Quay lại
Đáp án
Dạng câu hỏi: Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
(Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất)
Câu 1 [582724]: Gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại. Xác suất để số lần gieo là 6:
A,
B, 7.
C,
D,
Ở bài toán này, ta phải hiểu mỗi phần tử trong không gian mẫu không phải đại diện cho một kết quả gieo đồng xu, mà đại diện cho một chuỗi hành động gieo đồng xu liên tiếp.
Không gian mẫu
Biến cố
Xác suất của biến cố là Đáp án: C
Câu 2 [582725]: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ chia hết cho 10.
A,
B,
C,
D,
Chọn 10 tấm thẻ bất kì trong 30 tấm thẻ ta được
Gọi là biến cố “lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ chia hết cho 10”
Từ 1 đến 30 có 15 thẻ mang số lẻ, 15 thẻ mang số chẵn trong đó có 3 thẻ chia hết cho 10 là nên số phần tử của biến cố là:
Vậy xác suất cần tìm là Đáp án: D
Câu 3 [582726]: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng trong đó
A, 0,1.
B, 0,055.
C, 0,65.
D, 0.45.
Số phần tử của không gian mẫu là
Từ giả thiết
Số cách chọn và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất là
Vậy Đáp án: B
Câu 4 [582727]: Trong kỳ thi thử trung học phổ thông quốc gia một trường THPT đã dùng 7 cuốn toán, 6 cuốn lý, 5 cuốn hóa (các sách cùng thể loại giống nhau) để làm giải thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất, mỗi học sinh được 2 cuỗn sách khác loại. Trong số 9 học sinh có A và B, tính xác suất để khi phát phần thưởng, học sinh A và B có phần thưởng giống nhau.
A,
B,
C,
D,
Giả sử các phần thưởng được xếp thành bộ toán – lý, bộ toán – hóa, bộ hóa – lý.
Ta có hệ Giải hệ ta được
Số cách chọn phần thưởng cho A và B là
TH1: A, B cùng nhận được cặp toán – lý. Số cách chọn là
TH2: A, B cùng nhận được cặp toán – hóa. Số cách chọn là
TH3: A, B cùng nhận được cặp hóa – lý. Số cách phát sách là
Xác suất cần tính là: Đáp án: A
Câu 5 [582728]: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Gọi ngẫu nhiên 3 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để có ít nhất 1 học sinh giỏi.
A,
B,
C,
D,
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 30 học sinh lên bảng là
Số học sinh trung bình và khá là học sinh.
Gọi là biến cố: “3 học sinh được chọn đều không giỏi”.
Suy ra là biến cố: “3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh giỏi”.
Ta có ;
Vậy xác suất cần tính là : Đáp án: B
Câu 6 [582729]: Có bao nhiêu cách chia 30 cái kẹo không thể phân biệt cho 7 em bé sao cho mỗi em có ít nhất một cái. (Hai cách chia được coi là khác nhau nếu có ít nhất một em có số kẹo nhận được thay đổi).
A,
B,
C,
D,
Bài toán này còn có tên là bài toán chia kẹo Euler.
Xếp 30 cái kẹo thành 1 hàng ngang. Có 29 vị trí xen giữa các chiếc kẹo. Để chia kẹo cho 7 em bé ta dùng 6 chiếc đũa đặt vào 6 trong 29 vị trí nói trên. Khi đó kẹo sẽ được chia làm 7 phần: gồm 5 nằm giữa các chiếc đũa và 2 phần nằm trước chiếc đũa đầu tiên và sau chiếc đũa cuối cùng.
Đáp án bài toán là Đáp án: A
Câu 7 [582730]: Có 12 người, trong đó có 3 cặp vợ chồng. Xác suất để chọn ra 5 người sao cho trong đó không có cặp vợ chồng nào
A,
B,
C,
D,
Chọn A
Ta có không gian mẫu là
Gọi là biến cố «chọn ra người sao cho không có cặp vợ chồng nào»
Ta sẽ tìm
- Chọn ra 5 người trong đó có 2 cặp là vợ chồng là:
- Chọn ra 5 người trong đó có đúng 1 cặp là vợ chồng là:
Suy ra
Suy ra Đáp án: A
Câu 8 [582731]: Có hai xạ thủ loại 1 và 8 xạ thủ loại 2. Xác suất bắn trúng đích của các xạ thủ lần lượt là 0,4 và 0,6. Lấy ra ngẫu nhiên 1 xạ thủ bắn 2 viên đạn. Tìm xác suất để có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng đích.
A, 0,296.
B, 0,8.
C, 0,196.
D, 0,3.
Trường hợp 1: Xác suất chọn trúng xạ thủ loại 1 là
Xác suất bắn cả hai lần đều hụt của xạ thủ loại 1 là
Xác suất bắn trúng của ít nhất 1 lần của xạ thủ loại 1 là
Xác suất viên đạn trúng đích ít nhất 1 lần là
Trường hợp 2: Xác suất chọn trúng xạ thủ loại 2 là
Xác suất bắn cả hai lần đều hụt của xạ thủ loại 2 là
Xác suất bắn trúng ít nhất 1 viên của xạ thủ loại 2 là
Xác suất viên đạn trúng đích là
Vậy xác suất viên đạn bắn trúng đích là Đáp án: B
Câu 9 [582732]: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số có 5 chữ số. Tính xác suất trong các số vừa lập ở trên lấy được một số mà trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
A,
B,
C,
D,
Gọi A là biến cố lấy được số có 5 chữ số mà trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
Ta có: Từ các chữ số lập được số các số có 5 chữ số là: (số).
Xếp chữ số 1 vào 3 vị trí trong 5 vị trí có: (cách).
Lấy 2 trong 5 chữ số còn lại xếp vào 2 vị trí trống có: (cách).
Số các số có 5 chữ số mà trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần là: (số).
Vậy xác suất trong các số vừa lập ở trên lấy được một số mà trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần là:
Đáp án: C
Câu 10 [582733]: Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em được nhận 2 suất quà khác loại (ví dụ : 1 chiếc áo và 1 thùng sữa tươi). Trong số các em được nhận quà có hai em Việt và Nam. Tính xác suất để hai em Việt và Nam đó nhận được suất quà giống nhau.
A,
B,
C,
D,
Ta chia các suất quà như sau : 6 áo và 6 thùng sữa, 3 thùng sữa và 3 cặp, 1 cặp và 1 áo. Số phần tử của không gian mẫu:
Trường hợp 1: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc áo: Có cách.
Trường hợp 2: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc cặp: Có cách.
Gọi là biến cố "Hai em Việt và Nam đó nhận được suất quà giống nhau".
Ta có:
Vậy xác suất đề hai em Việt và Nam nhận được suất quà giống nhau là Đáp án: B
Câu 11 [582734]: Có hai lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lầm lượt là và Tính xác suất để trong hai sản phẩm được lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt.
A, 0,38.
B, 0,48.
C, 0,39.
D, 0,4.
Gọi là biến cố “ Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất ’’.
là biến cố “ Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai ’’.
là biến cố “ trong hai sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt ’’.
Ta có :
Do và xung khắc đồng thời các cặp biến cố và độc lập
Nên ta có:
Đáp án: A
Câu 12 [582735]: Một lớp có 45 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi toán, 8 học sinh giỏi Văn trong đó có 5 học sinh giỏi Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn chỉ giỏi Toán hoặc Văn.
A, 28.
B,
C,
D,
Chọn B
Số phần tử không gian mẫu là
Gọi biến cố “Hai học sinh được chọn chỉ giỏi Toán hoặc Văn”.
Sử dụng biểu đồ Venn để xác định số học sinh giỏi: Toán; Văn; Toán-Văn.

