Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1062499]: Trong không gian với hệ tọa độ cho vectơ Tọa độ của vectơ là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Do nên tọa độ vectơ
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [185179]: Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
106.PNG
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
1.Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số tìm giá trị cực đại.
2.Cách giải:
Dựa vào đồ thị, ta có:
Hàm số có giá trị cực đại tại
3. Kết luận: Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [1020754]: Cho hàm số liên tục trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng có diện tích là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng có diện tích là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 4 [1020755]: Trong không gian với hệ toạ độ đường thẳng đi qua điểm có một vectơ chỉ phương là có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm có một vectơ chỉ phương là có phương trình là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [1050814]: Cho hình chóp Gọi và lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng và mặt phẳng song song).
Mức độ: Thông hiểu.
Vì lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác Do đó mà nên suy ra
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [1020757]: Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nguyên hàm của hàm số là . Đáp án: B
Câu 7 [1020758]: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Tọa độ tâm và bán kính
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 8 [1020759]: Cho cấp số cộng có và Tổng của 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là
A, 9.
B, 7.
C, 8.
D, 12.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 9 [594288]: Trong khai triển biểu thức thành đa thức, tìm số hạng chứa
A,

.

B,

.

C,

.

D,

.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Nhị thức Newton).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có có số hạng tổng quát
Số hạng chứa ứng với

Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [383011]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây
taaaa14.png
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Các phương trình ta xét đều có dạng
Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho 2 cực trị và
Xét các đáp án A, B, C, D suy ra loại B, C.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số có tiệm cận đứng
Suy ra loại đáp án A.
Vậy đáp án đúng là D.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 11 [1020761]: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, Tính thể tích khối chóp
A,
B, .
C, .
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích: Thể tích khối chóp).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 12 [1020762]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình mũ).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [858703]: Thống kê nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại một thành phố từ 2004 đến hết 2023 (20 năm) được kết quả sau:
a) Đúng.
Khoảng biến thiên của bảng số liệu ghép nhóm trên là
b) Đúng.
Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là
Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên là
c) Sai.
Phương sai của mẫu số liệu này là
d) Đúng.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này là
Câu 14 [1097894]: Cho hàm số và là hai nguyên hàm của hàm số trên thoả mãn và
a) Đúng.
Ta có với là hằng số.
b) Sai.
Vì là nguyên hàm của hàm số nên
Mà nên ta có
Suy ra
Vậy
c) Đúng.
Làm tương tự như phần c, ta để tìm
Ta có Mà nên suy ra
Suy ra
Vậy
d) Đúng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng bằng (đvdt)
Câu 15 [1042275]: Một ngọn đèn chiếu sáng từ đỉnh của một cột đèn cao 40 m. Một vật được thả rơi tự do từ cùng độ cao, cách đèn 10m theo phương ngang (tham khảo như hình vẽ). Biết gia tốc trọng trường bằng m/s, tại thời điểm thả rơi vật có vận tốc bằng 0. Gọi là độ cao của vật tại thời điểm giây.
a) Đúng.
Ta có:
Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian là

b) Sai.
Ta có:

c) Sai.

Theo định lý Talet ta có:


d) Đúng.


Tại thời điểm chạm đất thì

Tại thời điểm vật chạm đất, bóng của vật hướng về phía chân đèn với tốc độ bằng

Câu 16 [1097895]: Trong hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng kilomet, mặt đất trùng với mặt phẳng Một khí cầu cất cánh tại sân bay bay thẳng từ điểm và ngay sau đó được định vị tại Cùng lúc đó một trực thăng xuất phát từ căn cứ được đặt tại điểm bay thẳng theo hướng đến đỉnh núi Mặt trước của một bức tường sương mù được giới hạn bởi mặt phẳng đi qua 3 điểm và Trên đường bay của khinh khí cầu và trực thăng, có một điểm giao nhau gọi là điểm
a) Đúng.
Mặt phẳng sương mù đi qua 3 điểm và nên có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là
b) Sai.
Khinh khí cầu sẽ chạm với bức tường sương mù tại điểm giao giữa đường thẳng và mặt phẳng
Khinh khí cầu bay thẳng từ đến Nên đường bay của khí cầu là đường thẳng
Ta có Khi đó, ta chọn là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra phương trình đường thẳng là
suy ra Mà nên ta có
Suy ra
c) Sai.
Vì là điểm giao nhau của khí cầu và trực thăng nên
Vì nên
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng là Chọn làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra phương trình đường thẳng là
Vì nên ta có
Vậy điểm có hoành độ bằng 8.
d) Sai.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có
Note: Mặt phẳng cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm Khi đó phương trình của mặt phẳng là (phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1063593]: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật tâm tam giác vuông tại Hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng trùng với trung điểm của Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Cách 1:

Ta có
Trong vuông tại là đường cao:
Kẻ và
Ta có và
Trong vuông tại ta có
Ta có
Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ
Gắn hệ trục tọa độ với Khi đó
Bước 1: Xác định tọa độ điểm
Vì là hình chữ nhật nên là trung điểm của Suy ra
Mà là trung điểm của nên Vì là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng hay mặt phẳng nên
Ta có Vì tam giác vuông tại nên
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Suy ra khoảng cách từ đến mặt phẳng là
Điền đáp án: 1,55.
Câu 18 [1021375]: Một nhân viên của thư viện tỉnh muốn lập kế hoạch giới thiệu nội dung chương trình “Kết nối bạn đọc yêu sách 2025” đến bốn trường học trong khu vực lân cận. Độ dài quãng đường giữa các địa điểm (đơn vị: kilômét) được mô tả trong hình vẽ sau:

