Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [312041]: Trong không gian cho mặt phẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Mặt phẳng có một VTPT là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [547586]: Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
65.png
Số học sinh xem ti vi từ phút đến dưới phút là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào bảng trên ta thấy số học sinh thuộc nửa khoảng là 10.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [695047]: Cho hình lăng trụ có thể tích bằng đáy là hình vuông cạnh bằng Chiều cao của khối lăng trụ đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích của một số hình khối: Thể tích lăng trụ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có: với là diện tích đáy và là chiều cao của lăng trụ.

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [695049]: Cho tứ diện đều cạnh Độ dài của vectơ là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Note: Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [695045]: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [50429]: Đạo hàm của hàm số trên khoảng là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đạo hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [215991]: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A, 3.
B, 2.
C, 1.
D, 0.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Gợi ý: Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tính từ trái qua phải đổi dấu từ dương (+) sang âm (-).
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
Vậy hàm số có 1 điểm cực đại.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 8 [312065]: Trong không gian cho tam giác có các điểm , và Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có tọa độ trọng tâm của tam giác là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 9 [528540]: Số cách chọn học sinh từ học sinh trong lớp 12A để phân công vào ba vị trí lớp trưởng, lớp phó và bí thư là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Nhận biết.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 10 [256755]: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng các diện tích thỏa mãn Tích phân bằng
265.PNG
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Lưu ý: Phần diện tích nằm dưới trục hoành mang giá trị âm; phần diện tích nằm trên trục hoành mang giá trị dương.
Ta có
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [693638]: Cho hình chóp tứ giác đều (xem hình minh hoạ bên). Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Ta sẽ chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng dựa vào định lí trên.
Gọi là giao điểm của và Khi đó theo tính chất của hình chóp tứ giác đều, ta có
Lại có (tính chất hai đường chéo của hình vuông).
Mà nên kết hợp với (1), (2) suy ra
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [695046]: Bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng, khi đó bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Thông hiểu.
Theo bài cho ta có: bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có hệ:


Chọn đáp án D. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1060928]: Cho hàm số
a) Gợi ý: Tập giá trị của hàm với là
Ta có tập giá trị của hàm số là
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b)
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Ta có tại và
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có hệ số góc
Suy ra mệnh đề sai.
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 14 [693500]: Trong không gian cho điểm và ba điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục tọa độ Gọi là mặt phẳng đi qua ba điểm
a) Đúng.
Vì lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục toạ độ
Suy ra
b) Sai.
Vậy phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là

c) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
d) Sai.
Ta có
Câu 15 [1095572]: Trong lễ hội thường niên của một địa phương, tốc độ khách vào và tốc độ khách ra lễ hội tại thời điểm lần lượt được xác định bằng hàm số và là số thực). Trong đó và được tính bằng người/giờ, tính bằng giờ kể từ lúc 12 giờ trưa, giờ đóng cửa lễ hội là 22 giờ đêm và khi đóng cửa thì không còn ai có mặt trong lễ hội. Biết tại mọi thời điểm, người đã ra sẽ không vào lại.
a) Sai.
Vì tốc độ khách vào lễ hội tại thời điểm (giờ) (được tính từ lúc 12 giờ trưa) được xác định bằng hàm số và tại mọi thời điểm, người đã ra sẽ không vào lại nên số lượng khách vào lễ hội bằng với là số giờ tính từ thời điểm 12 giờ.
Ta có giờ đóng cửa lễ hội là 22 giờ đêm nên tính từ lúc 12 giờ trưa, lễ hội đã mở cửa được (giờ).
Vậy tổng lượng khách tham dự lễ hội là (người).
b) Đúng.
Tương tự, dựa vào tốc độ khách ra lễ hội tại thời điểm (giờ) là (người/giờ) ta có tổng lượng khách ra lễ hội tại thời điểm giờ (số giờ tính từ 12 giờ) là
Biết tổng tổng lượng khách ra lễ hội tại thời điểm giờ (tức lúc tổng 6500 khách vào ra về hết) là
c) Đúng.
 suy ra
suy ra
Số lượng khách có mặt trong lễ hội tại thời điểm được ước lượng bằng tổng số người vào trừ tổng số người ra tức bằng
(vì ta có tính chất tích phân không phụ thuộc vào biến)

d) Đúng.
Từ phần c) ta có số lượng khách có mặt trong lễ hội tại thời điểm được bằng
Số lượng khách có mặt trong lễ hội khi lớn nhất bằng với trên đoạn
Ta có

