Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định lí: Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực đại tại điểm Và giá trị cực đại là giá trị của hàm số tại điểm cực đại.
Từ bảng biến thiên của hàm số hàm số đã cho có giá trị cực đại là
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình lượng giác).
Mức độ: Thông hiểu.
Note:
Phương trình có nghiệm khi
Phương trình có nghiệm với mọi
Xét lần lượt các đáp án:
A. mà nên phương trình vô nghiệm. Chọn A.
B. với nên luôn có nghiệm nên loại B.
C. với nên phương trình có nghiệm. Loại C.
D. có nghiệm vì nên loại D.
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng đã cho là tương đương với
Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.

Xét lần lượt các đáp án
A. nên A sai.
B. Đúng theo quy tắc hình hộp.
C. nên C sai.
D. nên D sai.
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính luỹ thừa với số mũ thực).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi.
Đáp án A: Là cấp số cộng với
Đáp án B: Là cấp số cộng với
Đáp án C: Là cấp số cộng với
Đáp án D: Không là cấp số cộng vì
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Một số công thức nguyên hàm sử dụng:
Ta có
Do đó nguyên hàm của hàm số đã cho sẽ có dạng với là một hằng số.
So sánh với các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án A thỏa mãn với
Chọn đáp án A.
Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc giữa hai đường thẳng trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.



Vì là hình chữ nhật nên
Do đó góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và
Ta có:
(vì là hình chữ nhật)
(gt)
hay góc giữa hai đường thẳng và bằng
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.

Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình lôgarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: Với bất phương trình
Điều kiện xác định
Với bất phương trình tương đương
Với bất phương trình tương đương
Lời giải chi tiết:
Điều kiện xác định
(vì cơ số

Kết hợp với điều kiện xác định của hàm số, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
Chọn đáp án B.
Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Đồ thị có đường tiệm cận đứng Loại B, C.
Đồ thị có đường tiệm cận ngang Loại D.
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:

Gọi là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là
Do và cùng thuộc nhóm nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là
Do và cùng thuộc nhóm nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Chọn đáp án A. Đáp án: A

a) Đúng.
Dựa vào hình vẽ ta thấy
b) Sai.
Quả bóng được thả tại thời điểm nên để tìm độ cao quả bóng ta cần đi tìm
Vì hàm số liên tục tại nên

Vậy Do đó, quả bóng được thả từ độ cao 45 m.
c) Sai.
Ta có
Vậy
d) Đúng.
Độ cao của quả bóng sau lần nảy đầu tiên trong khoảng thời gian nên sẽ được mô tả bởi
Khảo sát hàm số trên đoạn

Ta có
Vậy độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được sau lần nảy đầu tiên là 20 m.

a) Đúng. Vì số cách chọn một học sinh tương ứng với việc chọn một phần tử từ tập hợp học sinh. Không gian mẫu: .
b) Sai.
Số học sinh thích ăn cam là nên xác suất để chọn được học sinh thích ăn cam là .
c) Đúng.
Số học sinh thích ăn ít nhất một trong hai loại quả chuối hoặc cam là .
Xác suất cần tìm là .
d) Đúng.
Số học sinh học sinh thích ăn cả hai loại quả chuối và cam là .
Xác suất cần tìm là .

a) Đúng.
Ta có
b) Đúng.
Mặt phẳng có 2 vectơ chỉ phương là

Do đó vectơ cũng là một vectơ pháp tuyến của mp
c) Đúng.
Mặt phẳng (ABC) đi qua và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
d) Sai.
Thay tọa độ điểm vào phương trình mp (ABC) ta thấy nên 4 điểm không đồng phẳng.

Tóm tắt đề:
Môi trường không chất X: chiều cao cây ban đầu tốc độ phát triển cm/ngày.
Môi trường không có chất X: chiều cao cây ban đầu tốc độ phát triển cm/ngày.
Vào thời điểm ban đầu
Chất X có vai trò kích thích cây tăng trưởng thực sự nếu
a) Đúng.
Từ giả thiết: “Biết rằng ở thời điểm ban đầu (tức tốc độ tăng trưởng của cây hoa trong môi trường có chất X gấp 4 lần cây hoa trong môi trường không có chất X” ta có
Suy ra
b) Sai.
Hàm số xác định chiều cao của cây hoa được trồng trong môi trường không có chất X sau ngày là (với
Áp dụng công thức nguyên hàm: ta có
Lại có
Vậy
c) Đúng.
Chất X có vai trò kích thích cây tăng trưởng thực sự nếu
Ta có chiều cao của cây hoa được trồng trong môi trường có chất X sau 15 ngày (tức từ 0 đến ngày thứ 15) là
Chiều cao của cây hoa được trồng trong môi trường không có chất X sau 15 ngày (tức từ 0 đến ngày thứ 15) là
Khi đó
Suy ra Vậy chất X không có vai trò kích thích cây tăng trưởng thực sự.
d) Đúng.
Sau ngày hai cây hoa có chiều cao bằng nhau khi và chỉ khi
(nhân cả hai vế với
(coi tương đương với biến khi đó ta bấm máy tính tìm nghiệm phương trình bậc hai để tìm nghiệm

