DẠNG 1. NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
Câu 1 [582618]: Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
312 ; 213 ; 435 ; 417 ; 3311 ; 67.
312 ; 213 ; 435 ; 417 ; 3311 ; 67.
Các số 312, 213, 435 và 417 là hợp số
Số 3311 là hợp số; Số 67 là số nguyên tố
Số 3311 là hợp số; Số 67 là số nguyên tố
Câu 2 [582619]: Gọi 
là tập các số nguyên tố. Điền kí hiệu 
hoặc 
vào chỗ trống cho đúng:
là tập các số nguyên tố. Điền kí hiệu hoặc vào chỗ trống cho đúng: 
Câu 3 [582621]: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.
Tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 bao gồm số 2 và 24 số nguyên tố lẻ, nên tổng của chúng là một số chẵn
Câu 4 [582622]: Có thể tìm được 2025 số tự nhiên liên tiếp là hợp số hay không?
Có, bởi trong khoảng (2025;4050) sẽ có ít nhất một số nguyên tố.
DẠNG 2: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Câu 5 [582623]: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
Tổng của 3 số này là một số chẵn, thế thì phải có một trong 3 số là số chẵn và số đó phải bằng 2.
Hiển nhiên 2 là số nguyên tố bé nhất nên 2 là số cần tìm.
Hiển nhiên 2 là số nguyên tố bé nhất nên 2 là số cần tìm.
Câu 6 [582626]: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
Hiển nhiên 2 không phải là số ta cần tìm
Vì số cần tìm là số nguyên tố lẻ, nên tổng của hai số nguyên tố
kia phải có một số chẵn và một số lẻ
Không mất tính tổng quát, giả sử
Vì số cần tìm là số nguyên tố lẻ, nên hiệu của hai số nguyên tố
kia phải có một số chẵn và một số lẻ
Không mất tính tổng quát, giả sử
Ta có:
Vậy số cần tìm là 5.
Vì số cần tìm là số nguyên tố lẻ, nên tổng của hai số nguyên tố
kia phải có một số chẵn và một số lẻKhông mất tính tổng quát, giả sử
Vì số cần tìm là số nguyên tố lẻ, nên hiệu của hai số nguyên tố
kia phải có một số chẵn và một số lẻKhông mất tính tổng quát, giả sử
Ta có:
Vậy số cần tìm là 5.
Câu 7 [582627]: Tìm tất cả các số nguyên tố 
sao cho 
là một số nguyên tố?
sao cho là một số nguyên tố?
Ta có: 
không thỏa mãn
thỏa mãn
ta xét:
+
+
Vậy
không thỏa mãn thỏa mãn ta xét:+
+
Vậy
Câu 8 [582629]: Tìm tất cả các số nguyên tố 
để 
cũng là số nguyên tố.
để cũng là số nguyên tố.
Ta có: 
không thỏa mãn
thỏa mãn
ta xét:
+
(do 
lẻ)
+
(do 
lẻ)
Vậy
không thỏa mãn thỏa mãn ta xét:+
(do lẻ)+
(do lẻ)Vậy
DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
Câu 9 [582633]: Chứng minh rằng: Nếu 
và 
là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì 
và là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì
TH1: 
Ta có:
Hiển nhiên tích trên chia hết cho 3
Do
lẻ nên 
lẻ, trong 2 số 
và 
sẽ có một số chia 4 dư 2 và một số chia hết cho 4 nên 
chia hết cho 8.
Do
nên tích chia hết cho 
TH2, 3, 4: tương tự.
Ta có:
Hiển nhiên tích trên chia hết cho 3
Do
lẻ nên lẻ, trong 2 số và sẽ có một số chia 4 dư 2 và một số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8.Do
nên tích chia hết cho TH2, 3, 4: tương tự.
Câu 10 [582634]: Chứng minh mọi ước nguyên tố của 
đều lớn hơn 
đều lớn hơn
Giả sử tồn tại một ước nguyên tố 
nhỏ hơn 
Ta có:
Do
là ước của 
nên 
là ước của 
(vô lý, vì 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1 luôn nguyên tố cùng nhau).
Ta có đpcm.
nhỏ hơn Ta có:Do
là ước của nên là ước của (vô lý, vì 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1 luôn nguyên tố cùng nhau).Ta có đpcm.
Câu 11 [582635]: Cho 
và 
là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
và là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn Chứng minh rằng
Xét trường hợp tương tự VD1
Câu 12 [582637]: Cho 
là số nguyên tố lớn hơn 7. Chứng minh rằng 
là số nguyên tố lớn hơn 7. Chứng minh rằng
Theo Fermat nhỏ:
chia 
dư 3
chia 
dư 2
nên
chia hết cho 
Ta có:
Dễ thấy:
chia hết cho 
mà 
lẻ, nên:
chia hết cho 2
chia hết cho 3, mà 
chia 
dư 
(do 
lẻ), nên:
chia hết cho 3
Xét theo lý thuyết đồng dư
(Xem bài lý thuyết đồng dư)
Nên
chia hết cho 7
Do
đôi một nguyên tố cùng nhau nên 
chia dư 3 chia dư 2nên
chia hết cho Ta có:
Dễ thấy:
chia hết cho mà lẻ, nên: chia hết cho 2 chia hết cho 3, mà chia dư (do lẻ), nên: chia hết cho 3Xét theo lý thuyết đồng dư
(Xem bài lý thuyết đồng dư)Nên
chia hết cho 7Do
đôi một nguyên tố cùng nhau nên DẠNG 4. BÀI TẬP LIÊN QUAN TỚI CÁC HÀM SỐ HỌC
Câu 13 [585492]: Tìm giá trị của 
biết:
i)
và 
ii)
và 
biết:i)
và ii)
và
i) Do 
nên 
Vậy
ii) Do
nên 
Vậy
nên
Vậy
ii) Do
nên
Vậy
Câu 14 [585493]: Tìm các số tự nhiên 
biết phân tích 
ra thừa số nguyên tố có dạng 
và 
biết phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng và
Do: 
(Không thể là 
vì 
)
Không mất tính tổng quát, giả sử:
Khi đó,
có dạng 
Mà:
(Do 
)
TH1:
TH2:
(Loại do 
nguyên tố).
Vậy
(Không thể là vì )
Không mất tính tổng quát, giả sử:
Khi đó,
có dạng
Mà:
(Do )
TH1:
TH2:
(Loại do nguyên tố).
Vậy
Câu 15 [585494]: Biết phân tích 
ra thừa số nguyên tố có dạng 
và 
. Tính 
.
ra thừa số nguyên tố có dạng và . Tính .
Do: 
Không mất tính tổng quát, giả sử:
hoặc 
TH1:
TH2:
Không mất tính tổng quát, giả sử:
hoặc
TH1:
TH2: