Có:
Số tự nhiên lớn nhất trong dãy là 9.

Theo đề bài, ta có phương trình:

Đáp án: 28.

Từ 12 đoạn thẳng ta vẽ các đoạn giao với nhanh tạo thành các hình vuông con tạo thành ma trận 5x5.

Hình vuông kích thước có: hình vuông
Hình vuông kích thước có : hình vuông
Hình vuông kích thước có: hình vuông
Hình vuông kích thước có: hình vuông
Hình vuông kích thước có: hình vuông
Từ 12 đoạn thẳng bằng nhau ta có thể vẽ tối đa: hình vuông.
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Chọn đáp án D.
Người con trai cả bước vào các bậc: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Người con trái út bước từ nền lên bậc 3, xuống 2 lên 5, xuống 4 lên 7, xuống 6 lên 9, xuống 8 lên 11, xuống 10 lên 13 Người con trai út bước vào các bậc: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13.
Nên chỉ còn bậc thứ 12 là chưa ai bước đến. Mà, cả 2 cậu con trai nhà ô T không ai bước vào bậc cầu thang vừa sửa.
Suy ra, bậc 12 vừa được sửa. Đáp án: D

Chọn đáp án A.
Cách 1: Gọi vận tốc trung bình của Y là () Vận tốc trung bình của X là ()
Từ 7 giờ sáng đến 8 giờ 15 sáng là 1 giờ 15 phút.
Đổi: giờ phút =
Ta có phương trình: ().
Cách 2: Vì vận tốc của X gấp lần ( lần) vận tốc của Y tại điểm xuất phát Quãng đường X đi được cũng gấp lần quãng đường Y đi được.
Ta chia đường tròn ra thành 5 phần 2 xe gặp nhau lần thứ nhất ở vị trí D (như hình vẽ).

Quãng đường xe Y đi được là: ()
Từ 7 giờ sáng đến 8 giờ 15 sáng là 1 giờ 15 phút.
Đổi: giờ phút
Vận tốc trung bình của Y là: (). Đáp án: A

Chọn đáp án C.
Đầu tiên, với cây nến thứ nhất ta đốt từ hai đầu và cây nến thứ hai được đốt từ một đầu. Sau 30 phút cây nến thứ nhất cháy hết và cây nến thứ hai cháy được một nửa.
Ta tiếp tục đốt cây nến thứ hai từ hai đầu Ta có thể do khoảng thời gian 15 phút. Đáp án: C

Chọn đáp án B.
An nên lấy ra sao cho luôn còn lại viên bi, sao cho Bình lấy được 3 viên bi thì An lấy được 2 viên bi và ngược lại.
Cần phải còn lại 30 + 1 viên bi An nên lấy 3 viên bi trong lần lấy đầu tiên. Đáp án: B

Chọn đáp án B.
Để mất ít thời gian nhất ta sẽ cho 4 người đi như sau:

Tổng thời gian: phút. Đáp án: B

Giải quyết bài toán bằng tư duy ngược:
Vì ông Quỳnh cần cung cấp 50 chai rượu nên ta sẽ khai thác từ con số 50 trở ra.
Do phải vượt qua 10 cổng thành và khi qua các cổng, ông sẽ hối lộ lính canh bằng cách đưa cho họ một chai rượu trong mỗi thùng hàng nên để ông Quỳnh mang ít nhất số chai rượu thì đồng nghĩa với việc ông sẽ cho lính canh số rượu ít nhất.
Có nghĩa ra: Khi qua mỗi cổng, ông sẽ phải bỏ số chai rượu từ thùng ít hơn sang các thùng nhiều hơn để làm đầy các thùng đó (đồng nghĩa với việc khi qua các cổng thành sau số chai rượu hối lộ lính canh sẽ giảm).
Vì “số chai rượu cần cung cấp là 50 chai mà 1 thùng chứa tối đa được 15 chai”
(vậy cần tối thiểu 4 thùng để chứa, 3 thùng 15 chai và 1 thùng 5 chai).
Trước khi qua cổng thành số 10 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 4 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 10: 4 chai)
Trước khi qua cổng thành số 9 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 4 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 9: 4 chai)
Trước khi qua cổng thành số 8 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 5 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 8: 4+1 chai)
Trước khi qua cổng thành số 7 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 5 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 7: 5 chai)
Trước khi qua cổng thành số 6 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 5 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 6: 5 chai)
Trước khi qua cổng thành số 5 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 6 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 5: 5+1 chai)
Trước khi qua cổng thành số 4 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 6 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 5: 6 chai)
Trước khi qua cổng thành số 3 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 7 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 3: 7 chai)
Trước khi qua cổng thành số 2 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 7 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 3: 7 chai)
Trước khi qua cổng thành số 1 số chai rượu ông Quỳnh mang theo là: chai (do cần tối thiểu 7 thùng để chứa nên phải hối lộ lính canh ở cổng thành số 3: 7 chai)
Minh họa:

(*): Số chai rượu trong mỗi thùng khi qua cổng thành số
(**): Ông Quỳnh xếp lại số chai rượu vào các thùng khi ở thành số Đáp án: D

Chọn đáp án C.
Vì và
Vì
Vì loại giá trị
Kết hợp với dữ kiện: A, B, C, D và E là 5 chữ số khác nhau và khác 0 và các phép thử ta có duy nhất 1 trường hợp thỏa mãn: Đáp án: C

Chọn đáp án B.
Vì
TH1: tích có 5 chữ số. (mâu thuẫn với dữ kiện đề bài).
TH2: tích có 5 chữ số. (mâu thuẫn với dữ kiện đề bài).
TH3: tích: có 4 chữ số. (thỏa mãn).
Mà, mỗi chữ cái và là một chữ số khác nhau từ 1 đến 9 nên lớn nhất là:
Tổng giá trị của là: Đáp án: B

Chọn đáp án A.
Ta có biểu thức sau:

Dựa vào dữ kiện:
là số chẵn (1)
Mà lớn hơn 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Kết hợp với dữ kiện: là số lẻ lớn hơn 5
Suy ra:
TH1: . Ta có: và lớn hơn
TH1.1: (không thỏa mãn, mẫu thuẫn với dữ kiện: và là 7 chữ số khác nhau và khác 0 ).
TH1.2: (không thỏa mãn, mẫu thuẫn với dữ kiện: và là 7 chữ số khác nhau và khác 0 ).
TH2: Ta có: và A lớn hơn D.
TH2.1: (không thỏa mãn, mẫu thuẫn với dữ kiện: và là 7 chữ số khác nhau và khác 0 ).
TH2.2: (không thỏa mãn, mẫu thuẫn với dữ kiện: và là 7 chữ số khác nhau và khác 0 ).
TH2.3: (thỏa mãn).
Phép tính thỏa mãn:
Giá trị của B là: 3 Đáp án: A

Chọn đáp án C.
Dựa vào dữ kiện:
• Thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua không được điểm nào.
• 4 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt mỗi đội phải đấu 3 trận.
• Kết quả của 1 đội nào đó là 5 điểm
Đội đó sẽ có: 1 trận thắng, trận hòa.
• Kết quả của 1 đội nào đó là 1 điểm Đội đó sẽ có: 1 trận hòa, 2 trận thua.
• Kết quả của 1 đội nào đó là 6 điểm Đội đó sẽ có: 2 trận thắng, 1 trận thua.
Thiếu 1 trận thắng (do đội có 1 điểm mới thua đội có 6 điểm, cần 1 trận thắng để đội có 1 điểm thua); thiếu 1 trận hòa (do đội có 5 điểm mới hòa 1 trận với đội có 1 điểm nên cần thêm 1 trận hòa) và thiếu 1 trận thua (do đội 6 điểm mới thắng đội có 1 điểm nên cần thắng thêm 1 trận).
Điểm của đội còn lại là: điểm. Đáp án: C