Vậy sau ngày thì hai cây hoa có chiều cao bằng nhau và bằng

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Gọi là số kWh điện mà hộ gia đình tiêu thụ.
Từ bảng giá điện, ta suy ra hàm số mô tả số tiền phải trả khi tiêu thụ là

Từ hàm số trên, ta thấy
Số tiền tối đa phải trả ở Mức 1 là
Số tiền tối đa phải trả ở Mức 2 là
Vì số tiền hộ gia đình phải trả số tiền điện là 520 000 VND nhỏ hơn mức tối đa phải trả ở mức 2 nên số kWh điện hộ này đã tiêu thụ thuộc vào mức 2

Vậy số kWh điện tiêu thụ của hộ gia đình trong tháng đó là 280 kWh.
Điền đáp án: 280.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là giao điểm của và mặt phẳng
Suy ra
Quan sát hình minh hoạ.

Kẻ
Ta có (vì là lăng trụ đứng nên
Từ (1) và (2) suy ra
Lại có nên suy ra hay là hình chiếu của điểm xuống mặt phẳng
Suy ra
+) Trong tam giác vuông ta có
Ta có
Suy ra
Trong tam giác vuông ta có

+) Ta có
Suy ra
Điền đáp án: 0,73.

Nội dung kiến thức: Chuyên đề học tập toán 11 (Đường đi Hamilton).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Do đoàn học sinh của trường sẽ tham quan một địa điểm nào đó đầu tiên, rồi đi qua tất cả các địa điểm còn lại, mỗi khi đã tham quan địa điểm nào rồi thì sẽ không quay lại đó nữa nhưng phải về địa điểm ban đầu để trở về nên ta sẽ đi tìm các chu trình Hamilton.
Đồ thị có 4 đỉnh, các đỉnh đều có bậc nên đồ thị có chu trình Hamilton.
Đoàn học sinh của trường có thể xuất phát từ một trong 4 địa điểm A, B, C, D.
Giả sử đoàn học sinh của trường xuất phát từ địa điểm A.Để đi qua tất cả địa điểm và quay trở về A, đoàn học sinh có thể đi theo một trong các đường đi:

Nếu xuất phát từ đỉnh khác thì chỉ là phép thay thế bước đi trong sơ đồ trên.
Vậy tổng thời gian tham quan các địa điểm nhỏ nhất là 99 phút.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Giả thiết bài toán:
Mặt sườn núi đi qua các điểm và
Máy bay bay từ điểm đến điểm sau đó đổi hướng bay theo hướng song song với sườn núi và mặt phẳng
Yêu cầu bài toán: Tại vị trí máy bay đạt độ cao 2 kilomet so với mặt đất, tính quãng đường máy bay đã bay được.

Gọi là vị trí máy bay đạt độ cao 2 kilomet so với mặt đất sau khi chuyển hướng bay từ Khi đó quãng đường máy bay đã bay bằng
Ta có
Để tính được quãng đường ta cần xác định tọa độ điểm
Vì đạt độ cao kilomet so với mặt đất (trùng với mặt phẳng nên
Mặt phẳng sườn núi đi qua các điểm và nên có cặp vectơ chỉ phương là Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi là Suy ra là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
Vì để tránh tai nạn tại điểm B, phi công chuyển sang một hướng khác tăng độ cao, song song với sườn núi và mặt phẳng nên sẽ song song với mặt phẳng sườn núi và mặt phẳng
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi là và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình là
Mà nên ta có
Suy ra
Vậy quãng đường máy bay đã bay bằng
Điền đáp án: 6236.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số + Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Giả thiết:
Bể nước hình chóp cụt tứ giác đều: chiều cao bể là 40 cm; cạnh đáy nhỏ là 10 cm; cạnh đáy lớn (miệng bể) là 20 cm.
Một viên bi hình cầu bán kính 4 cm đặt dưới đáy bể.
Ban đầu bể cạn, sau đó nước được đổ vào bể với tốc độ không đổi tức tốc độ tăng thể tích là
Yêu cầu bài toán: Tính tốc độ dâng lên của mực nước trong bể khi viên bi sắt ngập một nửa trong nước (đơn vị cm/s, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Tức tính khi (vì khi viên bi sắt ngập 1 nửa trong nước thì chiều cao của mực nước lúc này bằng bán kính của viên bi và bằng 4 cm).
Khi đó, ta cần tính thể tích của nước trong bể theo chiều cao là Suy ra
Mà nên suy ra
Thể tích nước tại thời điểm giây bằng thể tích hình chóp cụt (có chiều cao trừ đi thể tích của khối chỏm cầu (bị ngập trong nước) có chiều cao là
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích của khối chỏm cầu: với là bán kính và là chiều cao.
(Các em có thể xem video lí thuyết thầy chỉ ra công thức khối chỏm cầu ở dưới nhé!)
Suy ra thể tích chỏm cầu (phần ngập trong nước) là
Tiếp đến ta sẽ tính thể tích hình chóp cụt (nước) bằng 2 cách:
Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh thể tích chóp cụt:
Thể tích chóp cụt có chiều cao là đáy nhỏ là hình vuông cạnh 10 cm có diện tích là đáy lớn là hình vuông cạnh

