Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [861890]: Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 3 thì có phương sai bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương sai và độ lệch chuẩn).
Mức độ: Nhận biết.
Phương pháp:
Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai mẫu số liệu.
Cách giải:
Mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 3 thì có phương sai bằng .
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [328093]: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
4.de16.png
A, Hàm số đạt cực đại tại
B, Hàm số đạt cực tiểu tại
C, Hàm số đạt cực tiểu tại
D, Hàm số đạt cực đại tại
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại là đạt cực tiểu tại và
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [677853]: Nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [522988]: Cho cấp số cộng có số hạng đầu công sai Số hạng của cấp số cộng đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 5 [808665]: Họ nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Thông hiểu.
Áp dụng công thức nguyên hàm: và các tính chất nguyên hàm, ta có:

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [1003191]: Các nghiệm của phương trình là
A, và
B, và .
C, và .
D, và .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình lượng giác).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:

Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [677867]: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường và Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay quanh là

Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [677869]: Trong không gian cho điểm và mặt phẳng Phương trình mặt phẳng đi qua và song song với là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
nhận làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng đã cho song song với nên cũng nhận nhận làm vectơ pháp tuyến.
Vậy mặt phẳng đi qua và song song với có phương trình là

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 9 [511859]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và Thể tích khối tứ diện bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích).
Mức độ: Thông hiểu.
Thể tích khối tứ diện bằng

Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [695194]: Cho hình lăng trụ tam giác Đặt Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 11 [677873]: Với là các số thực dương tùy ý thỏa mãn mệnh đề nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [328043]: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A, 4.
B, 3.
C, 1.
D, 2.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
1.Phương pháp:Quan sát bảng biến thiên xét các giới hạn: để tìm tiệm cận ngang, tính giới hạn để tìm tiệm cận đứng.
2.Cách giải: Ta có:TXĐ
nên đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
nên đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
nên đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [696314]: Cho hai biến cố và biết
a) Sai.
Ta có
b) Đúng.
Ta có
c) Sai.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
d) Sai.
Áp dụng công thức Bayes
Câu 14 [695525]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng đi qua ba điểm và
a) Đúng.
b) Đúng.
c) Sai.
Ta có:
d) Sai.
Phương trình mặt phẳng là
Thay theo vào phương trình mặt phẳng ta được:

Câu 15 [1042176]: Radon-222 là một chất khí phóng xạ có chu kỳ bán rã 3,83 ngày. Loại khí này có thể gây nguy hiểm đến sức khỏe nếu tích tụ trong tầng hầm kín và tổ chức y tế khuyến cáo nên bịt kín tầng hầm để ngăn chặn sự xâm nhập của khí này. Biết rằng ban đầu có 50 triệu nguyên tử radon bị mắc kẹt trong một tầng hầm kín và là số lượng nguyên tử có mặt sau ngày. Thời gian bán rã là thời gian mà một chất giảm còn một nửa so với ban đầu.
a) Đúng.
Gọi là số lượng nguyên tử còn lại sau ngày
là cấp số nhân với công bội


b) Đúng.
Theo câu a) ta có:
c) Đúng.
90% lượng khí bắt đầu phân rã nên số lượng nguyên tử còn lại là

d) Đúng.
Tốc độ phân rã được biểu diễn qua hàm

Tốc độ phân rã của chất khí trên vào thời điểm phân ra lượng khí bằng 900 000 nguyên tử mỗi ngày.
Câu 16 [1098833]: Do ngập úng tại một số vị trí trên một đoạn đường, vậy nên vào giờ cao điểm xảy ra tình trạng tắc đường. Xét trong cùng một ngày, lúc 7h, bắt đầu xảy ra ùn tắc và 6 giờ sau đó thì tình trạng này kết thúc. Hàm số mô tả chiều dài (đơn vị mét) của đoạn đường tắc nghẽn thì tốc độ thay đổi chiều dài của nó được mô tả bằng hàm số (đơn vị km/h) (với tính bằng giờ kể từ lúc bắt đầu xảy ra ùn tắc, là các hệ số thực). Biết rằng chiều dài đoạn đường tắc nghẽn là 4 km lúc 9h và đạt lớn nhất lúc 10h.