Hai học sinh được chọn chỉ giỏi Toán có (cách).
Hai học sinh được chọn chỉ giỏi Văn có (cách).
Hai học sinh được chọn có một chỉ giỏi Toán và một chỉ giỏi Văn có (cách).

Vậy xác suất của biến cố là
Hoặc: Có 5 học sinh giỏi toán, 3 học sinh giỏi Văn Đáp án: B
Câu 13 [582736]: Bạn Đăng có một bảng gồm điểm, các điểm cách nhau 1 đơn vị. Lấy ra ba đỉnh bất kì trong 20 đỉnh trên, tính xác suất để ba đỉnh đó tạo được thành tam giác?
A,
B,
C,
D,
Không gian mẫu
Gọi là biến cố “để ba đỉnh đó tạo được thành tam giác”
Xảy ra các trường hợp vi phạm sau:
- Ba điểm được chọn nằm trên hàng dọc ( có 5 hàng dọc) suy ra có
- Ba điểm được chọn nằm trên hàng ngang ( có 4 hàng ngang) suy ra có
- Ba điểm được chọn nằm trên đường chéo có 3 điểm ( có 4 đường chéo như thế) suy ra có
- Ba điểm được chọn nằm trên đường chéo có 4 điểm ( có 4 đường chéo như thế) suy ra có
Suy ra
Suy ra Đáp án: A
Câu 14 [582737]: Trong không gian gọi là tập hợp các điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn và Chọn ngẫu nhiên 2 điểm phân biệt trong Xác suất để trung điểm của đoạn thẳng đó cũng thuộc là:
A,
B,
C,
D,
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách chọn ngẫu nhiên điểm trong điểm của tập Ta được
Gọi là biến cố :” Trung điểm của đoạn thẳng đó cũng thuộc ”
Gọi và là hai điểm được chọn.
Ta thấy mỗi cặp phải cùng tính chẵn lẻ.
Suy ra số cách chọn các điểm như thế là