Dựa vào dữ kiện:
• Trong một giải đấu, mỗi bảng có 6 đội và các đội phải thi đấu vòng trong một lượt Mỗi đội thi đấu với nhau 1 lần (mỗi đội thi đấu 5 trận).
• Trong trận đấu giữa hai đội bất kỳ, đội thắng được hai điểm, đội thua không có điểm và nếu hòa thì mỗi đội được một điểm.
• Điểm của A, B, C, D, E và F là lần lượt là 9, 8, 7, 3, 2 và 1 điểm A, C, D và F có số điểm lẻ nên mỗi đội có 1 trận hòa.
• Có đúng hai trận hòa.
Bảng minh họa:

Nếu D có một trận hòa với A hoặc C, thì F cũng phải có một trận hòa với A hoặc C Cả D và E đều thắng F D và DE thi đấu với nhau tạo ra mâu thuẫn vì không có trường hợp xảy ra D có một trận hòa với F. Chọn đáp án C. Đáp án: C

Chọn đáp án A.
Vì vận động viên đã bắn hơn 11 viên và đều bắn súng vào các vòng 8, 9, 10 điểm nhưng tổng số điểm là 100 vận đông viên đã bắn 12 viên (Nếu bắn 13 viên thì tổng số điểm ít nhất là: điểm không thỏa mãn).
Nếu tất cả đều trúng vòng 8 điểm thì số điểm đạt được là: (điểm).
So với 100 điểm thì còn thiếu : (điểm).
Phân tích:
Vì tất cả các vòng đều có viên trúng nên phải thay 1 viên vòng 8 bằng 1 viên vòng 10 và 2 viên vòng 8 bằng 2 viên vòng 9.
Vậy người đó đã bắn 12 viên trong đó có 9 viên trúng vòng 8, có 2 viên trúng vòng 9 và 1 viên trúng vòng 10.
Số viên 9 điểm và số viên điểm điểm 10 chênh nhau 1 viên. Đáp án: A

Chọn đáp án B.
Ban đầu có 50 người, đánh số từ 1 đến 50.
Đầu tiên, những người có vị trí là số lẻ sẽ bị loại bỏ.
Những người còn lại có số thứ tự: 2, 4, 6, 8, ..., 50 (tức là còn lại 25 người).
Tiếp tục loại bỏ những người có vị trí là các số lẻ trong nhóm còn lại:
Những người còn lại có số thứ tự: 4, 8, 12, ..., 48 (tức là còn lại 12 người).
Tiếp tục loại bỏ những người có vị trí là các số lẻ trong nhóm còn lại:
Những người còn lại có số thứ tự: 8, 16, 24, 32, 40, 48 (tức là còn lại 6 người).
Tiếp tục loại bỏ những người có vị trí là các số lẻ trong nhóm còn lại:
Những người còn lại có số thứ tự: 16, 32, 48 (còn lại 3 người).
Tiếp tục loại bỏ những người có vị trí là các số lẻ trong nhóm còn lại:
Những người còn lại có số thứ tự: 32 (chỉ còn lại 1 người).
Vậy người may mắn nhận được quà ban đầu đứng vị trí số 32. Đáp án: B

Số cách Mạnh đến công ty là: 15 cách.
Minh họa:

Chọn đáp án B. Đáp án: B

Chọn đáp án C.
Dựa vào hình vẽ ta dễ dành nhận thấy:
Con chim đứng ở C nặng gấp 3 lần con chim đứng ở D
Con chim đứng ở E nặng gấp 2 lần con chim đứng ở F

Ta có:
TH1: (không thỏa mãn do mâu thuẫn với dữ kiện “không có con nào có số cân nặng bằng nhau”).
TH2: (không thỏa mãn do mâu thuẫn với dữ kiện “trọng lượng của các con chim nặng từ 2 đến 9 kg”).
TH3:
Mà “trọng lượng của các con chim nặng từ đến và không con nào có số cân nặng bằng nhau” Con chim đứng ở B nặng Đáp án: C