Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [861967]: Với là số thực dương tùy ý, bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính lôgarit)
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức Với ta có
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [861970]: Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số)
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Note: Trên bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng nên hàm số nghịch biến trên khoảng
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [1050705]: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Giao tuyến giữa hai mặt phẳng và là đường thẳng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ghi nhớ: Giao tuyến giữa hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Dễ dàng thấy được nên là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng và
suy ra nên là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng và
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [861975]: Trong không gian với hệ tọa độ cho vectơ và Tìm tọa độ của vectơ
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Gợi ý: Cho khi đó
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 5 [1060861]: Phương trình có tập nghiệm là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình lượng giác cơ bản).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [861971]: Cho cấp số cộng có Tính công sai
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng với là số hạng đầu tiên của cấp số cộng, là công sai.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [808657]: Trong không gian , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Mặt phẳng có phương trình có một vectơ pháp tuyến là
Lời giải chi tiết:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 8 [836064]: Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (ĐẠI SỐ TỔ HỢP- Quy tắc nhân).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có cách thực hiện, có cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có cách hoàn thành.
Lời giải chi tiết:
Có 6 cách chọn bạn nam.
Có 4 cách chọn bạn nữ.
Áp dụng quy tắc nhân, ta có cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 9 [861983]: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hàm số liên tục trên đoạn Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 10 [861984]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: Với bất phương trình
Điều kiện xác định
Với bất phương trình tương đương
Với bất phương trình tương đương
Lời giải chi tiết:
ĐK:
Phương trình
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [861986]: Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn điểm có tung độ lớn nhất là số đạt được khi
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 12 [861985]: Để đánh giá chất lượng dịch vụ tài xế công nghệ của hãng X, người ta ghi lại thời gian chờ của các khách hàng được thể hiện trong bảng sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:
Cỡ mẫu là Gọi là thời gian chờ của khách hàng và giả sử số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là nên nhóm chứa là nhóm
Ta có:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là nên nhóm chứa là nhóm
Ta có: .
Khoảng tứ phân vị:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1074026]: Cho hàm số
a) Vì xác định khi nên tập xác định của hàm số là
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b)
Suy ra mệnh đề b) sai.
c)
Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Từ bảng biến thiên thu được ở phần c), ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 14 [1092278]: Một công ty công nghệ thiết kế một hệ thống dự phòng cho máy chủ hoạt động. Hệ thống này bao gồm hai thành phần độc lập: Nguồn điện chính (A) và nguồn điện dự phòng (B). Xác suất nguồn điện chính (A) hoạt động ổn định là xác suất nguồn điện dự phòng (B) hoạt động ổn định là Biết việc hoạt động ổn định hay không ổn định của hai nguồn điện này là độc lập với nhau và hệ thống hoạt động ổn định khi ít nhất một nguồn hoạt động ổn định.
Phân tích dữ kiện đề bài:
là biến cố “Nguồn điện chính hoạt động ổn định”;
là biến cố “Nguồn điện chính gặp sự cố”;
là biến cố “Nguồn điện dự phòng hoạt động ổn định”;
là biến cố “Nguồn điện dự phòng gặp sự cố”;
Dữ kiện: “Biết việc hoạt động ổn định hay không ổn định của hai nguồn điện này là độc lập với nhau” nên các cặp biến cố là độc lập với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Xác suất nguồn điện chính gặp sự cố là Ta có
b) Sai.
Xác suất chỉ có nguồn dự phòng hoạt động ổn định, còn nguồn chính gặp sự cố là
Vì và là hai biến cố độc lập nên
c) Sai.
Xác suất cả hai nguồn đều không hoạt động ổn định là
Ta có xác suất nguồn điện dự phòng gặp sự cố là
Vì và là hai biến cố độc lập nên
d) Đúng.
Vì hệ thống hoạt động ổn định khi ít nhất một nguồn hoạt động ổn định nên để hệ thống hoạt động ổn định thì ít nhất một trong hai nguồn điện phải hoạt động ổn định.
Suy ra xác suất cần tính bằng
Câu 15 [1032380]: Sản lượng táo trên mỗi cây khi thu hoạch lệ thuộc vào mật độ cây được trồng. Với cùng một phương pháp chăm sóc như nhau, nếu trên mỗi sào đất được trồng cây táo thì người ta ước tính trung bình sản lượng mỗi cây táo khi thu hoạch là (kg/cây) (1 sào Trung bộ bằng 500m2). Biết rằng bình quân chi phí giống và chăm sóc cho mỗi cây táo từ lúc trồng cho đến khi thu hoạch là 560 nghìn đồng mỗi cây. Giá bán ra mỗi kg táo là 50 nghìn đồng/kg, với giá bán này thì tất cả lượng táo thu hoạch đều được bán hết. Cần trồng trung bình bao nhiêu cây táo trên mỗi sào đất để mang về lợi nhuận cao nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Giả thiết đề bài:
Sản lượng thu hoạch trên mỗi cây táo là (kg/cây).
Chi phí trung bình phải chi cho mỗi cây (tính từ lúc trồng đến khi thu hoạch) là 560 nghìn đồng.
Giá bán: 50 nghìn đồng/kg táo.
Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Số lượng cây táo tối đa mà ta có thể trồng trên mỗi sào bằng giá trị lớn nhất thỏa mãn

Số lượng cây táo tối đa mà có thể trồng trên mỗi sào là 69 cây.
b) Đúng.
Tổng sản lượng táo trên mỗi sào đất được mô phỏng bởi hàm số
c) Đúng.
Tổng doanh thu mà người này bán được trên mỗi sào là
d) Sai.
Lợi nhuận = Tổng doanh thu – Tổng chi phí
Suy ra lợi nhuận thu được là
Lợi nhuận lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của hàm ta thực hiện khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số trong khoảng

Bảng biến thiên

Vì nên để xác định giá trị lớn nhất ta sẽ so sánh hai giá trị và
Ta có nên
Vậy nên trồng 39 cây táo trên mỗi sào để có lợi nhuận lớn nhất.
Câu 16 [1092279]: Trong hệ toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, mặt sàn là mặt trục hướng lên, có hai bức tường và nằm lần lượt trên các mặt phẳng và (tham khảo hình vẽ). Một tia Laze được chiếu từ điểm xuyên qua một lỗ nhỏ tại trên bức tường , tia sáng này phản xạ tại điểm trên mặt sàn rồi đến bức tường tại điểm Theo tính chất phản xạ ta có và cùng tạo với mặt sàn các góc bằng nhau. Khi đó
a) Sai.
Nguyên tắc chung:
Trong hệ trục tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên các mặt phẳng được xác định:
Hình chiếu lên mặt Tọa độ là
Hình chiếu lên mặt Tọa độ là
Hình chiếu lên mặt Tọa độ là
Sử dụng nguyên tắc trên, suy ra hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt sàn là điểm
b) Đúng.
Nếu thì
c) Sai.

Gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng Lấy điểm là điểm đối xứng của qua
Suy ra là trung điểm của đoạn thẳng Suy ra

Xét hai tam giác vuông và ta có

cạnh chung
Suy ra
hay Mà (theo tính chất phản xạ của ánh sáng) nên (hai góc ở vị trí đối đỉnh).
Do đó ba điểm thẳng hàng.
Ta có
d) Đúng.
Ta có
Suy ra
Vậy
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [694724]: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng Gọi là trung điểm của Tang của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán 11: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lời giải chi tiết:

Gọi là tâm hình vuông

Gọi là trung điểm
là đường trung bình của
Do đó //

Tam giác vuông tại có

Lại có
Vậy
Điền đáp án: 0,3.
Câu 18 [1042369]: Một máy bay di chuyển từ điểm A đến điểm B theo quỹ đạo là một cung tròn bán kính 6 kilomet với góc chắn cung (tham khảo như hình vẽ). Biết rằng gia tốc của máy bay được xác định bởi công thức với tính bằng giây, ứng với thời điểm máy bay ở vị trí A. Ở vị trí A vật có vận tốc bằng 120 m/s, khi đó vận tốc của vật tại ví trí B bằng bao nhiêu m/s (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Tích phân.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một máy bay di chuyển từ điểm đến điểm theo quỹ đạo là một cung tròn bán kính 6 kilomet với góc chắn cung
- Gia tốc của máy bay được xác định bởi công thức với tính bằng giây, ứng với thời điểm máy bay ở vị trí
b) Yêu cầu:
- Ở vị trí vật có vận tốc bằng khi đó vận tốc của vật tại ví trí bằng bao nhiêu ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính độ dài cung tròn , sau đó dùng tích phân để tính thời gian đi hết cung
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi là thời gian đi hết cung tròn
Độ dài cung tròn là
Vận tốc theo thời gian là


giây
Vận tốc của vật tại vị trí B là
Điền đáp án: 90,1.
Câu 19 [1092280]: Mái nhà nghiêng một góc 30° so với phương ngang. Một tấm pin năng lượng mặt trời dài 2,5 m được gắn lên mái nhà, tạo với phương ngang một góc 36° như hình vẽ. Đỉnh của tấm pin được cố định với mái bằng một thanh chống kim loại đặt thẳng đứng. Vậy tấm thanh chống dài bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Định lí sin trong tam giác.
Mức độ: Vận dụng (7+).
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu các điểm như hình vẽ:

Vì mái nhà nghiêng một góc 30° so với phương ngang nên Suy ra
Vì “thanh chống kim loại đặt thẳng đứng” nên góc tạo bởi thanh chống kim loại và phương ngang là hay
Khi đó trong tam giác ta có
Ta có (định lí tổng 3 góc trong một tam giác)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có
Điền đáp án: 30,2.
Câu 20 [1092281]: Trong không gian toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất là mặt trục hướng lên, có một bức tường mỏng được giới hạn bởi miền tam giác trong đó và Ánh sáng mặt trời chiếu theo vectơ tạo thành một cái bóng mát trên mặt đất (quan sát hình vẽ). Một con kiến bò từ điểm thẳng dọc theo trục đến gốc toạ độ với vận tốc để về tổ của mình, tính thời gian con kiến đi trong bóng mát (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của giây).
Nội dung kiến thức: Hình toạ độ không gian Oxyz thực tế.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lời giải chi tiết:
Muốn tính khoảng thời gian con kiến đi trong bóng mát, ta cần tính độ dài đoạn thẳng như hình vẽ.

