Đáp án Bài tập tự luyện
Câu 1 [58195]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt cầu 
và một điểm 
Từ 
kẻ được vô số các tiếp tuyến tới 
, biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn 
. Tính bán kính 
của đường tròn 
.
cho mặt cầu và một điểm Từ kẻ được vô số các tiếp tuyến tới , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn . Tính bán kính của đường tròn . A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 2 [58206]: Trong không gian 
, cho mặt cầu 
và điểm 
. Xét các điểm 
thuộc 
sao cho đường thẳng 
luôn tiếp xúc với 
. 
luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
, cho mặt cầu và điểm . Xét các điểm thuộc sao cho đường thẳng luôn tiếp xúc với . luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 3 [901880]: [Đề THPT QG 2018] Trong không gian 
cho mặt cầu 
và điểm 
Xét các điểm 
thuộc 
sao cho đường thẳng 
tiếp xúc với 
luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
cho mặt cầu và điểm Xét các điểm thuộc sao cho đường thẳng tiếp xúc với luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
Lời giải: Mặt cầu 
có tâm là 
bán kính 
Ta có: 
.
Vì 
là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có: 
Gọi 
là mặt cầu tâm A , bán kính 
Ta có phương trình mặt cầu
Vì 
nên điểm M luôn thuộc mặt cầu 
Vậy 
tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
hay 
Chọn C. Đáp án: C
có tâm là bán kính Ta có: .
Vì là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có:
Gọi là mặt cầu tâm A , bán kính Ta có phương trình mặt cầu
Vì nên điểm M luôn thuộc mặt cầu
Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
hay Chọn C. Đáp án: C
Câu 4 [57843]: Trong không gian với hệ trục 
, cho điểm 
và mặt cầu 
. Điểm 
di chuyển trên mặt cầu 
đồng thời thỏa mãn 
. Điểm 
luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
, cho điểm và mặt cầu . Điểm di chuyển trên mặt cầu đồng thời thỏa mãn . Điểm luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: B
Câu 5 [383279]: Trong không gian 
cho điểm 
và mặt cầu 
Biết 
là ba điểm phân biệt trên 
sao cho các tiếp diện của 
tại mỗi điểm đó đều đi qua 
Hỏi mặt phẳng 
đi qua điểm nào dưới đây?
cho điểm và mặt cầu Biết là ba điểm phân biệt trên sao cho các tiếp diện của tại mỗi điểm đó đều đi qua Hỏi mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây? A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt cầu 
có tâm là 
và bán kính 
Các tiếp diện của 
qua ba điểm 
đều đi qua 
Giả sử 
là trung điểm của 
vuông tại 
ta có: 
: tâm 
bán kính 
Tương tự, ta chứng minh được: 
+ 
có tâm 
và 
Phương trình mặt cầu 
Lại có: 
và 
cắt nhau tại 3 điểm nên ta có:
Lần lượt thay từng đáp án A,B,C,D vào phương trình mặt phẳng, ta được:
+ 
Đáp án: A
Câu 6 [59193]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho hai điểm 
và mặt phẳng 
. Mặt cầu 
đi qua hai điểm 
tiếp xúc với 
tại 
. Biết 
chạy trên đường tròn cố định. Tìm bán kính đường tròn đó.
cho hai điểm và mặt phẳng . Mặt cầu đi qua hai điểm tiếp xúc với tại . Biết chạy trên đường tròn cố định. Tìm bán kính đường tròn đó. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: B
Câu 7 [80367]: [Đề thi THPT QG năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ 
cho hai điểm 
và mặt phẳng 
Xét đường thẳng 𝑑 thay đổi thuộc (𝑃) và đi qua 
gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝑑 . Biết rằng khi 𝑑 thay đổi thì 𝐻 thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính 𝑅 của đường tròn đó.
cho hai điểm và mặt phẳng Xét đường thẳng 𝑑 thay đổi thuộc (𝑃) và đi qua gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝑑 . Biết rằng khi 𝑑 thay đổi thì 𝐻 thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính 𝑅 của đường tròn đó. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: B
Câu 8 [59109]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt phẳng 
và hai điểm 
và 
. Mặt cầu 
đi qua hai điểm 
và tiếp xúc với 
tại điểm 
. Biết rằng 
luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
cho mặt phẳng và hai điểm và . Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với tại điểm . Biết rằng luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
. D, 
.
.
