Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [547585]: Điểm kiểm tra giữa học kì I của lớp 11T được thống kê theo bảng sau:

Độ dài các nhóm của mẫu số liệu là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Nhận biết.
Gọi là số ở đầu mút trái, là số ở đầu mút phải của các nhóm của mẫu số liệu.
Ta có: là độ dài của nhóm.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [693325]: bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giới hạn của dãy số).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [685467]: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là

A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có tâm đối xứng của đồ thị là giao của các đường tiệm cận của hàm số.
Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là
Suy ra tâm đối xứng là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 4 [699673]: Trong không gian cho hai vectơ Độ dài của vectơ là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: có độ dài là
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [520556]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình logarit).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: được viết tắt là
Với bất phương trình
Điều kiện xác định
Với bất phương trình tương đương
Với bất phương trình tương đương

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [522583]: Lớp có học sinh nam và học sinh nữ. Có bao nhiêu các chọn một đôi song ca gồm nam và nữ?
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Nhận biết.
Chọn nam từ học sinh nam có: (cách).
Chọn nữ từ học sinh nữ có: (cách).
Vậy số cách chọn một đôi song ca gồm nam và nữ là: (cách).
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [693327]: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đồng biến khi
Cách 1: Kẻ trục xét dấu
Ta có:
Ta có trục xét dấu của như sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Cách 2:

(lấy căn bậc 3 hai vế)
(nhân cả hai vế với
Vậy hàm số đồng biến khi hay đồng biến trên khoảng
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 8 [693329]: Tập xác định của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số mũ, hàm số logarit).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hàm số mũ (với và có tập xác định là
Hàm số logarit (với và Điều kiện xác định: Biểu thức dưới dấu logarit phải dương hay
ĐKXĐ:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [699674]: bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [693330]: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Phát biểu sau đây là sai?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hai mặt phẳng vuông góc).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định lí: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ta có:
do có mà
do có mà
do có (do có và ).
và không vuông góc với nhau.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [693332]: Cho tứ diện có là trọng tâm của tam giác Đặt Phát biểu sau đây là đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.

Ta có:


Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [732027]: Cho hàm số là một hàm số liên tục trên . Biết là một nguyên hàm của trên đoạn thỏa mãn mãn và . Khi đó bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có: .
. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1068042]: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị của đạo hàm trên là một parabol đi qua và cắt trục hoành tại như hình vẽ.
a) là giao điểm của hàm số với trục hoành. Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm cắt trục hoành tại hoặc
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Nguyên tắc kết luận tính đơn điệu của hàm khi biết đồ thị của hàm
Trong khoảng nào mà phần đồ thị nằm dưới trục hoành thì suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng đó;
Trong khoảng nào mà phần đồ thị nằm trên trục hoành thì suy ra hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Từ hình vẽ, ta thấy trong khoảng đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành nên hay hàm số nghịch biến trên khoảng
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Gợi ý: Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm đơn của phương trình
(Trên đồ thị hàm số các nghiệm đơn của phương trình là các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành (trừ các điểm tiếp xúc))
Từ kết quả phần a) ta thu được hai nghiệm của phương trình và hai nghiệm này đều là nghiệm đơn. Do đó hàm số có hai điểm cực trị.
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Xét hàm số trên khoảng Từ kết quả phần b) ta thu được hàm số nghịch biến trên khoảng này. Mà nên suy ra
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 14 [1106514]: Một sự kiện diễn ra trong một rạp hát có hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 15 ghế, hàng thứ 2 có 18 ghế, hàng thứ ba có 21 ghế,…cứ tiếp tục theo quy luật như vậy thì hàng cuối cùng có 72 ghế. Trong một buổi biểu diễn ca nhạc của ca sĩ Sơn Tùng MTP, rạp hát đó đã bán được vừa hết số vé tương ứng với số ghế trong rạp. Biết rằng giá bán vé mỗi ghế ở ba hàng đầu là 800 nghìn đồng, giá vé mỗi ghế ở các hàng còn lại là 500 nghìn đồng và mỗi ghế chỉ một người ngồi.
a) Đúng.
Từ quy luật hàng ghế đầu 15 ghế, các hàng sau đó hơn hàng liền trước đó 3 ghế, ta nhận thấy các hàng ghế theo thứ tự (từ hàng 1 đến hàng lập thành một cấp số cộng với và công sai
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có
b) Sai.
Vì hàng ghế cuối cùng (tức hàng có 72 ghế nên
c) Đúng.
Tổng số ghế trong rạp hát trên bằng tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng với và công sai Áp dụng công thức tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng là ta suy ra tổng số ghế trong rạp là (ghế).
d) Đúng.
Tổng số ghế ở 3 hàng đầu là
Suy ra tổng số ghế ở các hàng còn lại bằng
Từ giả thiết: “rạp hát đó đã bán được vừa hết số vé tương ứng với số ghế trong rạp ... giá bán vé mỗi ghế ở ba hàng đầu là 800 nghìn đồng, giá vé mỗi ghế ở các hàng còn lại là 500 nghìn đồng” ta suy ra số tiền thu được từ việc bán vé là (nghìn đồng).
Vậy số tiền thu được từ việc bán vé của sự kiện trên bằng triệu đồng.
Câu 15 [1097353]: Trong hệ toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, một sân tennis được mô tả theo hình, trục dọc theo chiều rộng phía bên trái, trục dọc theo chiều dài phía sau, trục hướng lên, chiều dài sân là 24 mét và chiều rộng là 10 mét, lưới được đặt chính giữa sân và mép trên lưới cao 92 cm. Một vận động viên đang tập phát bóng, người này đứng ở đường biên cuối sân, nhảy lên và phát bóng, quả bóng đi từ điểm bay thẳng đến điểm Coi quả bóng tenis là một chất điểm và quả bóng bay theo các quỹ đạo thẳng.
a) Sai.
Quan sát hình vẽ, ta thấy mặt phẳng lưới song song với mặt phẳng nên mặt phẳng lưới có dạng
Vì lưới được đặt chính giữa sân (sân dài 24 mét) nên mặt phẳng lưới đi qua điểm nên mặt phẳng lưới là
b) Sai.
Ta có
Chọn làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Khi đó đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
c) Đúng.
Gọi là điểm bóng giao với mặt phẳng lưới. Lưu ý: đơn vị mỗi trục là mét.
Khi đó khoảng cách giữa bóng và mép trên của lưới bằng hiệu giữa cao độ của điểm và mép trên của lưới (92 cm). Do đó để xác định được độ cao của bóng so với mặt lưới, ta cần xác định được cao độ của quả bóng.
Vì nên
nên ta có
Suy ra quả bóng khi bay qua lưới cao
Vậy khoảng cách giữa bóng và mép trên của lưới bằng
d) Sai.
Phương pháp giải quyết bài toán phản xạ: Lấy đối xứng: Lấy điểm là điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Khi đó ba điểm thẳng hàng.

Điểm đối xứng với qua mặt phẳng nên
Ta có Mà và là hai vectơ cùng phương nên ta có
Câu 16 [1097447]: Trong mặt phẳng toạ độ, trục được coi là bờ sông, đơn vị trên mỗi trục được tính bằng 10 mét. Một khu chuồng thú cạnh bờ hồ được giới hạn bởi hàng rào có phương trình cánh cổng vào chuồng thú và bờ sông. Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn
a) Đúng.
Nhắc lại khái niệm tích phân: Cho hàm số liên tục trên đoạn Nếu là một nguyên hàm của trên đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số Kí hiệu
Vì khu chuồng thú cạnh bờ hồ được giới hạn bởi hàng rào có phương trình cánh cổng vào chuồng thú và bờ sông (trục hoành) nên diện tích của khu chuồng đã rào là với là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn (nhân thêm 100 vì đơn vị trên mỗi trục được tính bằng 10 mét).
b) Đúng.
Ta có là một nguyên hàm của hàm số nên theo định nghĩa nguyên hàm, ta có