Vậy xác suất cần tính là Đáp án: A
Câu 15 [582738]: Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn. Xác suất để trúng ba viên vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng dưới vòng 8 là 0,4. Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau. Tìm xác suất để vận động viên đạt ít nhất 28 điểm.
A, 1.
B, 0,0936.
C, 0,0835.
D, 0,0935.
Gọi là biến cố “ 1 viên trúng vòng 10”. Khi đó từ giả thiết ta có :

Gọi là biến cố “ 1 viên trúng vòng 9”. là biến cố “ 1 viên trúng vòng 8”, là biến cố “ 1 viên trúng dưới vòng 8”. Theo giả thiết ta có :

Rõ ràng là các biến cố đôi một xung khắc với nhau nên ta có :

Từ suy ra
Gọi là biến cố “vận động viên đạt ít nhất 28 điểm”.
Để đạt được ít nhất 28 điểm thì:
- Hoặc là 2 viên trúng vòng 10, một viên vòng 8. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất
- Hoặc 2 viên trúng vòng 9 một viên trúng vòng 10. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất
- Hoặc 2 viên trúng vòng 10, một viên trúng vòng 9. Điều này xảy ra với xác suất:
- Hoặc cả ba viên điều trúng vòng 10 với xác suất theo giả thiết là 0,008. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất của các biến cố xung khắc, ta có:

Vậy vận động viên bắn súng đạt ít nhất 28 điểm với xác suất là Đáp án: D
Dạng câu hỏi: Câu trả lời ngắn.
(Thí sinh trả lời đáp án từ câu 16 đến câu 18. Đáp án là số nguyên hoặc phân số tối giản (nếu có))
Câu 16 [582741]: Cho đa giác đều đỉnh. Gọi là tập hợp các tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác. Chọn ngẫu nhiên một tam giác trong tập Tính xác suất để chọn được tam giác có một góc lớn hơn
Đáp án:……
Đáp án:

Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác bằng

Tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp Để tạo một tam giác có góc lớn hơn ta làm như sau:
• Chọn đỉnh làm đỉnh có góc lớn hơn , có , giả sử là đỉnh
• Với 2 đỉnh còn lại giả sử là , có số đo góc , lần lượt là , (Giải thích: số đo góc , bằng bội nguyên dương là số đo của góc nội tiếp chắn một cạnh của đa giác).
Số đo góc là
(độ)


• Số cách chọn hai đỉnh , bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình và bằng (theo bài toán chia kẹo euler). Suy ra số tam giác thỏa yêu cầu bài toán là
Vậy xác suất cần tìm là
Câu 17 [582742]: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.
Đáp án:……
Đáp án:
Số phần tử không gian mẫu chính là số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố: “ Xếp 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau ”. Sắp xếp 5 học sinh lớp 12C vào 5 vị trí, có 5! cách. Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 12C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại.

* TH1: Xếp 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa (không xếp vào hai đầu), có cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn lấy 1 trong 2 học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ 4
(để hai học sinh lớp 12C không được ngồi cạnh nhau), có 2 cách.
Ứng với mỗi cách xếp được 9 học sinh trên sẽ tạo ra 10 vị trí trống, bỏ đi 2 vị trí trống hai bên học sinh lớp 12A, thì còn 8 vị trí trống để xếp 1 học sinh lớp 12A còn lại.
Theo quy tắc nhân ta có cách.
*TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại xếp vào hai đầu có cách .
Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp 2 học sinh lớp 12A vào vị trí đó có 2 cách .
Theo quy tắc nhân ta có cách.
Do đó số cách sắp xếp không có học sinh cùng lớp nào ngồi cạnh nhau là:

Vậy xác suất của biến cố là :
Câu 18 [582743]: Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ướng là và 0,6 (với Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả 3 cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn
Đáp án:……
Gọi là biến cố “người thứ ghi bàn” với
Ta có các độc lập với nhau và
Gọi là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
“Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
“Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Ta có:
Nên
Suy ra (1).
Tương tự: suy ra:
hay là
Từ (1) và (2) ta có hệ: giải hệ này kết hợp với ta tìm được và
Ta có:
Nên
Dạng câu hỏi: Câu hỏi kéo thả.
Câu 19 [582744]: Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp?

Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để:
+) Toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người là: ……….
+) Một toa có 3 người, một toa 2 người, một toa có 1 người là: ………
+) Mỗi toa có ít nhất một người là:..........
+) Lần lượt chọn 3 người xếp vào toa đầu, 2 người xếp vào toa II và 1 người xếp vào toa III, ta có
+) Chọn 3 người xếp vào 1 toa, rồi chọn 2 người xếp vào một toa khác, cuối cùng cho người còn lại vào 1 toa. Ta có
+) Mỗi toa ít nhất 1 người thì có 2 khả năng: 1 là 1 toa 3 người, 3 toa 1 người; 2 là 2 toa 2 người, 2 toa 1 người. Ta có