Minh họa mặt cắt của bể nước, dựng và kí hiệu các điểm như hình vẽ (đoạn thẳng màu cam là cạnh đáy lớn của mặt nước).
Vì mặt nước song song với hai mặt đáy bể nên ta dễ dàng chứng minh được
Suy ra suy ra cạnh của đáy lớn là
Diện tích của đáy lớn là
Vậy thể tích chóp cụt là
Cách 2: Tính thể tích chóp cụt bằng tích phân
Nhắc lại: Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục Ox lần lượt tại . Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với tại điểm cắt theo thiết diện là Khi đó thể tích vật thể là
Quan sát bể nước, ta thấy nước trong bể giới hạn bởi hai mặt phẳng và có thiết diện (được cắt theo mặt cắt ngang) là hình vuông cạnh nên có thể tích là
Lặp lại cách tính như cách 1, ta thu được độ dài cạnh đáy lớn của chóp cụt là với là chiều cao của nước trong bể.
Suy ra thể tích vật thể là
Suy ra thể tích nước có trong bể tại thời điểm là
Suy ra
Suy ra tốc độ dâng lên của mực nước trong bể khi viên bi sắt ngập một nửa trong nước là
Điền đáp án: 0,28.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là biến cố “Hà rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”;
là biến cố “Quỳnh rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.
Vì Hà và Quỳnh sẽ rút thẻ và trả lại nên hai biến cố là độc lập với nhau.
Đầu tiên, ta xét trong một lượt:
Hà thắng nếu rút được số chia hết cho 6, nên xác suất Hà thắng là (trong 25 thẻ, rút trúng 1 trong 4 thẻ mang số 6; 12; 18; 24). Xác suất Hà rút trượt (rút không trúng) là
Quỳnh thắng nếu rút được số chia hết cho 5, nên xác suất Quỳnh thắng là (trong 25 thẻ, rút trúng 1 trong 5 thẻ mang số 5; 10; 15; 20; 25). Xác suất Quỳnh rút trượt là
Xác suất trong một lượt rút không ai thắng là
Xác suất trong một lượt rút Quỳnh thắng là
Tiếp theo, ta xác định xác suất để Quỳnh thắng.
Quỳnh có thể thắng ở vòng 1, vòng 2,..., vòng Do đó để Quỳnh thắng ở một vòng, Hà phải rút trượt (thua) trước đó. Ta xét Quỳnh thắng ở lần lượt các vòng:
Vòng 1: Hà trượt, Quỳnh trúng
Suy ra xác suất Quỳnh thắng là
Vòng 2: Cả hai trượt vòng 1, Hà trượt vòng 2, Quỳnh trúng vòng 2
Suy ra xác suất Quỳnh thắng là
Vòng 3: Cả hai trượt vòng 1, Cả hai trượt vòng 2, Hà trượt vòng 3, Quỳnh trúng vòng 3
Suy ra xác suất Quỳnh thắng là
...
Nhận xét: Xác suất Quỳnh thắng vòng 1, vòng 2, ... vòng theo thứ tự lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với và công bội
Suy ra tổng xác suất Quỳnh thắng bằng với tổng cấp cố nhân lùi vô hạn với và công bội và bằng
Suy ra
Điền đáp án: 2122.
Note: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội với
Công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là với là số hạng đầu tiên và là công bội của cấp số nhân.