Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [851225]: Cho cấp số cộng với số hạng đầu công sai Số hạng tổng quát được tính theo công thức nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Phương pháp:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Cách giải:
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [524004]: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
9.de12tiengiade.png
Hàm số đã cho có bao nhiêu cực trị?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số đã cho có cực trị.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [809817]: Khối lập phương cạnh bằng có thể tích là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Thể tích của khối lập phương cạnh là
Thể tích của khối lập phương:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [931506]: Trong không gian , cho đường thẳng . Phương trình tham số của đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Nếu đường thẳng có phương trình chính tắc thì đi qua điểm và nhận là vecto chỉ phương, suy ra có phương trình tham số là . Vậy đường thẳng có phương trình chính tắc thì có phương trình tham số là .
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 5 [809839]: Cho hàm số Họ các nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Công thức nguyên hàm sử dụng:

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [809840]: Với là số thực dương tùy ý, bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Lôgarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Công thức sử dụng:
Lưu ý: là viết tắt của
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 7 [809828]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình lôgarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Điều kiện xác định:
Ta có
(dấu của bất phương trình đảo chiều vì lôgarit có cơ số

Kết hợp với điều kiện ta suy ra
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [809833]: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [695033]: Bảng dưới đây thống kê chiều cao của học sinh nữ lớp 12.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục) là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: Số trung bình).
Mức độ: Thông hiểu.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [809823]: Cho và Tính
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 11 [809810]: Trong không gian mặt cầu có bán kính bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [597379]: Cho hình lập phương Khẳng định nào sau đây là sai?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.





trong đó là điểm đối xứng với qua .
Chọn đáp án D. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [931829]: Cho hàm số .
a) Đúng.
Ta có .
b) Đúng.
Ta có .
c) Đúng.
Ta có . Khi đó với thì .
d) Sai.
Ta có . Khi đó với thì .
Với ; ; .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là .
Câu 14 [1097446]: Khảo sát sở thích bóng đá và bóng chuyền của 45 học sinh lớp 10A thì thấy có 30 học sinh thích bóng đá, có 18 học sinh thích bóng chuyền và có 35 bạn thích ít nhất một trong hai môn này.
a) Đúng. Lớp có 45 bạn trong đó có 35 bạn thích ít nhất một môn thể thao.
Suy ra số bạn trong lớp không thích môn thể thao nào là: (bạn).
b) Đúng.
Gọi là tập hợp số học sinh trong lớp thích bóng đá, là tập hợp số học sinh trong lớp thích môn bóng chuyền và là tập hợp số học sinh thích cả hai môn trên.
là tập hợp số học sinh thích ít nhất một trong hai môn.
Theo đề bài ta có:
Ta có biểu đồ Ven như hình dưới.

Ta có:
Suy ra:
Suy ra số bạn thích cả hai môn là 13 bạn.
c) Sai. Số bạn trong lớp thích đúng một môn thể thao là:
Ta có: (bạn).
d) Đúng.
Số bạn trong lớp thích bóng đá và không thích bóng chuyền là: (bạn).
Xác suất
Câu 15 [1020767]: Một hồ nước có diện tích Thí nghiệm cho thấy bèo phủ mặt hồ trên theo quy luật: diện tích bèo tăng thêm tỉ lệ thuận với diện tích đã có, tức là nếu là diện tích bèo đã phủ sau ngày thì Biết rằng vào thời điểm ban đầu, diện tích bèo phủ và sau 5 ngày thì bèo đã phủ được
a) Đúng.
Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp, ta có
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta suy ra là một nguyên hàm của
b) Đúng.
Theo đề bài, ta có:
Lấy tích phân hai vế theo ta được