(Các em lưu ý không làm tròn ở bước trung gian để kết quả cuối cùng được chính xác nhất nhé!)
Ta có
Suy ra số lượng khách có mặt trong lễ hội khi lớn nhất bằng 1875 người.
Câu 16 [1095573]: Xét một đồ thị đầy đủ có 4 đỉnh, các đỉnh đó được kết nối với nhau thông qua các cạnh và 2 đường chéo (tham khảo hình vẽ). Với 6 cạnh của đồ thị, tung một đồng xu cân đối ngẫu nhiên: nếu mặt ngửa xuất hiện, ta giữ nguyên cạnh đó; nếu mặt sấp xuất hiện, ta loại bỏ cạnh đó. Gọi là biến cố “sau khi tung đồng xu 6 lần, đồ thị vẫn được kết nối” (tức là tồn tại tối thiểu một con đường nối 4 đỉnh với nhau).
a) Sai.
Mỗi cạnh có 2 khả năng: loại bỏ (xuất hiện mặt sấp) hoặc giữ nguyên (xuất hiện mặt ngửa) nên 6 cạnh như thế sẽ có khả năng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
b) Đúng.
Quan sát hình vẽ, ta nhận thấy rằng phải còn tối thiểu 3 cạnh thì đồ thị mới được kết nối. Do đó sau 6 lần tung đồng xu, nếu chỉ còn 1 hoặc 2 cạnh thì đồ thị chắc chắn không kết nối.
c) Đúng.
Trường hợp sau 6 lần tung đồng xu đồ thị còn 3 cạnh: khi đó đồ thị không được kết nối khi chỉ có 3 đỉnh được nối lại với nhau tạo thành 1 tam giác, nên số cách chọn ra 3 đỉnh trong 4 đỉnh là cách.
Vậy sau 6 lần tung đồng xu đồ thị còn 3 cạnh, có 4 trường hợp đồ thị không được kết nối.
d) Sai.
Gọi là biến cố “sau khi tung đồng xu 6 lần, đồ thị không được kết nối”.
Sau 6 lần tung đồng xu, có các trường hợp sau:
Không còn cạnh nào: 1 cách.
Còn 1 cạnh: cách.
Còn 2 cạnh: cách.
Còn 3 cạnh: từ kết quả phần c thì ta được 4 cách.
(còn tối thiểu 4 cạnh thì đồ thị chắc chắn được kết nối)
Suy ra
Suy ra xác suất là
Xác suất xảy ra biến cố bằng
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1093698]: Một bể chứa 360 lít nước bị rò rỉ ở đáy nên nước chảy ra hết sau 20 phút. Lượng nước trong bể càng nhiều thì tốc độ chảy ra ngoài càng lớn. Theo định luật Torricelli, thể tích nước còn lại trong bể sau phút được cho bởi hàm số (đơn vị: lít), với là số thực.

Hỏi sau 15 phút, lượng nước còn lại trong bể bằng bao nhiêu lít?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hàm số bậc hai).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Bể chứa 360 lít nước , bị rò rỉ ở đáy nên nước trong bể chảy ra và nước trong bể sau 20 phút.
- Thể tích nước còn lại trong bể sau t phút:
b) Yêu cầu:
- Lượng nước còn lại trong bể sau 15 phút bằng bao nhiêu lít?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dùng các dữ kiện để bài để tìm ra .
Phần 3. Giải chi tiết
Xét với điều kiện ban đầu là lúc

Sau 20 phút thì bể cạn, thay và vào phương trình

Ta được:


Suy ra phương trình là
Lượng nước còn lại sau 15 phút là (lít)
Điền đáp án: 22,5.
Câu 18 [699671]: Cho chóp có đáy là tam giác vuông cân tại tam giác là tam giác đều cạnh và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Gọi là trung điểm của khi đó
Mặt khác do đó
Ta có: và Do
Dựng khi đó là đoạn vuông góc chung của và
Lại có:
Điền đáp án:
Câu 19 [1095574]: Một hộ gia đình sản xuất mỗi ngày sản xuất được x chiếc túi cói Gọi (tính bằng nghìn đồng) là tổng chi phi để sản xuất x chiếc túi thì được gọi là chi phí biên. Biết rằng và chi phí cố định (chi phí khi không sản xuất chiếc túi nào) là 500 nghìn đồng mỗi ngày. Giả sử gia đình này bán hết túi mỗi ngày sản xuất ra với giá 270 nghìn đồng/chiếc. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Với là số lượng chiếc túi cói bán trong ngày ta có tổng chi phí để sản xuất chiếc túi cói là:

Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 (nghìn đồng) nên ta có
Khi đó, tổng lợi nhuận gia đình này thu được khi bán chiếc chiếu là:
Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Ta có:
Ta tính được
Vậy lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là 1300 (nghìn đồng) khi bán được 10 chiếc chiếu cói.
Điền đáp án: 1300.
Câu 20 [1095576]: Trong một tiết học, cô giáo yêu cầu bạn Đăng gấp một tờ giấy và tìm giá trị nhỏ nhất của nếp gấp với cách gấp như sau: Tờ giấy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng bằng từ một điểm trên cạnh dài gấp tờ giấy lại và thu được miền diện tích được tô đậm như hình vẽ. Gọi là góc trên của nếp gấp (góc như hình).

Bạn Đăng chứng minh được độ dài nếp gấp L (cm) phụ thuộc vào góc theo phương trình với là các số nguyên, Tính
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Công thức lượng giác).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Từ cách gấp giấy, ta có

Kẻ
Trong tam giác vuông ta có

Trong tam giác vuông ta có

(thay

(thay

Suy ra
Điền đáp án: 1010.
Câu 21 [1105347]: Trong không gian toạ độ đơn vị mỗi trục là km, mặt đất là mặt phẳng Một máy bay đang tiếp cận hạ cánh từ điểm Biên giới của hai quốc gia được xác định bởi mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt đất. Kể từ sau 7 phút nó bay đến biên giới hai quốc gia và 1 phút sau đó nó hạ cánh tại điểm trên đường băng Biết phương trình đường thẳng là Giả sử vận tốc của máy bay không đổi trong suốt quá trình. Tìm vận tốc máy bay (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của km/h).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là điểm máy bay đi qua biên giới quốc gia. Minh họa bài toán như hình vẽ.
Ta có vận tốc bay từ đến (trong 7 phút = giờ) bằng
Vận tốc bay từ đến (trong 1 phút = giờ) bằng
Vì vận tốc máy bay không đổi trong suốt quá trình nên vận tốc ta cần tìm có thể được tính bằng hoặc Do đó, ta cần đi xác định tọa độ điểm hoặc (tương ứng).
Ta có phương trình đường bay nên
Gọi là mặt phẳng biên giới. Biết đi qua hai điểm và vuông góc với mặt đất (tức mặt phẳng nên ta có cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là (vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là nên ta có
Suy ra
Ta có vận tốc máy bay không đổi trong suốt quá trình nên ta có
Thay vào phương trình (1) ta được
Suy ra
Vậy vận tốc của máy bay là
Điền đáp án: 297.
Câu 22 [1006975]: Ba người vào thang máy trống ở tầng một của một tòa nhà có 10 tầng. Mỗi người nhấn nút đến tầng mong muốn (trừ khi một trong những người khác đã nhấn nút đó). Xác suất 3 người đó muốn đến tầng 2 đến tầng 10 là như nhau và cả 3 người không bấm cùng một tầng. Xác suất ba người đó bấm 3 tầng khác nhau là bao nhiêu, biết rằng có ít nhất một người lên tầng 5 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 0,78.
Cách 1: Sơ đồ cây
Gọi A là biến cố “3 người đó bấm 3 tầng khác nhau” và B là biến cố “ít nhất có 1 người bấm tầng 5”
Số cách thực hiện của biến cố A là (cách)
Số cách thực hiện của biến cố (3 người bấm 2 tầng khác nhau) là (cách)
Trong biến cố A, số cách chọn để không có tầng 5 là
Trong biến cố số cách chọn để không có tầng 5 là
Ta có sơ đồ cây sau:

Xác suất cần tìm là
Cách 2: Gọi A là biến cố “3 người đó bấm 3 tầng khác nhau” và B là biến cố “ít nhất có 1 người bấm tầng 5”
Áp dụng công thức:
Giải nghĩa : là 3 người bấm 3 tầng khác nhau và có ít nhất 1 tầng 5
có ít nhất 1 người lên tầng 5
TH1 : 1 người lên tầng 5, 2 người tầng khác
+) 1 người lên tầng 5, 2 người kia cùng tầng : (cách)
+) 1 người lên tầng 5, 2 người kia khác tầng : (cách) (1)
TH2 : 2 người lên tầng 5, 1 người tầng khác :
Suy ra số cách chọn để có ít nhất 1 người lên tầng 5 là cách
Xét (1) chính là biến cố AB
Suy ra 3 người bấm 3 tầng khác nhau và có ít nhất 1 tầng 5 có tổng 168 cách
Vậy