Bước 1: Trước hết tìm là bóng của trên mặt đất, khi đó
Ta có: vectơ cùng phương với vectơ
Suy ra tỉ lệ Vậy
Vậy bóng của bức tường là (vì nằm trên mặt đất nên bóng của trên mặt đất là chính nó).
Bước 2: Tìm độ dài quãng đường bóng mát
Với sao cho thẳng hàng.
Ta có là hai vectơ cùng phương nên suy ra
Tương tự, sao cho thẳng thàng.
Ta có là hai vectơ cùng phương nên suy ra
Suy ra
Bước 3: Tính thời gian con kiến đi trong bóng mát biết vận tốc là 3 cm/s.
Thời gian con kiến đi trong bóng mát bằng
Vậy thời con kiến đi trong bóng mát là 36 giây.
Điền đáp án: 36.
Câu 21 [1092282]: Hai thí sinh A và B cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì để xác định câu hỏi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Hai phòng bì được gọi là giống nhau nếu chứa cùng một câu hỏi. Xác suất để 3 phong bì A chọn và 3 phong bì B chọn có ít nhất hai phong bì giống nhau là (trong đó là phân số tối giản và Tính
Nội dung kiến thức: Xác suất
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lời giải chi tiết:
Để dễ hình dung, hãy tưởng tượng bạn A có một hộp bi gồm 10 viên bi đánh số từ 1 đến 10 (tương ứng với 10 câu hỏi được đựng trong phong bì) và bạn B cũng vậy.
Số cách bạn A chọn ra 3 viên bi bất kì là: cách.
Số cách bạn B chọn ra 3 viên bi bất kì là: cách.
Vậy số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi X là biến cố: “3 phong bì A chọn và 3 phong bì B chọn có ít nhất hai phong bì giống nhau”
Nếu coi là các viên bi, biến cố X sẽ là: “3 viên bi A chọn và 3 viên bi B chọn có ít nhất hai viên bi đánh số giống nhau”
TH1: Cả ba viên bi A chọn và B chọn được đánh số giống nhau
Số cách bạn A chọn ra 3 viên bi bất kì là: cách.
Khi đó B có một cách duy nhất để chọn bi sao cho “Cả ba viên bi A chọn và B chọn được đánh số giống nhau”
Do vậy trường hợp này có: cách.
TH2: “3 viên bi A chọn và 3 viên bi B chọn có đúng hai viên bi đánh số giống nhau”
Số cách bạn A chọn ra 3 viên bi bất kì là: cách (chẳng hạn 3,4,5).
Khi đó B chọn bi theo hai bước:
Bước 1: Chọn 2 viên đánh số giống A chọn có cách (chẳng hạn 3,4 hoặc 4,5 hoặc 3,5).
Bước 2: Chọn 1 viên đánh số khác A chọn có cách.
Do vậy theo quy tắc nhân TH2 có: cách.
Khi đó cách nên xác suất cần tìm là
Vậy
Điền đáp án: 3721.
Câu 22 [1092283]: Một hồ nước được hình thành giữa một lớp đất đá, hồ có độ sâu lớn nhất bằng 6 mét và chiều dài lớn nhất theo phương ngang là 9 mét. Trên hệ toạ độ Oxy, đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, đường ranh giới giữa hồ nước và lớp đất được mô hình hoá qua hàm số trong đó hai bên bờ là điểm và (tham khảo như hình vẽ). Các nhà khoa cần cần đặt một camera tại điểm để ghi lại hình ảnh của hồ nước. Nhà khoa học cần đặt vị trí camera cách điểm một khoảng tối thiểu bằng bao nhiêu mét để có thể ghi lại hình ảnh toàn bộ hồ nước khi cạn?
Để nhìn được toàn bộ hồ thì phải nằm trên tiếp tuyến tại điểm có độ dốc (hệ số góc) lớn nhất. Và với hàm số bậc ba, điểm mà cho tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất là điểm uốn.
Bước 1: Tìm các hệ số để viết phương trình hàm số
Ta có
Vì thuộc vào đồ thị hàm số nên
Suy ra
Tiếp đến, ta sẽ dựa vào dữ kiện: “hồ có độ sâu lớn nhất bằng 6 mét” tức để xác định hệ số
Ta có

Suy ra

Bước 2: Tìm vị trí đặt camera cách điểm H một khoảng tối thiểu.
Ta có
Điểm uốn của hàm số là thỏa mãn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là



Vì nên
Vậy nhà khoa học cần đặt vị trí camera cách điểm H một khoảng tối thiểu bằng 1,5 mét để có thể ghi lại hình ảnh toàn bộ hồ nước khi cạn.
Điền đáp án: 1,5.