Đáp án: B
Câu 9 [80366]: Trong không gian tọa độ 
cho 
và mặt phẳng 
Mặt cầu 
đi qua hai điểm 
và tiếp xúc với mặt phẳng 
tại điểm 
Biết 
luôn thuộc đường tròn 
cố định. Tính bán kính 
của đường tròn 
cho và mặt phẳng Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm Biết luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 10 [804433]: Trong không gian 
cho điểm 
và mặt phẳng 
Biết rằng tập hợp các điểm 
di động trên 
sao cho 
là một đường tròn 
Tính bán kính của đường tròn 
cho điểm và mặt phẳng Biết rằng tập hợp các điểm di động trên sao cho là một đường tròn Tính bán kính của đường tròn A, 
B, 
C, 
D, 
Giả sử toạ độ điểm 
Ta có
Ta có
Đặt
Vậy tập hợp các điểm
sẽ thuộc mặt phẳng 
và mặt cầu tâm 
có phương trình 
Suy ra đường tròn
là giao tuyến của mặt phẳng mặt phẳng 
và mặt cầu 
Vậy bán kính của ra đường tròn
là
Chọn D. Đáp án: D
Ta có
Ta có
Đặt
Vậy tập hợp các điểm
sẽ thuộc mặt phẳng và mặt cầu tâm có phương trình Suy ra đường tròn
là giao tuyến của mặt phẳng mặt phẳng và mặt cầu Vậy bán kính của ra đường tròn
là Chọn D. Đáp án: D
Câu 11 [59175]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho hai mặt cầu 
, 
lần lượt có phương trình là 
, 
. Xét các mặt phẳng 
thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi 
là điểm mà tất cả các mặt phẳng 
đi qua. Tính tổng 
.
, cho hai mặt cầu , lần lượt có phương trình là , . Xét các mặt phẳng thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi là điểm mà tất cả các mặt phẳng đi qua. Tính tổng . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: C
Câu 12 [58215]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
, cho các điểm 
trong đó 
và 
Biết mặt phẳng 
tiếp xúc với mặt cầu 
có phương trình là 
khi đó thể tích của khối tứ diện 
là
, cho các điểm trong đó và Biết mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có phương trình là khi đó thể tích của khối tứ diện là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 13 [59196]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho ba điểm 
, 
, 
với 
, 
, 
. Biết rằng mặt phẳng 
đi qua điểm 
và tiếp xúc với mặt cầu 
. Tính 
.
, cho ba điểm , , với , , . Biết rằng mặt phẳng đi qua điểm và tiếp xúc với mặt cầu . Tính . A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 14 [59230]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho ba điểm 
Gọi 
là một điểm thay đổi trên mặt phẳng 
và 
là một điểm trên tia 
sao cho 
Biết rằng 
thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
, cho ba điểm Gọi là một điểm thay đổi trên mặt phẳng và là một điểm trên tia sao cho Biết rằng thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 15 [59216]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho hai điểm 
và mặt phẳng có phương trình 
. Điểm 
di động trên mặt phẳng 
sao cho 
tạo với 
các góc bằng nhau. Biết rằng 
thuộc đường tròn 
cố định. Hoành độ của tâm đường tròn 
là
cho hai điểm và mặt phẳng có phương trình . Điểm di động trên mặt phẳng sao cho tạo với các góc bằng nhau. Biết rằng thuộc đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 16 [58224]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho điểm 
thuộc mặt cầu 
và ba điểm 
. Biết rằng quỹ tích các điểm 
thỏa mãn 
là đường tròn cố định, tính bán kính 
đường tròn này.
, cho điểm thuộc mặt cầu và ba điểm . Biết rằng quỹ tích các điểm thỏa mãn là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 17 [58219]: Trong không gian 
, cho mặt cầu 
và hai điểm 
. Biết rằng tập hợp các điểm 
thuộc 
sao cho 
là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng
, cho mặt cầu và hai điểm . Biết rằng tập hợp các điểm thuộc sao cho là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 18 [59096]: Trong không gian
cho mặt phẳng 
và các điểm 
Điểm 
thuộc mặt phẳng 
sao cho các đường thẳng 
luôn tạo với mặt phẳng 
các góc bằng nhau. Biết rằng điểm 
thuộc một đường tròn 
cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn 
cho mặt phẳng và các điểm Điểm thuộc mặt phẳng sao cho các đường thẳng luôn tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Biết rằng điểm thuộc một đường tròn cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Theo giả thiết, ta có:
sao cho 
tạo với mặt phẳng 
góc bẳng nhau. Gọi hình chiếu của
trên mặt phẳng 
lần lượt là 
(
là hệ số tự do) 
luôn nằm trên mặt cầu có tâm 
Lại có:
cố định, 
cắt mặt cầu có tâm 
tại đường tròn 
Gọi
là hình chiếu của 
trên 
là tâm của đường tròn 
Đáp án : B. Đáp án: C
Câu 19 [58208]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho đường thẳng 
và mặt cầu 
Hai mặt phẳng 
và 
chứa 
và tiếp xúc với 
Gọi 
và 
là tiếp điểm 
Độ dài đoạn 
bằng
, cho đường thẳng và mặt cầu Hai mặt phẳng và chứa và tiếp xúc với Gọi và là tiếp điểm Độ dài đoạn bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 20 [59146]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho mặt phẳng 
là điểm di chuyển trên mặt phẳng 
; 
là điểm nằm trên tia 
sao cho 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
.
