Quay lại
Đáp án
DẠNG 1: TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG
Câu 1 [581993]: Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của và Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
Ta có:
Theo đề bài, ta có: và Do đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này, ta được và .
Khi đó, tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.
Câu 2 [581994]: Giả sử chi phí (nghìn đồng) để sản xuất đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số .
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm và giải thích ý nghĩa.
c) So sánh với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.
a) Hàm chi phí biên là
b) Ta có:
Chi phí biên tại là 14300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo
(đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14300 nghìn đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là (nghìn đồng)
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên đã tính ở câu b.
Câu 3 [581995]: Để loại bỏ chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là (triệu đồng), Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Tự đó, hãy cho biết:
a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi tăng?
b) Có thể loại bỏ được chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?
Xét hàm số
Ta có:
- với mọi
Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng
- nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số như Hình 1.34.

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ luôn tăng khi tăng.
b) Vì (hàm số không xác định khi nên nhà máy không thể loại bỏ chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa)
DẠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường
Câu 4 [581996]: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 30.000USD mỗi km, và 50.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 11km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A, 6.5km.
B, 6km.
C, 0km.
D, 9km.
Đặt

Chi phí xây dựng đường ống là
Hàm , xác định, liên tục trên [0;11] và

Khoảng cách từ đến là
Chọn A. Đáp án: A
Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng
Câu 5 [581997]: Cho hình chữ nhật có diện tích bằng Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A,
B,
C,
D, Đáp án khác.
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: và
Chu vi hình chữ nhật là:
Theo đề bài thì: hay Do đó: với
Đạo hàm: Cho
Lập bảng biến thiên ta được: khi
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-si: Đáp án: A
Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích
Câu 6 [581998]: Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính chiều dài để được một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?
Gọi là các cạnh của tiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: (đường kính của thân cây là Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của tiết diện là cực đại, nghĩa là khi cực đại. Ta có:
Dấu xảy ra khi
Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: (tiết diện là hình vuông).
Nhóm 4: Bài toán kinh tế
Câu 7 [581999]: Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:
a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn?
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay không?
Xét hàm số
Ta có:
- (vì
với mọi với mọi
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên khoảng
Tại hàm số đạt cực đại và
- .
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số như Hình 1.36 (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng 1000 đơn vị trên trục tung).
Từ đồ thị đã vẽ suy ra:

a) Đồ thị xuất phát từ điểm ở phia dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lõm), và giao với trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn.
b) Từ đồ thị ta thấy khi sản xuất hơn 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận càng giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.
Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là (nghìn đồng), tức là 192 triệu đồng, đạt được khi sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng.