Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [876327]: Nghiệm của phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn D. Đáp án: D
Câu 2 [1068038]: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh như hình vẽ. Độ dài của vectơ bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có nên
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [878216]: Giá trị của bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giới hạn của dãy số).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [890256]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của lên trục là điểm
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hệ trục toạ độ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hình chiếu của điểm lên trục là điểm có tọa độ
Ta có hình chiếu vuông góc của lên trục là điểm có tọa độ
Chọn đáp án A.
Đáp án: A
Câu 5 [256938]: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Trên đoạn hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A, 4.
B, 3.
C, 2.
D, 1.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Gợi ý: Điểm cực trị của hàm số trên một khoảng là những điểm mà tại đó đồ thị hàm số đổi chiều biến thiên (từ đồng biến sang nghịch biến hoặc ngược lại).
Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 6 [256905]: Cho cấp số cộng thỏa mãn Công sai của bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Vậy công sai của bằng
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 7 [693676]: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm có Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hai mặt phẳng vuông góc + Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.

Xét và có:
chung

là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Mà hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Hay
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [693679]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
ĐKXĐ:
Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [810778]: Trong không gian , cho mặt cầu . Tâm của mặt cầu có tọa độ là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Tâm của mặt cầu là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 10 [616565]: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Quay quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 11 [851218]: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Phương pháp:
Dựa vào hình dạng đồ thị, các điểm đồ thị đi qua, cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và kiểm tra các đáp án.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có dạng của đồ thị hàm số bậc ba với hệ số (vì nhánh cuối cùng bên phải của đồ thị đi lên).
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm nên
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 12 [693683]: Chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12B được ghi lại ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần với giá trị nào nhất sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khoảng tứ phân vị).
Mức độ: Thông hiểu.
Số học sinh nữ của lớp 12B được khảo sát là
Gọi là chiều cao của 22 người được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có Do đó đối với dãy số liệu thì
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1098559]: Cho hàm số
a) Sai.
xác định với mọi
Tập xác định của hàm số đã cho là
b) Đúng.

c) Sai.

d) Sai.
Vì là một nguyên hàm của hàm số nên
Lại có

Vậy
Câu 14 [1098560]: Kinh nghiệm ở một trung tâm dạy tiếng Nhật cho thấy những người tham gia học thường bắt đầu mà không có bất kỳ kiến thức nền nào. Bạn An tham gia khoá học và nắm vững 40 từ vựng sau một giờ và chỉ có khả năng học tối đa 500 từ vựng. Đường cong học tập (Learning Curve) có dạng hàm số mũ được sử dụng để mô phỏng số lượng từ vựng ghi nhớ được của mỗi người, trong là số lượng từ vựng ghi nhớ được sau giờ và là giới hạn tối đa số lượng từ vựng có thể nhớ.
Giả thiết quan trọng của bài toán: Số lượng từ vựng ghi nhớ được sau giờ là với là giới hạn tối đa số lượng từ vựng có thể nhớ.
a) Đúng.
Vì An có khả năng học tối đa 500 từ vựng nên
Từ giả thiết: “Bạn An tham gia khoá học và nắm vững 40 từ vựng sau một giờ” ta có

Suy ra
b) Sai.
Bạn An nhớ được một nửa giới hạn tối đa số lượng từ vựng của mình tức An nhớ được từ vựng.
Số giờ Anh nhớ được 250 từ vựng thỏa mãn
(giờ).
Vậy An mất xấp xỉ 8,31 giờ để nhớ được một nửa giới hạn tối đa số lượng từ vựng của mình.
c) Sai.
Tốc độ ghi nhớ từ của An tại thời điểm (giờ) là (từ/giờ).
Ta có
Suy ra tốc độ ghi nhớ của bạn An tại thời điểm (giờ) là (từ/giờ).
d) Đúng.
Vì bạn Nam cũng tham gia khoá học trên nên hàm số thể hiện số lượng từ vựng ghi nhớ được sau giờ là
Từ giả thiết: “nắm vững 50 từ vựng sau một giờ, thậm chí bạn ghi nhớ được 98 từ sau hai giờ” ta có hệ phương trình
Vậy giới hạn tối đa số lượng từ vựng mà bạn Nam ghi nhớ được là từ vựng.
Câu 15 [1098561]: Trong một tai nạn mỏ, người ta cố gắng tiếp cận các thợ mỏ bị mắc kẹt trong trục hầm và các khoang rỗng bằng cách thực hiện sáu mũi khoan cứu hộ xuất phát từ tháp khoan Trên hệ toạ độ đơn vị trên các trục tính bằng mét, điểm điểm các khoang rỗng tháp khoan khoan theo 6 hướng với toạ độ (trong đó a là các số chẵn từ 0 đến 10) (tham khảo như hình vẽ).
a) Đúng.
Ta có
Vì là một vectơ chỉ phương của đường thẳng nên cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
b) Đúng.
Ta có
Vì tháp khoan được khoan theo hướng nên tháp khoan khoan trúng khoang rỗng khi và khoan trúng khoang rỗng khi
Trường hợp 1:

Vậy với thì tháp khoan khoan trúng khoang rỗng
Trường hợp 2:

Vậy không có tháp khoan khoan trúng khoang rỗng
Kết hợp hai trường hợp trên, suy ra tháp khoan này khoan trúng đúng 1 khoang rỗng.
c) Sai.
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là
Chọn là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
d) Sai.
Để mũi khoan khoan trúng đường hầm thì đường mũi khoan phải thuộc vào mặt phẳng hay (vì khi các mũi khoan thuộc vào mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng đó sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vậy trong 6 mũi khoan, có 1 mũi khoan khoan trúng đường hầm.
Câu 16 [1106724]: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh đường thẳng tạo với đáy một góc Gọi là trung điểm của

a) Đúng.
Vì là một lăng trụ đứng nên hình chiếu của xuống mặt đáy là Suy ra
b) Đúng.
Theo giả thiết: “ là trung điểm của ” nên là đường trung tuyến của tam giác Mà là tam giác đều (cạnh nên cũng là đường cao của tam giác
Suy ra (công thức tính nhanh độ dài đường cao trong tam giác đều).
c) Đúng.
Vì là một lăng trụ đứng nên là đường cao của lăng trụ đứng hay cũng là khoảng cách hai đáy.
Trong tam giác vuông tại ta có

d) Sai.
Ta đã dựng được Kẻ Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được như sau:
Ta có Mà nên
Lại có
Từ (1) và (2) ta suy ra
Ta có công thức
Suy ra
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1062768]: Cho khối chóp đáy là hình thoi có cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Số đo góc nhị diện bằng Thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối chóp).
Mức độ: Vận dụng (7+).

Gọi là trung điểm của
Vì là hình thoi có đều
Do bằng
Xét tam giác vuông tại có:
Tam giác đều có là đường cao nên
Diện tích là:
Ta có
Vậy
Câu 18 [1048845]: Một đồng hồ đang hoạt động. Lúc 8h kim giờ chỉ số 8, kim phút chỉ số 12. Hỏi bao nhiêu phút sau thì kim giờ và kim phút trùng nhau lần đầu tiên (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giá trị lượng giác của góc lượng giác).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Ta có sau t phút kim phút di chuyển được một góc
Sau t phút, kim giờ di chuyển được một góc
Lấy điểm 12 giờ làm mốc ta có tọa độ của kim phút: và kim giờ
Hai kim gặp nhau lần đầu khi (phút).
Điền đáp số: 43,6.
Câu 19 [695181]: Hai tên cướp bịt mặt tấn công 1 ngân hàng. Tuy nhiên, người thu ngân đã kịp thời nhấn chuông báo động và khóa cửa ra vào. Các tên cướp nhận ra rằng chúng đã mắc kẹt, vì vậy quyết định cởi mặt nạ và trà trộn vào đám đông. Đối mặt với 40 người trong ngân hàng đều tự nhận mình vô tội, cảnh sát quyết định sử dụng máy phát hiện nói dối. Giả sử xác suất 1 người phạm tội bị máy phát hiện nói dối báo động là 0,85, xác suất 1 người vô tội bị máy báo động 0,08. Tính xác suất ông Tuấn là 1 trong 2 tên cướp, biết rằng ông Tuấn bị máy phát hiện nói dối báo động (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện + Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes ).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là biến cố: “Ông Tuấn là 1 trong hai tên cướp”.
Gọi là biến cố: “Máy phát hiện nói dối báo động”.
Từ dữ kiện đề bài, ta có
Ta có sơ đồ cây sau:

Suy ra
Áp dụng công thức Bayes, ta có xcas xuất ông Tuấn là 1 trong 2 tên cướp, biết rằng ông Tuấn bị máy phát hiện nói dối báo động là
Điền đáp án:
Câu 20 [1106725]: Vào lúc 5 giờ chiều, ở một công ty tại khu công nghiệp tỉnh Thanh Hoá có 12 xe đưa công nhân về một bến. Mỗi tài xế có hai lựa chọn để đi là:
+ Đi theo đường quốc lộ, không bị kẹt xe nhưng phải đi vòng, thời gian để đi là 60 phút.
+ Đi theo đường nội thành, đường ngắn hơn nhưng nhỏ và vào giờ cao điểm nên nếu xe đầu tiên đi thì mất 25 phút, khi có thêm một xe nữa cùng đi (chỉ xét xe của công ty này) thì thời gian của các xe đi sau sẽ tăng thêm 5 phút so với xe đi ngay trước đó.
Tổng thời gian các xe di chuyển nhỏ nhất bằng bao nhiêu phút?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Giả thiết: Có 12 xe đưa công nhân về theo một trong hai đường:
Đường quốc lộ: Thời gian cố định là 60 phút/xe.
Đường nội thành:
Xe 1: 25 phút.
Xe thứ Thời gian = (Thời gian xe trước đó) + 5 phút.
Nên thời gian các xe lần lượt là: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,...
Yêu cầu bài toán: Tính tổng thời gian di chuyển nhỏ nhất (tính theo phút) của 12 xe.
Để tổng thời gian di chuyển nhỏ nhất thì mỗi tài xế sẽ chọn đi con đường có thời gian ngắn hơn, cụ thể:
Các xe đi đường nội thành sẽ có thời gian tăng dần: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,..
Nhận thấy đến xe thứ 9 thì đi đường nội thành tốn nhiều thời gian hơn so với đường quốc lộ (65 phút/xe), do đó từ xe thứ 9 nên chuyển sang đi đường quốc lộ (chỉ mất 60 phút/xe).
Vậy để tổng thời gian di chuyển nhỏ nhất thì phải có xe đi đường nội thành và xe đi đường quốc lộ.
Thời gian di chuyển của 4 xe đi đường quốc lộ là phút.
Thời gian di chuyển của 8 xe đi đường nội thành theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với và công sai
Áp dụng công thức tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ta có tổng thời gian di chuyển của 8 xe đi đường nội thành là phút.
Suy ra tổng thời gian di chuyển nhỏ nhất bằng phút.
Điền đáp án: 580.
Câu 21 [1098562]: Một chiếc giá đỡ nến có dạng một khối tròn xoay. Khi cắt giá đỡ nến bởi mặt phẳng đi qua trục ta thu được mặt cắt ngang (phần tô đậm) như hình vẽ. Trên hệ toạ độ Oxy, đơn vị trên mỗi trục tính bằng cm, giá đỡ nên được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục hoành, trong đó Để tiết kiệm vật liệu hơn, một lỗ khoét hình trụ được bố trí ở đáy (tham khảo hình vẽ).

Lỗ khoét này nội tiếp hình nón có đỉnh đường kính đáy BC với Thể tích lớn nhất của giá đỡ nến sau khi khoét bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân tính thể tích vật thể + Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lời giải chi tiết:
Giá đỡ nến khi chưa bị khoét là khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị quanh trục từ đến và có thể tích là

Vì để tiết kiệm vật liệu hơn, một lỗ khoét hình trụ được bố trí ở đáy nên thể tích của giá đỡ nến sau khi khoét bằng trừ đi thể tích lỗ khoét.
Để thể tích giá đỡ nến nhỏ nhất thì thể tích lỗ khoét lớn nhất. Do đó, để tính được thể tích của giá đỡ nến ta đi tính thể tích lỗ khoét lớn nhất.
Vì hình nón ngoại tiếp lỗ khoét có đỉnh đường kính đáy với nên bán kính và chiều cao của hình nón lần lượt là
Gọi lần lượt là bán kính và chiều cao của lỗ khoét hình trụ
Kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Ta có nên ta dễ dàng chứng minh được
Suy ra
Suy ra thể tích lỗ khoét là
Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích lỗ khoét, ta xét hàm số trên khoảng

(vì ta chỉ lấy giá trị trong khoảng
Bảng biến thiên của hàm số

Suy ra thể tích lỗ khoét lớn nhất là
Vậy thể tích nhỏ nhất của giá đỡ nến sau khi khoét bằng
Điền đáp án: 140.
Câu 22 [1098564]: Một ngôi nhà được thiết kế 1 mặt kính có dạng là hình tứ giác để ngắm cảnh bên ngoài. Ngôi nhà cao 4 mét được đặt vuông góc với mặt đất, sàn nhà là hình vuông có cạnh bằng 4 mét, trên hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, mặt kính được thiết kế như hình vẽ.

Tại điểm nằm trong ngôi nhà người ta lắp một cột chống đỡ vuông góc với mặt kính. Biết mặt kính có diện tích và cột chống có chiều dài Tính
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích có hướng + Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Từ giả thiết bài toán, ta có
Vì giả thiết cho là một tứ giác nên hiển nhiên 4 điểm đồng phẳng nên và ta sẽ dựa vào dữ kiện này để tìm ra tọa độ điểm
Ta có
Chọn là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là

Suy ra
Ta có
Suy ra
Ta có diện tích tứ giác là

Chiều dài cột chống là
Vậy
Điền đáp án: 2794.
Note: Công thức tính diện tích tam giác dựa vào tính có hướng: Tam giác có diện tích là (Để cho dễ thì ở các bài toán, ta sẽ lấy hai vectơ chung gốc để tính tích có hướng. Các em có thể tùy chọn các cặp vectơ để tính tích có hướng, miễn phải chứa đủ 3 đỉnh của tam giác nhé!)
Lưu ý: Khi tính tích có hướng:
- Dùng để viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng thì các vectơ được rút gọn để tính toán cho dễ (vì ta chỉ quan tâm đến hướng của vectơ).
- Dùng để tính diện tích thì phải giữ nguyên không được rút gọn vectơ (vì ảnh hưởng đến độ dài).