Vì nên

Từ giả thiết: “Biết rằng vào thời điểm ban đầu, diện tích bèo phủ ” ta có
Suy ra
c) Sai.
Sử dụng điều kiện sau 5 ngày: Tại , .
.
d) Sai.
Sau 9 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị), bèo đã phủ kín mặt hồ.
"Phủ kín mặt hồ" có nghĩa là diện tích bèo đạt 245 .
Ta cần tìm sao cho .
.
.
Lấy logarit tự nhiên hai vế:
ngày.
Làm tròn đến hàng đơn vị, ngày.
Câu 16 [1097448]: Trong không gian với hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục toạ độ tính bằng mét, mặt phẳng trùng với mặt đất, một sườn dốc được mô hình hoá bởi mặt phẳng Tại chân sườn dốc có một cây thông mọc thẳng đứng (vuông góc với mặt đất) với đỉnh của cây là điểm có tọa độ là Để cố định cây thông, một sợi dây bảo vệ được buộc tại điểm trên cây thông ở độ cao 17 mét so với mặt đất và được kéo vuông góc với mặt sườn tại điểm
a) Đúng.
Vì cây thông mọc thẳng đứng (vuông góc với mặt đất) và đỉnh có tọa độ là nên chiều cao của cây thông bằng cao độ của điểm và bằng 26 mét (vì đơn vị trên mỗi trục toạ độ tính bằng mét).
b) Đúng.
Gợi ý:
Vì sợi dây bảo vệ được kéo vuông góc với mặt sườn nên Do đó nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là làm vectơ chỉ phương.
Lại có điểm nằm trên cây thông nên sẽ có chung hoành độ và tung độ với điểm nên Và vì điểm cách mặt đất 17 mét nên
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
Vì nên
Mà nên ta có
Suy ra
c) Đúng.
Giả sử cây bị gãy tại điểm là và ta có điểm gốc của cây là (vì cây vuông góc với mặt phẳng nên các điểm thuộc cây sẽ có dạng
Khi đó tổng chiều dài cây là
(vì nên hai vế đều dương nên ta bình phương hai vế)

Vậy cây thông gãy ở vị trí và độ cao 14 mét.
d) Đúng.
Khi bị gãy thì cành cây bị gãy là đoạn thẳng Vì vị trí buộc dây cao hơn vị trí bị gãy nên sau khi bị gãy thì

Ta có
Suy ra (vì 3 điểm thẳng hàng và nằm giữa).
Với
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1097449]: Cho một hình quạt tròn là một phần của hình tròn có bán kính và có tâm biết rằng Từ điểm ta dựng vuông góc với cạnh tại vẽ cung tròn tâm bán kính cắt tại tiếp tục dựng vuông góc với cạnh tại rồi vẽ cung tròn tâm bán kính cắt tại Tiếp tục như thế có các cung tròn

Tính tổng vô hạn độ dài các cung tròn trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số nhân và Giới hạn của dãy số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Nhắc lại: Công thức tính độ dài cung tròn: với là bán kính đường tròn, (rad) là số đo của cung.
Từ cách tạo hình và hình vẽ minh họa, ta có số đo của các cung tròn lần lượt là

mà (vì
Suy ra
mà
Suy ra
…
Ta thấy
Do đó độ dài các cung tròn theo thứ tự lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu tiên và công bội
Khi đó tổng vô hạn độ dài các cung tròn trên là
Note: Tổng của một cấp số nhân là Nếu thì khi thì nên tổng của ta trở thành Do đó ta có công thức tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
Điền đáp án: 7914.
Câu 18 [1021528]: Phương thức tính lãi kép là việc tính tiền lãi bằng cách lấy số tiền lãi của kì trước nhập vào vốn để tính lãi cho kì tiếp theo.
Tỉ lệ lạm phát được tính bằng tỉ lệ phần trăm sự thay đổi giá của hàng hóa, dịch vụ trong một khoảng thời gian (thường là một năm). Nếu tỉ lệ lạm phát của năm sau so với năm trước là thì đồng của năm trước có giá trị tương đương với đồng của năm sau.
Một người đầu tư bằng cách góp vốn tỉ đồng vào công ty X trong năm với lãi suất không đổi /năm theo phương thức tính lãi kép. Giả sử trong năm đó, tỉ lệ lạm phát mỗi năm lần lượt là và Gọi (triệu đồng) là số tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau năm đầu tư. Gọi (triệu đồng) là giá trị tương đương của số tiền vốn tỉ đồng sau năm có tính đến yếu tố lạm phát. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Luỹ thừa với số mũ thực).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Số tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau năm đầu tư là:
(triệu đồng).
Gái trị tương đương của 1 tỉ đồng sau năm thứ nhất là: (triệu đồng).
Giá trị tương đương của 1 tỉ đồng sau năm hai năm là: (triệu đồng).
Ta có (triệu đồng).
Điền đáp án: 85,8.
Câu 19 [1097450]: Cần chế tạo các lon nước hình trụ kín có thể tích Việc cắt tấm kim loại để làm mặt bên của lon sẽ không gây lãng phí, nhưng mỗi mặt đáy phải được cắt từ một miếng kim loại hình vuông và phần thừa sẽ được loại bỏ. Hãy tìm chiều cao của lon nước sao cho chi ít tốn nguyên liệu nhất (làm tròn đến hàng phần trăm của cm).