(chia hai vế cho


Đồng nhất hệ số (vì hai vế của phương trình bằng nhau với mọi ta được
c) Đúng.
Khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc hàng rào đến bờ sông chính bằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Ta có

Ta có
Suy ra
Vì đơn vị trên mỗi trục được tính bằng 10 mét nên khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc hàng rào đến bờ sông là
d) Đúng.
Từ kết quả phần a), ta có diện tích khu chuồng được rào là
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1106515]: Bác Việt có 12 ha đất canh tác để trồng ba loại cây: ngô, khoai tây và đậu tương. Chi phí trồng 1 ha ngô là 4 triệu đồng, 1 ha khoai tây là 3 triệu đồng và 1 ha đậu tương là 4,5 triệu đồng. Do nhu cầu thị trường, bác đã trồng khoai tây trên phần diện tích gấp đôi diện tích trồng ngô. Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng. Hỏi diện tích trồng ngô là bao nhiêu ha?
Nội dung kiến thức: Chuyên đề toán lớp 10 (Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Gọi diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là (ha).
Theo đề bài, ta có:
- Có tổng cộng 12 ha đất canh tác, suy ra (1).
- Diện tích trồng khoai tây gấp đôi diện tích trồng ngô, suy ra hay (2).
- Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng, suy ra (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
Giải hệ này ta được
Vậy diện tích trồng ngô là 2,5 ha.
Điền đáp án: 2,5.
Câu 18 [1063598]: Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của lên trùng với trọng tâm của và Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bao nhiêu (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách: khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Gọi lần lượt là trung điểm của . Dựng hình chữ nhật . Ta có .
Do , mà

Ta lại có . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên khi đó .
Mặt khác nên

Xét vuông tại ta có .

Điền đáp án: 0,85.
Câu 19 [1097354]: Một nhà động vật học nhận thấy rằng sự tăng trưởng chiều dài của một con cá sấu trong 12 tháng được mô hình hóa bằng hàm số trong đó tính bằng tháng, tính bằng mét, Ban đầu con cá sấu dài và sau 10 tháng chiều dài của nó đo được là Một con cá sấu thứ 2 được quan sát cùng thời điểm và sự tăng trưởng về chiều dài của nó được mô hình hóa bởi hàm số Sự chênh lệch về chiều dài của hai con cá sấu nhỏ nhất bằng bao nhiêu cm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Yêu cầu bài toán: tương đương với tìm trên đoạn
Đầu tiên, ta đi xác định hệ số của hàm
Từ dữ kiện: “Ban đầu con cá sấu dài 1,8 m và sau 10 tháng chiều dài của nó đo được là 2,6 m” ta có hệ phương trình
Suy ra
Suy ra sự chênh lệch về chiều dài của hai con cá sấu bằng
Để tìm được trên đoạn ta xét hàm số trên đoạn
Đặt với
Suy ra là hàm bậc hai có nên có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra
Vậy sự chênh lệch về chiều dài của hai con cá sấu nhỏ nhất bằng 14 cm.
Lưu ý: Đề bài yêu cầu làm tròn kết quả đến hàng phần mười nên khi kết quả là số nguyên thì ta vẫn phải ghi cả phần thập phân (,0).
Điền đáp án: 14,0.
Câu 20 [1040915]: Có 24 con voi trong một khu bảo tồn động vật hoang dã. Người quản lý gắn thẻ sáu con voi bằng máy phát vô tuyến nhỏ và trả chúng về khu bảo tồn. Tháng tiếp theo, một người quản lý khác chọn ngẫu nhiên một con voi từ khu bảo tồn để gắn thẻ và lại trả về, nhưng anh ta không rõ là con voi này được gắn thẻ trước đó chưa. Giả sử không có con voi nào rời khỏi hoặc vào khu bảo tồn, hoặc chết hoặc sinh con, giữa thời điểm gắn thẻ và lựa chọn. Chọn ngẫu nhiên hai con voi trong khu bảo tồn, biết rằng hai con voi lấy ra có con voi được gắn thẻ, tính xác suất để trong khu bảo tồn có đúng sáu con voi được gắn thẻ (làm tròn kết quả đến hàng phầntrăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là biến cố: “Có đúng 6 con voi được gắn thẻ”
là biến cố: “Có 7 con voi được gắn thẻ ”
là biến cố: “Hai con voi lấy ra có ít nhất 1 con voi được gắn thẻ”
Ban đầu gắn thẻ cho 6 con trong 24 con voi nên
Sau 1 tháng chọn ngẫu nhiên 1 con voi từ khu bảo tồn để gắn thẻ nên
Ta có:

Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,23.
Câu 21 [1042368]: Bộ điều khiển bướm ga điện tử của một mô hình tàu hỏa được lập trình sao cho tốc độ tàu hỏa thay đổi theo vị trí như thể hiện trong sơ đồ. Mô hình đường ray là một hình vuông ở chính giữa và 2 nửa đường tròn ở 2 cạnh đối diện (như hình vẽ). Tốc độ trung bình của con tàu khi đi hết 1 vòng bằng bao nhiêu m/s (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đính chính: Nhóm tác giả xin đính chính sửa câu hỏi ở đề thành "Tốc độ trung bình của con tàu khi đi hết 1 vòng bằng bao nhiêu m/s (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?". Các em sửa lại trong sách như trên web nhé! Lỗi này sẽ được sửa ở lần in tiếp theo. Cảm ơn các em.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Bộ điều khiển bướm ga điện tử của một mô hình tàu hỏa được lập trình sao cho tốc độ tàu hỏa thay đổi theo vị trí như thể hiện trong sơ đồ.
- Mô hình đường ray là một hình vuông ở chính giữa và 2 nửa đường tròn ở 2 cạnh đối diện (như hình vẽ).
b) Yêu cầu:
- Vận tốc trung bình của con tàu khi đi hết 1 vòng bằng bao nhiêu
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Thời gian để đi hết quãng đường với vận tốc là
- Tính thời gian di chuyển trên từng đoạn đường theo sơ đồ.
Phần 3. Giải chi tiết

Ta có:
Thời gian đi hết đoạn là giây.
Với ta có:
Thời gian tàu hỏa đi hết cung tròn BC là
(giây)
Thời gian tàu đi hết đường ray là (giây)
Độ dài đường ray là
Vận tốc trung bình của con tàu khi đi hết 1 vòng bằng
Điền đáp án: 0,2.
Câu 22 [1097355]: Một trò chơi ở công viên giải trí, gồm cột thẳng đứng cố định được nối bằng tay đòn (thanh có thể di động). Trong không gian với hệ toạ độ cho trước, đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất là mặt phẳng trục hướng lên. Thanh đòn sẽ quay nhanh để tạo cảm giác mạnh cho người chơi. Biết rằng có hai thời điểm khác nhau mà đầu đi qua các điểm có toạ độ lần lượt là và đồng thời tại hai thời điểm đó, thanh đòn đều tạo với mặt đất một góc Nếu điểm có hoành độ dương, hãy tìm tung độ của (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Giả sử
Ta có
Biết góc giữa và mặt phẳng (có vectơ pháp tuyến là (mặt đất) đều bằng
Suy ra
Mà độ dài của thanh đòn là không đổi nên
Khi đó
Thay vào hệ phương trình ta được
Suy ra
Lại có
(trừ vế với vế của phương trình (2) cho phương trình (1) và giữ lại phương trình (1))


Suy ra tung độ của là
Điền đáp án: 6,37.