Khi đó
a) Sai.
Vì là hàm biểu thị tốc độ thay đổi chiều dài đoạn đường tắc nghẽn nên chiều dài của đoạn đường tắc nghẽn theo thời gian là (mối quan hệ này giống với vận tốc và quãng đường mà ta đã học).

Biết tại lúc bắt đầu xảy ra ùn tắc chiều dài quãng đường ùn tắc bằng 0 nên ta có
với (vì thời gian tắc nghẽn kéo dài trong 6 giờ).
b) Sai.
Ta có
c) Sai.
Biết rằng chiều dài đoạn đường tắc nghẽn là 4 km lúc 9h (tức sau 2 giờ) nên ta có
Vì sau 6 giờ thì tình trạng ùn tắc kết thúc nên ta có
Lại có chiều dài đoạn đường tắc nghẽn đạt lớn nhất lúc 10h (tức nên
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình
Suy ra
d) Sai.
Vì chiều dài đoạn đường tắc nghẽn lớn nhất lúc 10 giờ (tức nên chiều dài đoạn đường tắc nghẽn lớn nhất là
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1098834]: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh (tham khảo hình vẽ). Gọi là trung điểm của tam giác là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu (không làm tròn các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì tam giác là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy nên Kẻ suy ra là chiều cao của lăng trụ
Ta có
Khi đó để tính được ta cần đi tìm
Cách 1:

Ta có (vì là tam giác đều nên là đường trung tuyến trong tam giác

Kẻ Khi đó ta dễ dàng chứng minh được

Vì là tam giác đều có là đường trung tuyến cũng là đường phân giác, đường cao nên
Ta có Trong tam giác vuông ta có

Ta có
Vậy
Cách 2: Sử dụng công thức 1 – c – k – h: trong đó (công thức này các em có thể xem ở video lý thuyết nhé!)
Ta sẽ lần lượt đi tính toán trong công thức trên.
Ta có

Kí hiệu các điểm như hình vẽ. Vì nên ta dễ dàng chứng minh được Suy ra

Thay vào công thức ta được
Suy ra
Điền đáp án: 0,83.
Câu 18 [1098835]: Một chiếc chậu nước có dạng là một khối tròn xoay đang được đặt trên sàn nhà, chiếc chậu có chiều cao 4 dm và được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong quanh trục hoành. Người ta đặt một khối sắt hình lập phương cạnh bằng 1 dm vào bên trong chậu sao cho mặt đáy hình lập phương song song với mặt sàn. Biết rằng chiều cao của nước trong chậu đã tăng thêm 10 cm sau khi thêm khối sắt vào, tính chiều cao ban đầu của nước trong chậu theo đơn vị dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân (12) + Lượng giác (11)).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Bước 1: Tóm tắt bài toán:
Giả thiết:
- Chậu nước: Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong quanh trục hoành. Tức hình của ta được gắn trục như sau:

- Chiều cao của chậu: 4 dm.
- Khối sắt: là hình lập phương cạnh bằng 1 dm.
- Khi đặt khối sắt vào chậu thì nước trong chậu đã tăng thêm 10 cm.
Yêu cầu bài toán: Tính chiều cao ban đầu của nước trong chậu theo đơn vị dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Bước 2: Giải chi tiết
Gọi là chiều cao ban đầu của nước trong chậu.
Thể tích của khối lập phương là
Vì chiếc chậu có chiều cao 4 dm và được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong quanh trục hoành nên thể tích nước ban đầu trong chậu là
Biết sau khi thêm khối sắt vào thì chiều cao của nước trong chậu đã tăng thêm nên thể tích lúc này bằng
Ta có phương trình
(áp dụng công thức lượng giác