Người nhân viên đó muốn xuất phát từ thư viện tỉnh và phải đi thăm cả bốn trường, mỗi trường chỉ đến đúng một lần, rồi quay trở về thư viện tỉnh. Tổng độ dài quãng đường đi (đơn vị: kilômét) thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Chuyên đề toán lớp 11 (Bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Để xuất phát từ thư viện tỉnh và phải đi thăm tất cả bốn trường (mỗi trường chỉ đến đúng một lần) rồi quay trở về thư viện tỉnh thì nhân viên đó có thể đi theo một trong các đường sau

Vậy quãng đường đi ngắn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là kilomet.
Đáp án: 17.
Câu 19 [694292]: Mỗi hộp đựng 12 bóng đèn, các bóng đèn trong cùng hộp thì cùng màu. Số hộp đựng bóng đèn màu xanh nhiều gấp 9 lần số hộp đựng bóng đèn màu vàng. Trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng, mỗi hộp đựng bóng đèn màu vàng có 2 bóng bị hỏng Tính xác xuất để lấy ra hai bóng đèn màu xanh ở cùng một hộp, biết cả hai bóng đều bị hỏng. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện + Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu vàng.
Suy ra
Gọi là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu xanh.
Suy ra
Gọi là biến cố lấy được hai bóng đèn hỏng ở cùng 1 hộp.
Ta có xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn vàng là (vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn vàng có 2 bóng bị hỏng).
Tương tự, vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng nên xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn xanh là
Ta có sơ đồ cây sau:

Ta có
Suy ra
Điền đáp án: 0,96.
Câu 20 [1040863]: Một hệ thống truyền tin gồm 5 trạm A, B, C, D, E được nối với nhau bởi đồ thị như hình vẽ. Các trạm hoàn toàn độc lập, trọng số trên cạnh của đồ thị chính là xác suất truyền tin từ trạm này đến trạm kia. Tính xác suất để trạm E nhận được thông tin truyền từ trạm A (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Xác suất truyền tin từ là
Xác suất truyền tin từ là
Xác suất không thể truyền được tin từ là
Xác suất truyền tin từ là
Xác suất truyền tin từ là
Điền đáp án: 0,82.
Câu 21 [1097936]: Trên hai ống đồng AB và CD được đặt chéo nhau trong không gian, để đảm bảo an toàn cần bọc các ống đồng bằng vật liệu xốp (vật liệu cách điện) như hình minh họa. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đơn vị trên mỗi trục tính bằng cm, ống đồng thứ nhất có điểm đầu là điểm cuối là ống đồng thứ hai có điểm đầu là điểm cuối là Coi đường kính của ống đồng không đáng kể, vật liệu xốp bọc bên ngoài mỗi ống đồng là một hình trụ có bán kính bằng (cm) và hai ống đồng sau khi bọc xốp thì tiếp xúc nhau tại điểm Tính
Ở bài này tọa độ điểm A trong hình vẽ bị sai, các em sửa lại tọa độ A giống với đề bài nhé!
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng + Tích có hướng của hai vectơ).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Bước 1: Tính bán kính
Vì khi ống đồng được bọc xốp bên ngoài thì hai ống đồng tiếp xúc nhau, do đó khoảng cách giữa hai ống đồng hay khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và là
Đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là Suy ra
Ta có
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có

Suy ra
Bước 2: Tính tọa độ điểm tiếp xúc
Gọi là đoạn vuông góc chung. Khi đó và là trung điểm của Do đó để tìm được trung điểm ta sẽ đi tìm tọa độ
Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là
Vì nên suy ra
Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là
Vì nên suy ra
Suy ra
Lại có

Suy ra tọa độ trung điểm là
Vậy
Điền đáp án: 2609.
Note: Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 trong đó lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng lần lượt là hai điểm thuộc đường thẳng
Câu 22 [1097937]: Một tòa nhà trong thành phố cao 120 mét có gắn một tháp thông tin cao 12 mét ở trên đỉnh. Một chiếc ô tô đang di chuyển với tốc độ hướng về phía tòa nhà, trong đó tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu quan sát. Khi ô tô tiến gần đến tòa nhà, góc nhìn θ của tháp thay đổi (tham khảo như hình vẽ). Biết rằng thời điểm bắt đầu quan sát, xe ô tô cách tòa nhà 400 mét. Khi di chuyển đến vị trí có góc nhìn θ lớn nhất thì chiếc ô tô dừng lại. Giá trị của bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là khoảng cách từ ô tô đến chân tòa nhà.

Kí hiệu các góc như hình vẽ. Ta có
Khi đó (công thức cộng học ở lớp 11)

Nhận xét: Vì nên
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm và ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vì góc nhìn lớn nhất khi xe ô tô cách chân tòa nhà nên chiếc ô tô dừng lại khi đi được
Ô tô dừng lại thì
Ta có quãng đường xe ô tô đi được đến lúc dừng lại là
Mà quãng đường xe ô tô đi được đến lúc dừng lại là nên ta có
Điền đáp án: 0,18.