Trong không gian

, cho hai điểm

,

và mặt phẳng

. Gọi

là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng

Gọi

,

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

,

trên

. Biết rằng khi

thì trung điểm của

luôn thuộc một đường thẳng

cố định, phương trình của đường thẳng

là

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Đáp án: A

Câu 10 [59218]: Trong không gian

cho mặt cầu

có tâm

bán kính bằng 4 và mặt cầu

có tâm

bán kính bằng 2.

là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu

,

. Đặt

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm

đến

. Giá trị

bằng

A,

B,

C,

D,

Đáp án: C

Câu 11 [907311]: Trong không gian với hệ tọa độ

, cho mặt cầu

và các điểm

,

. Gọi

và

lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ

đến

và từ

đến

. Tìm tọa độ điểm

nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng

và

sao cho diện tích tam giác

đạt giá trị nhỏ nhất.

A,

.

B,

.

C, .

.

D,

.

-

lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ

đến

-Giả sử điểm

là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ

luôn nhìn

dưới một góc vuông

luôn nằm trên mặt cầu có đường kính là

: có tâm là

Hiệu 2 phương trình mặt cầu ta được phương trình mặt phẳng giao giữa hai mặt cầu:

Tương tự, ta tìm được phương trình mặt phẳng

Lại có:

nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng

nên ta tìm được phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng là:

Gọi

là hình chiếu của

trên

Để

đạt giá trị nhỏ nhất thì

Suy ra,

phải là đường vuông góc chung của

và

:

Có:

là đường vuông góc chung của

và

Đáp án: C. Đáp án: C

Câu 12 [905428]: Trong hệ trục tọa độ

, cho mặt cầu

. Xét đường thẳng

, với

là tham số. Giả sử hai mặt phẳng

và

chứa đường thẳng

và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu

tại

và

. Khi đoạn thẳng

ngắn nhất thì mặt phẳng

qua tâm của mặt cầu

và vuông góc với đường thẳng

có dạng

. Hãy tính

.

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Đáp án: C

Câu 13 [904759]: Trong không gian

cho mặt cầu

và đường thẳng

với

là tham số. Hai mặt phẳng

cùng chứa

và tiếp xúc với mặt cầu

lần lượt tại

Khi độ dài

ngắn nhất thì

là phân số tối giản. Tính

A,

B,

C,

D,

Đáp án: B.
Gọi

là hình chiếu của

lên

. Các tam giác

và

vuông tại

và

. Ta có:

và

Đặt

Ta có:

phương trình ẩn

có nghiệm

Đáp án: B

Câu 14 [81697]: Trong không gian toạ độ

gọi

là đường thẳng đi qua

song song với mặt phẳng

sao cho khoảng cách giữa

và

lớn nhất. Đường thẳng

đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A,

B,

C,

D,

Đáp án: D

Câu 15 [81698]: Trong không gian toạ độ

phương trình đường thẳng

đi qua

cắt đường thẳng

, sao cho khoảng cách giữa

và

lớn nhất có một vectơ chỉ phương là

A,

B,

C,

D,

Đáp án: A

Câu 16 [903202]: Trong không gian

, cho hai đường thẳng

:

;

:

và điểm

. Gọi

là đường thẳng đi qua điểm

và cắt

tại điểm

. Tính giá trị của biểu thức

khi khoảng cách giữa hai đường thẳng

và

là lớn nhất:

A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Chọn C

Gọi

là mặt phẳng đi qua

và vuông góc với

.

Phương trình mặt phẳng

là:

hay

Gọi

là hình chiếu của

lên

Tọa độ điểm

thỏa mãn hệ:

.
Ta có:

.
Dấu bằng xảy ra

hay

.
Do

nên tọa độ điểm

có dạng

.
Ta có:

;

.
Do

nên

.

;

. Đáp án: C

Câu 17 [81695]: [Đề thi THPT QG năm 2019] Trong không gian

cho mặt cầu

Có tất cả bao nhiêu điểm

(

là các số nguyên) thuộc mặt phẳng

sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của

đi qua

và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A,

B,

C,

D,

Gọi

là các tiếp điếm và mặt phắng

cắt mặt cầu đã cho (tâm

bán kính

) theo giao tuyến là đường tròn tâm

bán kính

đặt

Ta có:

do

suy ra

là hình vuông nên

Lại có:

Mặt khác

Điểm

nên

Do

là các cặp

Vậy có 20 cặp

nên có 20 điểm

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Câu 18 [184830]: [Câu 49 – Mã 104]: Trong không gian

xét mặt cầu

có tâm

và bán kính

thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của

trong mặt phẳng

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua

và góc giữa chúng không nhỏ hơn

A,

B,

C,

D,

Giả sử 2 tiếp tuyến

, theo giả thiết suy ra

Suy ra

Gọi

là hình chiếu của

trên

, suy ra

Xét tam giác

có:

Ta có

hay

Vậy có tất cả 4 giá trị của

Câu 19 [184704]: [Câu 50 – Mã 103]: Trong không gian

xét mặt cầu

có tâm

và bán kính

thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của

trong mặt phẳng

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua

và góc giữa chúng không nhỏ hơn

A,

B,

C,

D,

Giả sử 2 tiếp tuyến , theo giả thiết suy ra Suy ra
Gọi là hình chiếu của trên , suy ra , suy ra
Xét tam giác có:
Ta có

hay

Vậy có tất cả 4 giá trị của

Đáp án: B

Câu 20 [234252]: [Đề thi TH THPT 2022]: Trong không gian

cho mặt cầu

tâm

bán kính bằng 3. Gọi

là hai điểm lần lượt thuộc hai trục

sao cho đường thẳng

tiếp xúc với

, đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

có bán kính bằng

Gọi

là tiếp điểm của

và

giá trị

bằng

A,

B,

C,

D,

Ta có

và

. Suy ra

Vậy mặt cầu

tiếp xúc

tại

Gọi tọa độ

và

Ta có

Do

thẳng hàng nên

Do

và

là trung điểm

thì

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Suy ra

là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

bằng

(đường tròn lớn)

Từ

và

suy ra

Đặt

ta có hệ phương trình:

Vậy

Chọn B. Đáp án: B

Câu 21 [272941]: Bài 8. (3,0 điểm)
Cho đường tròn

. Lấy điểm

nằm ngoài đường tròn sao cho

, vẽ các tiếp tuyến

,

đến

(

,

là tiếp điểm). Lấy

trên cung lớn

, vẽ

(

);

là trung điểm của

cắt đường tròn

tại

,

cắt

tại

a) Chứng minh

và tính

theo

.
b) Gọi

là giao điểm của

và

. Chứng minh tứ giác

nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

.

a) Xét

và

có:

sđ;

chung

đồng dạng

(g.g)

Xét

vuông tại

:

.
b) Ta có:

và

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

là đường trung trực của

tại

và

là trung điểm của

.
Xét

có:

là trung điểm của

,

là trung điểm của

Suy ra

là đường trung bình của

(hai góc đồng vị) mà

(cùng chắn )
Suy ra

Xét tứ giác

có

suy ra tứ giác

nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau).
c) Xét

vuông tại

có

là đường cao suy ra

mà

suy ra

Xét

và

có:

chung,

nên

(c.g.c)

Ta lại có tứ giác

là tứ giác nội tiếp nên

Mặt khác

nên

do đó

( cùng phụ

)
Và

( cùng chắn cung ) do vậy

Từ đó 2 tia

trùng nhau hay là 3 điểm

,

thẳng hàng.

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra

(cùng vuông với

)

(hai góc so le trong) mà

suy ra

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

Câu 22 [352495]: Có bao nhiêu số nguyên dương

sao cho ứng với mỗi

tồn tại đúng

số thực

thoả mãn

?

A,

B,

C,

D,

Đặt

Phương trình được viết lại thành:

Ta có

có đúng 2 nghiệm nên

có tối đa 3 nghiệm.
Nhận thấy:

nên

Suy ra

Ta có bảng biến thiên hàm số

như sau:

Để phương trình có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thì ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Các phương trình

mỗi phương trình có 4 nghiệm.

Trường hợp 2: Phương trình

có

nghiệm và phương trình

mỗi phương trình có 2 nghiệm.

.
Vậy có tất cả 1026 giá trị nguyên dương của

thoả mãn.
Chọn đáp án D Đáp án: D

Câu 23 [535062]: Biểu thức

nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A,

B,

C,

D,

HD: Ta có:

Chọn C. Đáp án: C