Quay lại
Đáp án
Dạng câu hỏi: Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
(Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất)
Câu 1 [581765]: Cho phương trình với là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.
A, 0.
B, 1.
C, 2.
D, 3.
Chọn B
Giả sử là phương trình mặt cầu.
Khi đó tâm mặt cầu là và bán kính với điều kiện
Do
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của bằng 1. Đáp án: B
Câu 2 [581766]: Trong không gian cho điểm Viết phương trình mặt cầu tâm cắt trục tại hai điểm và sao cho
A,
B,
C,
D,
Chọn A

Gọi là trung điểm suy ra là hình chiếu vuông góc của lên nên

Phương trình mặt cầu là: Đáp án: A
Câu 3 [581767]: Trong không gian cho điểm Mặt phẳng đi qua và cắt các trục tại sao cho là trực tâm tam giác Viết phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Chọn C

Ta có là trực tâm tam giác
Thật vậy :
(1)
Mà (vì là trực tâm tam giác ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (*)
Tương tự (**)
Từ (*) và (**) suy ra
Khi đó mặt cầu tâm tiếp xúc mặt phẳng có bán kính
Vậy mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng là Đáp án: C
Câu 4 [581768]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng ( là tham số). Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A,
B,
C,
D,
Chọn D

Từ ta có tâm bán kính
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và với
Ta có
Theo yêu cầu bài toán ta có Đáp án: D
Câu 5 [581769]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu có tâm và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn D

Gọi là điểm nằm trên đường tròn giao tuyến của và
Ta có Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu trong trường hợp mặt cầu giao với mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là

Ta có: Từ
Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn yêu cầu đề bài là Đáp án: D
Câu 6 [581770]: Trong không gian cho mặt cầu và điểm Viết phương trình mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ đến mặt cầu
A,
B,
C,
D,
Chọn C.
mặt cầu tâm
Do nằm ngoài mặt cầu. Suy ra từ vẽ được vô số tiếp tuyến đến mặt cầu và khoảng cách từ đến các tiếp điểm bẳng nhau.
Gọi là tiếp điểm vuông tại thuộc mặt cầu tâm bán kính
Tọa độ điểm thỏa mãn hệ
Đáp án: C
Câu 7 [581771]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng có phương trình và mặt cầu có phương trình Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
A,
B,
C,
D,
Chọn D
Mặt cầu có tâm và bán kính
Gọi là mặt phẳng song song với mặt phẳng và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
Phương trình có dạng:
tiếp xúc với khi và chỉ khi

Đối chiếu điều kiện suy ra
Vậy phương trình của là Đáp án: D
Câu 8 [581772]: Trong không gian cho mặt phẳng chứa đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu Khi đó song song với mặt phẳng nào sau đây?
A,
B,
C,
D, Đáp án khác.
Chọn D
Vectơ chỉ phương của là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt cầu có tâm và bán kính
Vì chứa nên và tiếp xúc với nên
Ta chỉ xét phương trình Lấy hai điểm nằm trên đường thẳng là và
Ta nhận thấy: và không thỏa mãn đáp án A; B; C.
Vây, đáp án là D. Đáp án: D
Câu 9 [581773]: Trong không gian cho mặt cầu và đường thẳng Giá trị của để đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt là:
A,
B, hoặc
C, hoặc
D,
Chọn D
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ta có


Để cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có Đáp án: D
Câu 10 [581774]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và và mặt phẳng Xét đường thẳng thay đổi thuộc và đi qua gọi là hình chiếu vuông góc của trên Biết rằng khi thay đổi thì thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó.
A,
B,
C,
D,
Chọn D
Gọi là trung điểm của
Gọi là mặt cầu có tâm và bán kính
Ta có Mặt khác nên
Bán kính của đường tròn là Đáp án: D
Câu 11 [581775]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu và đường thẳng Hai mặt phẳng chứa và tiếp xúc với tại Tìm tọa độ trung điểm của
A,
B,
C,
D,
Chọn C
Mặt cầu có tâm bán kính
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
Gọi là hình chiếu của trên ta có
Vì nên
Phương trình tham số của đường thẳng là
Khi đó, trung điểm của nằm trên nên
Mặt khác, ta có: Đáp án: C
Câu 12 [581776]: Trong không gian cho hai đường thẳng và Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng và Gọi là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Bán kính của mặt cầu là
A,
B,
C,
D,
Chọn B

Ta có gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.
Gọi
Suy
là đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi:
Giả sử là mặt cầu tâm đường kính tiếp xúc với lần lượt tại Khi đó Hay Vậy đường kính nhỏ nhất khi Suy ra mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
Cách khác
Hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa là Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng
và sẽ tiếp xúc với nên đường kính cầu là khoảng cách giữa hai mặt phẳng hay là khoảng cách từ đến
Gọi lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng, phương trình
Suy ra bán kính cần tìm là Đáp án: B
Câu 13 [581777]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu Mặt phẳng song song với mặt phẳng và cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng Lập phương trình mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Mặt cầu có tâm và bán kính
Đường tròn có chu vi bằng nên có bán kính
Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên phương trình mặt phẳng có dạng:

