Quay lại
Đáp án
1. Dạng toán: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu
1.1. Phương pháp tư duy
1.2. Ví dụ áp dụng.
Câu 1 [581747]: Trong không gian cho mặt cầu Đường kính của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn C.
Ta có bán kính của là nên đường kính của bằng Đáp án: C
Câu 2 [581748]: Trong không gian cho mặt cầu có tâm và bán kính bằng 3. Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn C.
Phương trình mặt cầu tâm và bán kính bằng
Mặt cầu có tâm có bán kính 3 có phương trình là Đáp án: C
Câu 3 [581749]: Trong không gian với hệ tọa độ trong các mặt cầu dưới đây, mặt cầu nào có bán kính
A,
B,
C,
D,
Chọn C
Ta có mặt cầu có bán kính là
Trong đáp án C ta có: Đáp án: C
2. Dạng toán: Lập phương trình mặt cầu dạng cơ bản
2.1. Phương pháp tư duy
2.2. Ví dụ áp dụng
Câu 4 [581750]: Trong không gian cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Chọn A
Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính là:
Ta có:
Vậy phương trình cần tìm là: Đáp án: A
Câu 5 [581751]: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm đi qua điểm ?
A,
B,
C,
D,
Chọn B
Vì mặt cầu có tâm đi qua điểm nên mặt cầu có tâm và nhận độ dài đoạn thẳng là bán kính.
Ta có: Suy ra:
Vậy: Đáp án: B
Câu 6 [581752]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm Phương trình mặt cầu đường kính là
A,
B,
C,
D,
Chọn A
+ Gọi là trung điểm của
+ Mặt cầu đường kính có tâm bán kính có phương trình là:
Đáp án: A
3. Dạng toán: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng với mặt cầu
3.1. Phương pháp tư duy
3.2. Ví dụ áp dụng.
Câu 7 [581753]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và mặt phẳng Khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng bằng
A, 2.
B, 4.
C, 3.
D, 1.
Chọn C
Mặt cầu có tâm Vậy
Câu 8 [581754]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và mặt phẳng Tìm bán kính đường tròn giao tuyến của và
A,
B,
C,
D,
Chọn B

Mặt cầu có tâm bán kính
Khoảng cách
Bán kính đường tròn giao tuyến là Đáp án: B
Câu 9 [581755]: Trong không gian cho mặt cầu và mặt phẳng Mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có tâm thì giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn B
Mặt cầu có tâm và bán kính
Mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của lên mp
Vậy Đáp án: B
4. Dạng toán: Lập phương trình mặt cầu liên quan đến mặt phẳng
4.1. Phương pháp tư duy
4.2. Ví dụ áp dụng.
Câu 10 [581756]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với tại
A,
B,
C,
D,
Chọn B
Gọi là mặt phẳng cần tìm. Khi đó, tiếp xúc với tại khi chỉ khi đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng là Đáp án: B
Câu 11 [581757]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu có tâm và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn D

Gọi là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng ta có:

Bán kính mặt cầu là:
Phương trình mặt cầu là: Đáp án: D
Câu 12 [581758]: Trong không gian với hệ trục tọa độ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Chọn D.
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng
Điều kiện:
Vì mặt cầu đi qua 3 điểm và có tâm thuộc nên ta có hệ phương trình
Vậy phương trình mặt cầu là: Đáp án: D
5. Dạng toán: Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu
5.1. Phương pháp tư duy
5.2. Ví dụ áp dụng.
Câu 13 [581759]: Trong không gian cho đường thẳng và và mặt cầu Số điểm chung của và là:
A, 0.
B, 1.
C, 2.
D, 3.
Chọn A
Đường thẳng đi qua và có VTCP
Mặt cầu có tâm và bán kính
Ta có và

Vì nên không cắt mặt cầu Đáp án: A
Câu 14 [581760]: Trong không gian cho đường thẳng và mặt cầu Giá trị của để đường thẳng không cắt mặt cầu là:
A, hoặc
B, hoặc
C,
D,
Chọn A
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ta có


Để không cắt mặt cầu thì (1) vô nghiệm, hay (1) có Đáp án: A
Câu 15 [581761]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là
A,
B,
C,
D,

• Mặt cầu có tâm
• Khoảng cách từ đến là
• Đường thẳng qua vuông góc với có phương trình tham số là khi đó Tọa độ tâm là nghiệm của hệ phương trình
• Bán kính: Đáp án: B
6. Dạng toán: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến mặt cầu
6.1. Phương pháp tư duy
6.2. Ví dụ áp dụng.
Câu 16 [581762]: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm và mặt cầu Gọi điểm là điểm trên sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm
A,
B,
C,
D, 9.
Chọn B

Gọi là điểm thỏa mãn suy ra
Khi đó:
Suy ra nhỏ nhất khi nhỏ nhất. Mặt cầu có tâm suy ra:
Phương trình Thay phương trình vào phương trình ta được:
Suy ra cắt tại hai điểm phân biệt
Vì nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi Vậy là điểm cần tìm.
Suy ra: Đáp án: B
Câu 17 [581763]: Cho là ba số thực thỏa Tìm giá trị lớn nhất của
A,
B,
C,
D,
Chọn D
Ta có:
Lại có:
Xét trong hệ trục tọa độ ta thấy là phương trình của một mặt phẳng, gọi là và là phương trình của một mặt cầu tâm bán kính
Giá trị lớn nhất của là giá trị lớn nhất của để và có điểm chung, điều này tương đương với
Vậy Đáp án: D
Câu 18 [581764]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt cầu Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính
A,
B,
C,
D,
Chọn A
Cách 1:

Mặt cầu có tâm bán kính
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Theo giả thiết
Ta có: cùng phương với
Phương trình đường thẳng
Gọi là bán kính đường tròn giao tuyến. là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng là hình chiếu vuông góc của lên
Ta có:


Ta có:
Mà và cùng phương.
Cách 2:
Mặt cầu có tâm và bán kính
Ta có
Bán kính của đường tròn giao tuyến là
Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất
Ta có
Xét
Bảng biến thiên

Vậy lớn nhất bằng khi và chỉ khi Đáp án: A