Quay lại
Đáp án
Đáp án Bài tập tự luyện số 3
Câu 1 [804009]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt cầu tâm , bán kính . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn . Gọi là khối nón có đỉnh và nhận làm đường tròn đáy. Tính bán kính của khi thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn A

 Ta có:
Suy ra điểm nằm bên trong mặt cầu
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng và là bán kính đường tròn giao tuyến
và cũng chính là đường cao của khối nón . Mà với nên
Ta đặt
Suy ra
Xét hàm có

Bảng biến thiên hàm như sau:

Dựa vào BBT ta kết luận được
khi Đáp án: A
Câu 2 [59189]: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến cảu hai mặt cầu và . Xét hai điểm bất kì thuộc sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
42.png Đáp án: A
Câu 3 [903623]: Trong không gian , cho hình nón có đỉnh và đường tròn đáy có tâm , bán kính không đổi. Hình trụ có một đường tròn đáy tâm , đường tròn đáy còn lại có tâm và đường tròn này nằm trên mặt xung quanh của hình nón . Khi có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn tâm có phương trình . Tính
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn B

Xét mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón và hình trụ theo tam giác và hình chữ nhật (như hình). Đặt () .
Khi đó hình trụ có chiều cao , bán kính .
Trong mp : và đồng dạng nên .
Thể tích khối trụ là:

Dấu bằng xảy ra khi .
Khi có thể tích lớn nhất thì
Khi đó mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm và nhận haylàm VTPT nên có phương trình .
Mà theo giả thiết mp đó có phương trình , do đó .
Vậy . Đáp án: B
Câu 4 [971972]: Trong không gian tọa độ cho hai điểm và Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị lớn nhất của bằng
A,
B,
C,
D,

Chọn D
25.png
Dễ thấy , nằm hai phía của mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng suy ra , .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên mặt phẳng , ta có , . Do đó .
Dựng suy ra . Vậy .
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của .
Do nằm trên mặt phẳng , nên .
Suy ra nằm trên mặt phẳng chứa , song song với .
Mà nên quỹ tích là đường tròn .
Kẻ .
Có .
Dấu "=" xảy ra khi nằm giữa .
Vậy GTLN của là .

Đáp án: D
Câu 5 [971973]: Trong không gian tọa độ cho hai điểm và Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị lớn nhất của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn D
25.png
Dễ thấy , nằm hai phía của mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng suy ra , .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên mặt phẳng , ta có , . Do đó .
Dựng suy ra . Vậy .
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của .
Do nằm trên mặt phẳng , nên .
Suy ra nằm trên mặt phẳng chứa , song song với .
Mà nên quỹ tích là đường tròn .
Kẻ .
Có .
Dấu "=" xảy ra khi nằm giữa .
Vậy GTLN của là . Đáp án: D
Câu 6 [808979]: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng . Gọi là điểm di động thuộc mặt phẳng sao cho và là điểm di động thuộc . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?
A,
B,
C,
D,
Chọn A
Ta có: là điểm di động thuộc mặt phẳng nên suy ra
Mà nện suy ra
Ta lại có: như vậy phương trình trên tương đương với:

Suy ra tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng là một đường tròn có tâm vá bán kính với đường tròn là giao tuyến giữa mặt cầu đường kính và mặt phẳng
Gọi mà ta có là điểm di động thuộc nên suy ra ta có:
với
nên suy ra giá trị nhỏ nhất của bằng 2 với dấu bằng xảy ra khi Đáp án: A
Câu 7 [222336]: Trong không gian , cho mặt phẳng và mặt cầu . Một khối hộp chữ nhật có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu . Khi có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của nằm trên mặt cầu là . Giá trị bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn B.
316.PNG
Ta có mặt cầu có tâm và bán kính và .
Do là hình hộp chữ nhật nên .
Khi đó Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là
Gọi là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là
Áp dụng bất đẳng thức :
Ta có thể tích của khối hộp là
Đẳng thức xảy ra khi . Đáp án: B
Câu 8 [81696]: Trong không gian cho điểm và mặt cầu Gọi là giao tuyến của và mặt phẳng Lấy hai điểm M, N trên sao cho Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 9 [59171]: Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng . Gọi là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , trên . Biết rằng khi thì trung điểm của luôn thuộc một đường thẳng cố định, phương trình của đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
48.png Đáp án: A
Câu 10 [59218]: Trong không gian cho mặt cầu có tâm bán kính bằng 4 và mặt cầu có tâm bán kính bằng 2. là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu , . Đặt lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm đến . Giá trị bằng
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: C
Câu 11 [907311]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm , . Gọi và lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến và từ đến . Tìm tọa độ điểm nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng và sao cho diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.
A, .
B, .
C, . .
D, .


- lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến
-Giả sử điểm là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ
luôn nhìn dưới một góc vuông
luôn nằm trên mặt cầu có đường kính là : có tâm là




Hiệu 2 phương trình mặt cầu ta được phương trình mặt phẳng giao giữa hai mặt cầu:

Tương tự, ta tìm được phương trình mặt phẳng
Lại có: nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nên ta tìm được phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng là:

Gọi là hình chiếu của trên

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì Suy ra, phải là đường vuông góc chung của và :


Có: là đường vuông góc chung của và


Đáp án: C. Đáp án: C
Câu 12 [905428]: Trong hệ trục tọa độ , cho mặt cầu . Xét đường thẳng 1b2131erewrf.png, với là tham số. Giả sử hai mặt phẳng và chứa đường thẳng và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại và . Khi đoạn thẳng ngắn nhất thì mặt phẳng qua tâm của mặt cầu và vuông góc với đường thẳng có dạng . Hãy tính .
A, .
B, .
C, .
D, .
Đáp án: C
Câu 13 [904759]: Trong không gian cho mặt cầu và đường thẳng với là tham số. Hai mặt phẳng cùng chứa và tiếp xúc với mặt cầu lần lượt tại Khi độ dài ngắn nhất thì là phân số tối giản. Tính
A,
B,
C,
D,
Đáp án: B.
Gọi là hình chiếu của lên . Các tam giác và vuông tại và . Ta có:


và


Đặt Ta có:
phương trình ẩn có nghiệm





Đáp án: B
Câu 14 [81697]: Trong không gian toạ độ gọi là đường thẳng đi qua song song với mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa và lớn nhất. Đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau:
A,
B,
C,
D,
Đáp án: D
Câu 15 [81698]: Trong không gian toạ độ phương trình đường thẳng đi qua cắt đường thẳng , sao cho khoảng cách giữa và lớn nhất có một vectơ chỉ phương là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 16 [903202]: Trong không gian , cho hai đường thẳng : ; : và điểm . Gọi là đường thẳng đi qua điểm và cắt tại điểm . Tính giá trị của biểu thức khi khoảng cách giữa hai đường thẳng và là lớn nhất:
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn C

Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với .
Phương trình mặt phẳng là: hay
Gọi là hình chiếu của lên Tọa độ điểm thỏa mãn hệ:
.
Ta có: .
Dấu bằng xảy ra hay .
Do nên tọa độ điểm có dạng .
Ta có: ; .
Do nên .
; ; . Đáp án: C
Câu 17 [81695]: [Đề thi THPT QG năm 2019] Trong không gian cho mặt cầu Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 18 [184830]: [Câu 49 – Mã 104]: Trong không gian xét mặt cầu có tâm và bán kính thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của trong mặt phẳng mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua và góc giữa chúng không nhỏ hơn
A,
B,
C,
D,
10150221lg.png
Giả sử 2 tiếp tuyến , theo giả thiết suy ra Suy ra

Gọi là hình chiếu của trên , suy ra , suy ra

Xét tam giác có:

Ta có


hay


Vậy có tất cả 4 giá trị của

Câu 19 [184704]: [Câu 50 – Mã 103]: Trong không gian xét mặt cầu có tâm và bán kính thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của trong mặt phẳng mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua và góc giữa chúng không nhỏ hơn
A,
B,
C,
D,

10150221lg.png
Giả sử 2 tiếp tuyến , theo giả thiết suy ra Suy ra
Gọi là hình chiếu của trên , suy ra , suy ra
Xét tam giác có:
Ta có

hay

Vậy có tất cả 4 giá trị của

Đáp án: B
Câu 20 [234252]: [Đề thi TH THPT 2022]: Trong không gian cho mặt cầu tâm bán kính bằng 3. Gọi là hai điểm lần lượt thuộc hai trục sao cho đường thẳng tiếp xúc với , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính bằng Gọi là tiếp điểm của và giá trị bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
+) Đặt và
Nhận xét: tiếp xúc mà tiếp xúc
tiếp xúc tại tiếp điểm của và
+)
+) Khi đó có vuông tại (do )
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
Suy ra: (1).
Mà

Thay vào (1) ta được:
Ta có: Đáp án: B
Câu 21 [272941]: Bài 8. (3,0 điểm)
Cho đường tròn . Lấy điểm nằm ngoài đường tròn sao cho , vẽ các tiếp tuyến , đến (, là tiếp điểm). Lấy trên cung lớn , vẽ (); là trung điểm của cắt đường tròn tại , cắt tại
a) Chứng minh và tính theo .
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .
419.PNG
a) Xét và có: sđ; chung
đồng dạng (g.g)
Xét vuông tại :
.
b) Ta có: và (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
là đường trung trực của tại và là trung điểm của .
Xét có: là trung điểm của , là trung điểm của
Suy ra là đường trung bình của
(hai góc đồng vị) mà (cùng chắn )
Suy ra
Xét tứ giác có suy ra tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau).
c) Xét vuông tại có là đường cao suy ra mà suy ra
Xét và có: chung, nên (c.g.c)
Ta lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên
Mặt khác nên do đó( cùng phụ )
Và ( cùng chắn cung ) do vậy
Từ đó 2 tia trùng nhau hay là 3 điểm , , thẳng hàng.
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra (cùng vuông với )
(hai góc so le trong) mà
suy ra suy ra là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Câu 22 [352495]: Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho ứng với mỗi tồn tại đúng số thực thoả mãn ?
A,
B,
C,
D,
Đặt
Phương trình được viết lại thành:
Ta có có đúng 2 nghiệm nên có tối đa 3 nghiệm.
Nhận thấy: nên
Suy ra
Ta có bảng biến thiên hàm số như sau:
46.PNG
Để phương trình có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thì ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Các phương trình mỗi phương trình có 4 nghiệm.

Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm và phương trình mỗi phương trình có 2 nghiệm.
.
Vậy có tất cả 1026 giá trị nguyên dương của thoả mãn.
Chọn đáp án D Đáp án: D
Câu 23 [535062]: Biểu thức nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A,
B,
C,
D,
HD: Ta có: Chọn C. Đáp án: C