cho mặt phẳng là điểm di chuyển trên mặt phẳng ; là điểm nằm trên tia sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 21 [82051]: Trong không gian 
cho mặt cầu 
và đường thẳng 
. Điểm 
(với 
) trên đường thẳng 
sao cho từ 
kẻ được ba tiếp tuyến 
đến mặt cầu 
(
là các tiếp điểm) thỏa mãn các góc 
, 
. Tính 
bằng
cho mặt cầu và đường thẳng . Điểm (với ) trên đường thẳng sao cho từ kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu ( là các tiếp điểm) thỏa mãn các góc , . Tính bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt cầu
có tâm 
và bán kính 
Đặt
đều cạnh 
vuông cân tại 
Tam giác
có 
Khi đó tam giác
có 
vuông tại 
Tam giác
nội tiếp đường tròn nhỏ tâm 
đường kính 
đồng phẳng và 
tại 
Ta có
Gọi
Chọn D. Đáp án: D
Câu 22 [59176]: Trong không gian 
, cho mặt cầu 
và 
. Qua 
kẻ các tia 
đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là 
. Biết mặt phẳng 
luôn đi qua một điểm cố định 
. Tính 
, cho mặt cầu và . Qua kẻ các tia đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là . Biết mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định . Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án A.
Tâm 
Dễ dàng nhận thấy
Dựng hình hộp chữ nhật
thì tâm 
của mặt cầu 
cũng là tâm của hình hộp chữ nhật này.
Gọi
thì 
và 
cố định.
theo thứ tự là trung điểm của 
là trọng tâm 
Đáp án: A
Tâm
Dễ dàng nhận thấy
Dựng hình hộp chữ nhật
thì tâm của mặt cầu cũng là tâm của hình hộp chữ nhật này.
Gọi
thì và cố định.
theo thứ tự là trung điểm của là trọng tâm
Đáp án: A
Câu 23 [59180]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
, cho mặt cầu 
và điểm 
Qua điểm 
kẻ các tia 
đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai tương ứng là 
Biết mặt phẳng 
luôn đi qua một điểm cố định 
Tính giá trị 
, cho mặt cầu và điểm Qua điểm kẻ các tia đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai tương ứng là Biết mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định Tính giá trị A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 24 [59142]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho biết đường cong 
là tập hợp tâm của các mặt cầu 
đi qua điểm 
đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng 
và 
. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong 
bằng
, cho biết đường cong là tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua điểm đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng và . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 25 [159438]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho hai điểm 
, 
, và mặt cầu 
. Gọi 
là điểm thuộc mặt cầu 
sao cho 
. Biết điểm 
luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng 
Tính 
, cho hai điểm , , và mặt cầu . Gọi là điểm thuộc mặt cầu sao cho . Biết điểm luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính bằng Tính
Mặt cầu 
có tâm 
và bán kính 
.
Gọi
Ta có
Lại có
Từ (1) và (2) suy ra
, gọi là mặt phẳng 
.
Như vậy
nằm trên đường tròn 
là giao tuyến của
và 
; đường tròn này có tâm 
, với 
là hình chiếu của 
lên 
.
Bán kính đường tròn bằng
có tâm và bán kính .
Gọi
Ta có
Lại có
Từ (1) và (2) suy ra
, gọi là mặt phẳng .
Như vậy
nằm trên đường tròn là giao tuyến của và ; đường tròn này có tâm , với là hình chiếu của lên .
Bán kính đường tròn bằng
Câu 26 [59148]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho mặt cầu 
và điểm 
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua 
và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu 
theo ba giao tuyến là các đường tròn 
. Tính tổng diện tích của ba hình tròn 
, cho mặt cầu và điểm . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba giao tuyến là các đường tròn . Tính tổng diện tích của ba hình tròn A, 
B, 
C, 
D, 
Đổi hệ trục tọa độ
, ta có: 
.
Trong hệ trục tọa độ mới
Trong mặt phẳng
thì
Trong mặt phẳng
thì 
Trong mặt phẳng
thì 
Tổng diện tích của ba hình tròn
là: 
Chọn C. Đáp án: C
Câu 27 [55865]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho 
Mặt cầu 
thay đổi đi qua 
và cắt các trục 
lần lượt là 
Gọi 
là trực tâm tam giác 
Tọa độ của 
luôn thỏa mãn phương trình nào trong các phương trình sau ?
cho Mặt cầu thay đổi đi qua và cắt các trục lần lượt là Gọi là trực tâm tam giác Tọa độ của luôn thỏa mãn phương trình nào trong các phương trình sau ? A, 
B, 
C, 
D, 
