Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1023973]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng được xác định bằng công thức
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng được xác định bằng công thức
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [1023966]: Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
A,
B,
C,
D,
Đính chính: Bản in đầu tiên, nội dung câu này thiếu dữ kiện "". Đội ngũ tác giả xin chân thành xin lỗi vì sai sót này.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [1023967]: Nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [1023968]: Họ nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [1023976]: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 6 [1023974]: Cho cấp số cộng với và công sai Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 7 [1023971]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng Vectơ nào sau đây là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 8 [1023972]: Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tứ phân vị thứ ba (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:
Tổng thời lượng thực hiện cuộc gọi là (giây).
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [1023965]: Tập nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [1023975]: Cho khối chóp có vuông góc với mặt phẳng tam giác vuông tại và Thể tích của khối chóp bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức:
 Toán lớp 11 (Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối).
Mức độ:
 Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:

Thể tích của khối chóp là
Chọn đáp án C.
Đáp án: C
Câu 11 [1023969]: Cho hình lăng trụ (xem hình bên). Đường thẳng song song với mặt phẳng nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hình lăng trụ và hình hộp)
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
 Ta có hình lăng trụ suy ra mà
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 12 [1023970]: Cho hình chóp tứ giác đều (xem hình bên). Gọi là giao điểm của và . Phát biểu nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:
Ta có là trung điểm của Khi đó, là đường trung tuyến trong tam giác và tam giác
Áp dụng quy tắc trung tuyến, ta có
Suy ra
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1023978]: Cho hàm số
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số).
Mức độ: a) Nhận biết; b) Nhận biết; c) Nhận biết; d) Thông hiểu
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Hàm số đã cho có đạo hàm là
b) Sai.

Vậy phương trình có tập nghiệm là
c) Đúng.

d) Đúng.
Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
Câu 14 [1023977]: Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh đấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có số tin nhắn là quảng cáo.
Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện; Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes.).
Mức độ: a) Thông hiểu; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng
Lời giải chi tiết:
Gọi là biến cố “Tin nhắn đó bị đanh dấu”, là biến cố “Tin nhắn đó là quảng cáo”.
Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

a) Đúng.
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu là:
b) Sai.
Xác suất để tin nhắn đo không phải quảng cáo biết rằng nó không bị đánh dấu là:
c) Sai.
Ta có sơ đồ:

Xác suất để tin nhắn đó không phải quảng cáo là: (áp dụng công thức xác suất toàn phần).
d) Sai.
Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là: (áp dụng công thức Bayes).
Câu 15 [1023979]: Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thuỷ sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn và trong đó là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm (ngày); (ngày) nhận được kết quả lần lượt là mg/lít; mg/lít. Cho biết
Nội dung kiến thức:
 Toán lớp 12(Tích phân).
Mức độ:
 a) Thông hiểu; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Cách 1:
Thay vào phương trình ta được
Chia cả hai vế cho ta được
Cách 2:
Vì nên
Nguyên hàm hai vế ta được
Lại có
Đồng nhất với (1) suy ra với là một hằng số xác định.
b) Đúng.
Từ giả thiết bài cho, ta có

c) Sai.
Từ kết quả phần b), ta có
d) Sai.
Từ kết quả phần b), c) ta có
Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm (ngày) bằng
Câu 16 [1023980]: Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ toạ độ có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có toạ độ là Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và Ở thời điểm ban đầu vật đi qua với tốc độ m/giây và hướng tới Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường m. Gọi là vectơ cùng hướng với vectơ Biết rằng và góc giữa vectơ lần lượt với các vectơ có số đo tương ứng bằng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức tích vô hướng của vectơ để xác định các hệ số phương trình đường thẳng trong không gian.
Vận dụng công thức quãng đường để giải các bài toán chuyển động.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Ta có

Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có .
.
.
.
Phương trình đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương là .
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Quãng đường vật đi được sau giây là .
Sau 2 giây vật đi được 608 m nên .

Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Viết phương trình tham số của :
Quãng đường sau 5 giây là


Suy ra mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1023981]: Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân để như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng 7,4 cm và 10,4 cm, bề dày của khối gỗ bằng 1,5 cm. Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể H, ở đó H nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính 5,7 cm bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính 3,5 cm (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Vận dụng.
Lời giải chi tiết:
Note: Công thức tính thể tích hình chóp cụt với là chiều cao, lần lượt là diện tích hai mặt đáy của hình.
Diện tích đáy nhỏ là: Diện tích đáy lớn là:
Thể tích hình chóp cụt là:
Dựa vào hệ trục tọa độ trong đề bài, ta có phương trình đường tròn tâm bán kính 5,7 cm là:

Xét vật thể được cắt bởi một mặt cắt là hình tròn tâm bán kính 3,5 cm nửa đường tròn
Ta có thể tích phần lõm là:
Thể tích của khối chân đế là:
Điền đáp án: 95,9.
Câu 18 [1023984]: Nếu một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm trong một tháng thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Bất phương trình bậc hai một ẩn).
Mức độ: Vận dụng.
 Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Doanh thu khi bán hết sản phẩm là ,
- Chi phí mỗi sản phẩm là
b) Yêu cầu:
- Cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm lợi nhuận sau đó giải bất phương trình theo đề bài.
Phần 3. Giải chi tiết
Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là
Suy ra chi phí sản xuất x sản phẩm là
Lợi nhuận là (nghìn đồng)
Để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng thì


Điền đáp án: 1092.
Câu 19 [1023985]: Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là Giá trị của bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Các quy tắc tính xác suất) + Toán lớp 11 (Cấp số cộng)
Mức độ: Vận dụng.
Lời giải chi tiết:
Số phần tử của không gian mẫu là (cách).
Gọi là biễn cố "Bạn Nam giải được mật khẩu".
Vi mỗi bộ ba số lập thành một một cãp số cộng nên
Khi đó bộ ba số phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bộ ba số cùng chẵn.
Ta có 2 bộ ba số thỏa mãn là và
Với mỗi cách xếp một bộ ba số vào ba vị trí thì có duy nhất một số được chọn để xếp vào vị trí , một số được chọn để xễp vào vị trí , một số được chọn để xếp vào vị trí .
Số cách Nam giải được mật thư trong trường hợp này là (cách).
Trường hợp 2: Bộ ba số cùng lẻ.
Ta có 6 bộ sáu số thỏa mãn là ,
Với mỗi cách xếp một bộ ba số vào ba vị trí thì có duy nhất một số được chọn để xếp vào vị trí , một số được chọn để xếp vào vị trí , một số được chọn để xếp vào vị trí .
Số cách Nam giải được mật thư trong trường hợp này là (cách).
Xác suất để bạn Nam giải được mật thư là

Điền đáp án: 2520.
Câu 20 [1023986]: Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 35 nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn 2 có giá 55 nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 165 cốc nước chanh và 100 túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?
Nội dung kiến thức: Chuyên đề toán 12 (Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính).
Mức độ: Vận dụng.
Lời giải chi tiết: Gọi lần lượt là số thực đơn 1 và số thực đơn 2 được câu lạc bộ làm ra
Câu lạc bộ chỉ làm được không quá 165 cốc nước chanh nên
Câu lạc bộ chỉ làm được không quá 100 túi khoai chiên nên
Ta có hệ bất phương trình sau
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Miền nghiệm là tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh) với các đỉnh
Số tiền câu lạc bộ nhận được sau khi bán hết hàng là (nghìn đồng).
Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất tại các điểm O, A, B, C.
Tại thì
Tại thì
Tại thì
Tại thì
Vậy số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng 2 975 nghìn đồng.
Điền đáp án: 2975.
Câu 21 [1023982]: Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4 và tám quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết tám quyển sách nói trên vào bốn ngăn số sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong tám quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;
+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.
Gọi là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán 11 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Lời giải chi tiết:
Trước hết, ta có số cách xếp 8 quyển sách thành một hàng ngang là 8! cách.
Tiếp đến, ta tính với mỗi hàng 8 quyển sách thì số cách xếp số sách đó vào 4 ngăn là bao nhiêu.
Nhận thấy giữa 8 quyển sách xếp thành hàng ngang có 7 khoảng trống ở giữa chúng. Và để chia sách thành 4 ngăn thì ta cần 3 vách ngăn đặt vào các vị trí khoảng trống ở giữa các sách. Và vì mỗi ngăn phải có ít nhất một quyển, nên ta không được đặt vách ngăn ở hai đầu ngoài cùng và cũng không được đặt 2 vách ngăn vào cùng một chỗ. Do đó số cách xếp 8 cuốn sách vào 4 ngăn trở thành số cách đặt 3 vách ngăn vào 7 khoảng trống nên ta có cách.
Suy ra có cách sắp xếp khác nhau của bạn An.
Vậy
Điền đáp án: 2352.
Câu 22 [1023983]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông với Biết rằng hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác và Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán 11 (Quan hệ vuông góc trong không gian: Khoảng cách trong không gian).
Mức độ: Vận dụng.
Lời giải chi tiết:
Gọi Đáy là hình vuông
là trọng tâm thuộc trung tuyến
Ta có
Từ
Vì (mặt phẳng chứa ), khoảng cách chính là khoảng cách từ đến trong mặt phẳng
Kẻ (với )
Hình vuông
là trọng tâm

Xét vuông tại

Ta tính qua diện tích (vì
Mặt khác,


Điền đáp số: 0,85.