Dạng 1: Hàm số phân thức $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)$
Câu 1 [581966]: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
1. Tập xác định của hàm số: 
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
với mọi 
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
và 
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
tiệm cận ngang là đường thẳng 
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
với mọi - Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
và - Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
tiệm cận ngang là đường thẳng - Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng. Dạng 2: Hàm số phân thức $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}(a \ne 0,p \ne 0,$ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
Câu 2 [581967]: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 
1. Tập xác định của hàm số: 
2. Sự biến thiên: Viết
- Ta có:
Vậy
hoặc 
- Trên các khoảng
và 
nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng 
và 
nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
- Hàm số đạt cực đại tại
với 
hàm số đạt cực tiểu tại 
với 
-
- Tiệm cận:
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
tiệm cận xiên là đường thẳng 
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Ta có
hoặc 
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm
và 
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
2. Sự biến thiên: Viết
- Ta có:
Vậy
hoặc - Trên các khoảng
và nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng và nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này. - Hàm số đạt cực đại tại
với hàm số đạt cực tiểu tại với -
- Tiệm cận:
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
tiệm cận xiên là đường thẳng - Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Ta có
hoặc Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm
và - Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. Dạng 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)$
Câu 3 [581968]: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
1. Tập xác định của hàm số: 
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
Vậy
khi 
hoặc 
- Trên khoảng
nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng 
và 
nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
- Hàm số đạt cực tiểu tại
giá trị cực tiểu 
Hàm số đạt cực đại tại 
giá trị cực đại 
- Giới hạn tại vô cực:
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Ta có
hoặc 
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm 
và 
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
Vậy
khi hoặc - Trên khoảng
nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.- Hàm số đạt cực tiểu tại
giá trị cực tiểu Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại - Giới hạn tại vô cực:
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
- Ta có
hoặc Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm