Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [257454]: Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau:
286.PNG
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [693825]: Cho dãy số với Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Dãy số).
Mức độ: Nhận biết.
Với ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [693826]: Họ nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [693827]: Cho hình hộp Vectơ nào sau đây cùng phương với ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.

Từ hình vẽ ta có vectơ cùng phương với
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [809241]: Trong không gian , cho hai điểm , . Phương trình tham số của đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có: .
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [257464]: Trong không gian cho hai điểm Trọng tâm của tam giác có tọa độ là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Chú ý: Trọng tâm của tam giác có tọa độ là
Áp dụng công thức, tọa độ trọng tâm của tam giác là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [310272]: Một hộp bi có 7 bi đỏ và 5 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy 2 viên bi có đủ hai màu?
A, 35.
B, 31.
C, 62.
D, 210.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Quy tắc đếm).
Mức độ: Nhận biết.
Có 7 cách lấy 1 viên bi đỏ và 5 cách lấy một viên bi xanh
Do đó có 7.5 = 35 cách lấy 2 viên bi có đủ hai màu.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [257439]: Số nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Điều kiện xác định: .
Ta có phương trình
Vậy phương trình có 1 nghiệm thực.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [693830]: Mức thưởng tết (đơn vị: triệu đồng) cho các nhân viên của một công ty được thống kê trong bảng sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: tứ phân vị thứ nhất).
Mức độ: Thông hiểu.
Số nhân viên của công ty được khảo sát là
Gọi là mức thưởng tết của 130 người được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có Do đó đối với dãy số liệu thì
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là
Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 10 [693829]: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thoả mãn Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Mà
Nên ta được:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [693824]: Với là số thực dương tuỳ ý, bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Luỹ thừa với số mũ thực).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 12 [693832]: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.

Ta có: là hình lăng trụ đứng
vuông cân tại
Mà

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
Chọn đáp án D. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1020766]: Một máy hiện sóng thường hiển thị một đường cong răng cưa. Đường cong này có dạng hình sin với các chu kỳ và biên độ thay đổi (như hình vẽ). Nhà khoa học đã mô hình hóa chu kì đầu tiên của sóng đó qua phương trình với (giây) là thời gian truyền sóng và là độ cao của sóng có đơn vị cm.
a) Đúng. Vì:

Ta có:

Vậy
b) Sai. Vì:


c) Sai. Vì:
Trong giây đầu tiên, tốc độ chuyển động của sóng bằng 0 tại các thời điểm là:




Vậy nên trong giây đầu tiên, tốc độ chuyển động của sóng bằng 0 tại 3 thời điểm.
d) Đúng. Vì:
Trong giây đầu tiên, sóng cao nhất là
Từ ý c) ta có
Ta có:




Vậy sóng cao nhất là tại thời điểm giây.
Câu 14 [1098338]: Cho hàm số (với có đồ thị như hình vẽ bên.
a) Sai. Vì hàm số mũ có tập xác định là
b) Đúng.
Nhìn vào đồ thị, tại giá trị dóng lên trục tung ta thấy giá trị tương ứng là
Nên suy ra
c) Đúng.
Từ phần b, ta có
Suy ra
d) Đúng.

(Vì cơ số ta giữ nguyên chiều bất phương trình)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 15 [1106519]: Trong một lớp có 40 học sinh, người ta khảo sát sở thích uống nước của các bạn. Kết quả thu được như sau:
∎ 25 bạn thích uống trà sữa.
∎ 18 bạn thích uống nước cam.
∎ 10 bạn thích cả hai loại trên.
Gọi là tập hợp các học sinh thích trà sữa;
là tập hợp các học sinh thích nước cam.
Từ giả thiết đề bài, ta có
Ta có biểu đồ Ven biểu diễn hai tập A và B như sau:

a) Đúng.
Từ biểu đồ Ven, suy ra số học sinh chỉ thích trà sữa (là vùng chỉ có màu xanh dương) bằng
b) Sai.
Tương tự, ta suy ra được số học sinh chỉ thích nước cam (là vùng chỉ có màu tím) bằng
c) Đúng.
Số học sinh không thích cả hai loại đồ uống = 40 – số học sinh thích ít nhất một loại đồ uống
= 40 – số học sinh chỉ thích nước cam – số học sinh chỉ thích trà sữa – số học sinh thích cả hai

d) Sai.
Yêu cầu bài toán: Tính
Theo công thức xác suất có điều kiện: (với là số học sinh không thích cả hai loại đồ uống, là số học sinh không thích trà sữa).
Từ kết quả phần c, ta có
Ta có số học sinh không thích trà sữa là
Vậy xác suất cần tính là
Câu 16 [1098339]: Hình bên minh họa một nhà kho trong không gian với hai mái và là các hình chữ nhật có kích thước bằng nhau. Biết rằng các bức tường của nhà kho tạo thành hình hộp chữ nhật với mét, mét và mét. Trung điểm của (đỉnh mái nhà) cách đáy nhà kho 10 mét. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ với điểm thuộc tia thuộc tia thuộc tia Một Ăngten cao 12 mét được đặt thẳng đứng tại tâm của mái
Từ đề bài, ta có (đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét).
a) Sai.
Ta dễ dàng thấy được hình chiếu của điểm xuống mặt phẳng là tâm của hình chữ nhật Tâm của hình chữ nhật là trung điểm của nên có tọa độ
Suy ra Mà “Trung điểm cách đáy nhà kho 10 mét” nên
b) Đúng.
Giả sử hai mái của nhà kho đều tạo với mặt đáy một góc
Vì nên (với là trung điểm của
Vì tam giác cân nên vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao. Suy ra vuông tại
Ta có

Suy ra
c) Sai.
Vì tâm của hình chữ nhật nên là trung điểm của với Suy ra
Vì được đặt thẳng đứng và cao 12 mét nên
d) Sai.
Vì nên vì điểm và nằm trên điểm có cao độ bằng 8).
Khi đó khoảng cách
Lại có
Vậy khoảng cách
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1098380]: Cho khối chóp có đáy là hình thang vuông tại và Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác và Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Cách 1: Cách làm truyền thống (Các em xem video thầy có chữa kĩ cách làm này nhé!)
Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ.
Từ dữ kiện: ta gắn hệ trục tọa độ như sau: gốc tọa độ vuông góc với mặt phẳng đáy Trong tam giác kẻ đường trung tuyến Tham khảo hình vẽ.

Từ cách gắn hệ trục đó, ta suy ra (vì dễ dàng chứng minh được là hình vuông),
Vì là trọng tâm của tam giác nên Mà là hình chiếu của lên mặt nên
Lại có suy ra cao độ của bằng 7 hay
Ta có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
Điền đáp án: 0,71.
Câu 18 [1040994]: Một người kỹ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là mét, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là mét. Người kĩ sư này phải đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Một chiếc xe có chiều rộng bằng mét thì chiều cao lớn nhất của xe để xe có thể đi qua hầm là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Elip).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phương trình chính tắc của là trong đó Do các điểm và thuộc nên thay vào phương trình của ta có Suy ra phương trình của là
Với những xe tải có chiều rộng là mét, tương ứng với Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao của xe tải ( là tung độ dương của điểm có hoành độ bằng thuộc ) ta được (mét).
Vậy một chiếc xe có chiều rộng bằng mét thì chiều cao lớn nhất có thể đi qua hầm là mét.
Câu 19 [1098381]: Trong không gian với hệ toạ độ cho trước (đơn vị mỗi trục tính theo đơn vị thiên văn), bốn ngôi sao tạo thành một vùng giới hạn trong không gian với các vị trí của chúng được mô hình lần lượt là và (coi mỗi ngôi sao là một chất điểm).