Vì mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng nên


Đối chiếu điều kiện ta được Do đó phương trình mặt phẳng Đáp án: D
Câu 14 [581778]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu tâm bán kính và đường thẳng Mặt phẳng chứa và cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng lớn nhất.
A,
B,
C,
D,
Chọn A
Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng
Ta có:
Vì cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt.
Mặt phẳng bất kì chứa luôn cắt theo một đường tròn bán kính
Khi đó
Do vậy mặt phẳng chứa cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi hay mặt phẳng đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến, do đó có phương trình
Khi đó điểm có khoảng cách đến lớn nhất. Đáp án: A
Câu 15 [581779]: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng là:
A,
B,
C,
D,
Chọn C
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với là mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của Lấy
là đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi
Khi đó
Suy ra tâm bán kính Đáp án: C
Dạng câu hỏi: Câu trắc nghiệm đúng sai.
(Thí sinh trả lời từ câu 16,17. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai)
Câu 16 [581780]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu và đường thẳng Cho các phát biều sau đây:
a) Đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt.
b) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
c) Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
d) Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
a) Đ
b) S
c) Đ
d) Đ
Mặt cầu có tâm bán kính
Phương trình tham số của đường thẳng
Xét hệ phương trình
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nên cắt tại 2 điểm phân biệt.
và không có điểm chung.
Xét hệ phương trình
cắt tại một điểm.
Vậy có 3 phát biểu đúng.
Câu 17 [581781]: Trong không gian với hệ trục cho phương trình Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Với thì là phương trình của một mặt cầu.
b) Với thì là phương trình của một mặt cầu.
c) Với thì là phương trình của một mặt cầu.
d) Với hoặc thì là phương trình của một mặt cầu.
a) S
b) Đ
c) Đ
d) Đ
Ta có điều kiện xác định mặt cầu là
Dạng câu hỏi: Câu trả lời ngắn.
(Thí sinh trả lời đáp án từ câu 16 đến câu 18. Đáp án là số nguyên hoặc phân số tối giản (nếu có))
Câu 18 [581782]: Trong không gian hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa

Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là và Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?
Đáp án:……
Đáp án: Có
Lời giải
- Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian là:

• Ta có:
Vì nên điểm nằm trong mặt cầu. Vậy chiếc máy bay do thám của Mỹ có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.
• Ta có:
Vì nên điểm nằm trong mặt cầu. Vậy chiếc máy bay do thám của Anh có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.
Câu 19 [581783]: Trong không gian cho mặt cầu và điểm Ba điểm phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng đi qua điểm Tổng bằng
Đáp án:……
Đáp án: 26
Lời giải

* Ta có:

* Mặt cầu có phương trình tâm bán kính
* là tiếp tuyến của mặt cầu đi qua có vectơ pháp tuyến có phương trình dạng:

* là tiếp tuyến của mặt cầu tại vuông tại
Gọi là hình chiếu của lên ta có:

* Với nhận do:

* Với loại do:

Câu 20 [581784]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt cầu Giả sử và sao cho cùng phương với vectơ và khoảng cách giữa và lớn nhất. Tính
Đáp án:……
Đáp án:
Lời giải
Cách 1

Mặt phẳng có vtpt
Mặt cầu có tâm và bán kính
Nhận thấy rằng góc giữa và bằng
Vì nên không cắt
Gọi là hình chiếu của lên thì và nên lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và với là giao điểm của đường thẳng qua vuông góc và là hình chiếu của lên
Lúc đó và
Cách 2
có tâm và bán kính
Ta có:

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng và là góc giữa và
Vì cùng phương với nên góc có số đo không đổi,
Có nên lớn nhất lớn nhất
Có nên
Dạng câu hỏi: Câu hỏi kéo thả.
Câu 21 [581785]: Cho là ba số thực thay đổi thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của bằng (phân số tối giản với
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị của bằng _______.
Giá trị của bằng _______.
Giá trị của bằng _______.
Đáp án
Giá trị của bằng 7.
Giá trị của bằng
Giá trị của bằng 3.
Giải thích

Trong không gian với hệ trục tọa độ gọi điểm điểm
Khi đó thuộc mặt cầu tâm bán kính và thuộc mặt phẳng
Suy ra
Ta có suy ra nhỏ nhất khi thẳng hàng.
Do vậy nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên và là giao của và mặt cầu.
Khi đó
Mà
Suy ra
Vậy