Đính chính: Để tránh bị hiểu sai về bài toán, các em sửa đề "hai mặt đáy" thành "mỗi mặt đáy" như trên web.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số: Ứng dụng của đạo hàm giải quyết bài toán tối ưu).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Giả sử lon nước có chiều cao là và bán kính đáy là
Ta có thể tích lon nước là
Diện tích xung quanh của lon nước là
Vì hai đáy được chế tạo từ hai miếng kim loại hình vuông (có cạnh nên diện tích hai miếng kim loại hình vuông làm đáy lon là
Suy ra tổng diện tích miếng kim loại cần dùng để chế tạo 1 lon nước là
Thay vào ta được
Để ít tốn nguyên liệu nhất thì do đó ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Ta có
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là hay ít tốn nguyên liệu nhất khi
Suy ra
Điền đáp án: 8,97.
Câu 20 [695650]: Cho hai tam giác và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và Với giá trị nào của thì mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hai mặt phẳng vuông góc).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Gọi lần lượt là trung điểm của
Xét cân tại có:
Xét cân tại có:
Mà


Xét cận tại có:
Xét cận tại có:
Mà
Để mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thì

Điền đáp án: 0,6.
Câu 21 [1097451]: Để phục vụ cho Thế vận hội Olympic, một ngọn đuốc kim loại lớn đã được chế tạo. Ngọn đuốc phải đạt các yêu cầu sau: chiều cao bề rộng ở đỉnh là và ở đáy là Đường cong biên dạng của ngọn đuốc đối xứng được mô tả bằng một hàm số có dạng đường giới hạn bên trong của ngọn đuốc là tiếp tuyến của đồ thị kẻ từ điểm (đơn vị trên các trục toạ độ tính bằng mét). Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng trục trục Ngọn đuốc được chế tạo khi quay hình quanh trục tính thể tích của ngọn đuốc theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Note: Vì ngọn đuốc là khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục nên khi dùng tích phân để tính thể tích, các phương trình hàm số và đường thẳng đều phải được biểu diễn theo biến

Hình phẳng là phần được tô màu hồng. Để tính toán thể tích, ta chia ngọn đuốc thành hai phần như sau:
- Một là khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục tung và các đường thẳng
- Hai là khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và các đường thẳng (với là tung độ của tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Suy ra thể tích của ngọn đuốc là
Bước 1: Viết phương trình hàm số và đường thẳng (phần bên phải trục tung và biểu diễn theo
Từ giả thiết, ta thấy đồ thị hàm số đi qua hai điểm và Ta có hệ phương trình
Suy ra
Ta có
Giả sử đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ Phương trình đường thẳng là
Vì nên ta có (vì ta lấy giá trị
Suy ra tiếp điểm có tung độ là
Suy ra đường thẳng là
Bước 2: Biểu diễn hàm số và đường thẳng (phần bên phải trục tung và biểu diễn theo
Đầu tiên là
Tiếp đến là đường thẳng
Khi đó thể tích của ngọn đuốc là
Điền đáp án: 18,1.
Câu 22 [1104133]: Túi A chứa 6 lá bài ghi các số tự nhiên từ 1 đến 6. Túi B và C mỗi túi chứa 3 lá bài ghi các số tự nhiên từ 1 đến 3.
• M (người thứ nhất) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi A.
• N (người thứ hai) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi B.
• P (người thứ ba) rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ túi C.
Biết rằng số trên lá bài của M lớn hơn số trên lá bài của N, khi đó xác suất để số trên lá bài của M lớn hơn tổng số trên lá bài của N và P là (trong đó và phân số tối giản). Tính
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi lần lượt là số trên lá bài của M, N và P.
Khi đó
Gọi là biến cố: “Số trên lá bài của M lớn hơn số trên lá bài của N” (tức là
Gọi là biến cố: “Số trên lá bài của M lớn hơn tổng số trên lá bài của N và P” (tức là
Suy ra yêu cầu bài toán: (công thức xác suất có điều kiện).
Bước 1: Tính ta liệt kê các trường hợp
Các cặp thỏa mãn là • Nếu (5 trường hợp) • Nếu (4 trường hợp) • Nếu (3 trường hợp)
Tổng số cặp thỏa mãn là
Vì có thể là bất kỳ số nào trong nên số cách trọn thoả mãn là
Bước 2: Tính tìm số cách chọn sao cho và
Lưu ý rằng nếu thì chắc chắn (vì nên ta chỉ cần tìm các bộ thỏa mãn

Vậy suy ra xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 163.