Một sao chổi bay thẳng qua điểm và đi vào vùng giới hạn tại điểm và rời khỏi vùng giới hạn tại điểm Hỏi khoảng cách bằng bao nhiêu đơn vị thiên văn (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gợi ý: là giao điểm của đường thẳng với 2 trong 4 mặt phẳng của tứ diện
Vì 4 ngôi sao tạo thành một “vùng giới hạn” trong không gian nên 4 điểm tạo thành một tứ diện
Vì là giao điểm của đường thẳng với 2 trong 4 mặt phẳng của tứ diện nên ta sẽ xét lần lượt giao giữa với 4 mặt phẳng
Ta có Chọn là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
Lưu ý: Điều kiện để đường thẳng cắt mặt phẳng là tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng phải khác 0 (vì nếu tích đó bằng 0 thì và hiển nhiên chúng không có giao điểm).
+)
Ta có
Chọn là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng có phương trình
Vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng lần lượt là
nên và cắt nhau.
Thay vào phương trình mặt phẳng ta được
Suy ra
+)
Tương tự, ta có mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là nên và cắt nhau.
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Thay vào phương trình mặt phẳng ta được
Suy ra
Suy ra hai giao điểm giữa và khối tứ diện là và (vì 1 đường thẳng sẽ chỉ cắt được đúng 2 mặt phẳng của khối tứ diện).
Vậy khoảng cách (đơn vị thiên văn).
Điền đáp án: 7,5.
Hiển nhiên, không cắt hai mặt phẳng Các em có thể tự kiểm tra tương tự như ta đã làm phía trên nhé!
Câu 20 [1098382]: Trong hệ toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, mặt cắt của một đống rơm được mô hình hoá bằng hàm số bậc hai có đồ thị đi qua gốc toạ độ và cắt trục tại điểm Một cái thang dài 5 mét được đặt theo phương tiếp tuyến với đống rơm tại điểm Chiếc thang chạm đất (trục hoành tại điểm Biết hoành độ của điểm là 4, hỏi điểm cao nhất trên đống rơm cách mặt đất bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Vì đống rơm được mô hình hóa bằng hàm số bậc hai nên điểm cao nhất trên đống rơm là điểm cực đại của hàm số Và khoảng cách cao nhất này bằng tung độ của điểm cực đại tức bằng Do đó để giải được bài toán, ta cần viết được phương trình
Từ giả thiết, ta có đồ thị đi qua điểm nên ta có hệ phương trình
Thay vào phương trình ta được
Thay vào hàm số ta được nên suy ra
Gọi
Ta có
Vì chiếc thang được đặt theo phương tiếp tuyến với đống rơm tại điểm có hoành độ bằng 4 và chiếc thang chạm đất (trục hoành tại điểm nên ta có phương trình là

Vì nên ta có (quan sát đồ thị hàm số, ta thấy nhánh cuối cùng bên phải đi xuống nên

Lại có chiếc thang dài 5 mét nên
Suy ra
Khi đó hàm số của ta là

Vậy khoảng cách cao nhất của đống rơm so với mặt đất là
Điền đáp án: 338.
Câu 21 [1040902]: Để giảm khả năng giao tiếp sai, Thảo và Duy quyết định sử dụng mã lặp lại. Một lần nữa, Thảo muốn truyền đạt 0 hoặc 1, nhưng lần này cô ấy lặp lại thêm hai lần nữa, do đó cô ấy gửi 000 để truyền đạt 0 và 111 để truyền đạt 1. Biết rằng lần này Duy nhận được 110, vậy xác suất Thảo muốn truyền đạt số 1 là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là biến cố : “Gửi đi 000”
là biến cố : “Gửi đi 111”
là biến cố : “Nhận được 1”
là biến cố : “Nhận được 0 ”
là biến cố : “Nhận được 110”

Ta có:






Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,97.
Câu 22 [861999]: Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước. Bán kính của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phần mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số + Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì mảng dầu này lan có dạng hình trụ, nên ta có thể tích khối dầu (thể tích này là không đổi)
Bán kính của mảng dầu lan ra với tốc độ mà tốc độ lan ra tỉ lệ thuận với chiều cao của mảng dầu nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có
Thay vào biểu thức (*) ta được
Vì là 1 đại lượng không đổi nên đặt
Khi đó
Nguyên hàm 2 vế, ta được
Từ giả thiết: bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm, ta có hệ phương trình

Đổi
Bán kính vết tràn đạt 4 m tương đương với
35,6 phút.
Điền đáp án: 35,6.