Đến đây các em có thể thực hiện giải phương trình lượng giác như ta đã được học ở lớp 11 sẽ mất nhiều thời gian hơn bấm máy, nên các em có thể thực hiện bấm máy như sau:
Bước 1: Nhập vào máy (lưu ý đổi sang đơn vị radian trước khi bấm)
Bước 2: Bấm tổ hợp phím SHIFT + CALC, sau đó nhập giá trị và ấn bằng ta được hiển thị như sau:

Suy ra nghiệm của phương trình là
Vậy chiều cao ban đầu của nước trong chậu là 3,30 dm.
Điền đáp án: 3,30.
Nháp:
Công thức nguyên hàm áp dụng:
Câu 19 [1098563]: Tết Trung thu là một lễ hội truyền thống diễn ra vào đêm Rằm tháng Tám Âm lịch hàng năm. Năm nay để chuẩn bị cho Trung thu, bạn Duy dự định làm một chiếc lồng đèn hình lăng trụ lục giác đều, bạn có một đoạn dây thép dài 54 cm để làm khung cho chiếc lồng đèn, bạn cần cắt đoạn dây thép thành 18 đoạn để làm các cạnh của hình lăng trụ. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ đó (đơn vị là kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
Lời giải chi tiết:
Gọi lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của chiếc lồng đèn. Vì chiếc lồng đèn có hình lăng trụ lục giác đều nên có 12 cạnh đáy bằng nhau, 6 cạnh bên bằng nhau và tổng chiều dài dây thép làm khung là 54 cm nên
Suy ra thể tích của chiếc lồng đèn là
Để tính được thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn, ta xét hàm số trên khoảng


Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn là
Điền đáp án: 70,1.
Note:
- Lăng trụ lục giác đều là lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều (đa giác có 6 cạnh bằng nhau), các cạnh bên bằng nhau và vuông góc với đáy.
- Công thức tính diện tích lục giác đều cạnh là (vì lục giác đều được tạo thành từ 6 tam giác đều nên ta có thể dễ dàng suy ra công thức này từ công thức tính diện tích tam giác đều).
Câu 20 [1048688]: Núi Cadillac, với độ cao 446 mét là đỉnh cao nhất ở phía đông Hoa Kỳ. Một người đứng trên đỉnh núi sẽ là người đầu tiên ở Hoa Kỳ nhìn thấy tia sáng mặt trời mọc. Giả sử có một người đứng ở điểm nhìn thấy tia sáng đầu tiên của mặt trời còn người ở điểm thì chưa. Người ở điểm sẽ nhìn thấy tia sáng đầu tiên sau khi Trái Đất quay để điểm nằm tại vị trí điểm (tham khảo hình minh hoạ). Hỏi người đứng ở điểm sẽ nhìn thấy tia sáng mặt trời mọc sớm hơn bao nhiêu phút so với người đứng ở điểm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười, lấy bán kính trái đất bằng 6371 km)?
Bán kính Trái Đất: độ cao núi Cadillac:
Khi đứng ở độ cao , góc trung tâm được xác định bởi:
Suy ra:
Tốc độ góc quay của Trái Đất:
Thời gian sớm hơn mà người đứng ở đỉnh núi nhìn thấy Mặt Trời mọc:
Thay số:
Người đứng trên đỉnh núi Cadillac sẽ nhìn thấy Mặt Trời mọc sớm hơn khoảng 2,7 phút.
Điền đáp án 2,7.
Câu 21 [1099835]: Trong hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng một trăm mét, mặt đất trùng với mặt phẳng từ điểm xuất phát một khinh khí cầu bay theo hướng tăng độ cao 2 mét mỗi giây, giảm hoành độ 4 mét mỗi giây và tăng tung độ 2 mét mỗi giây, khi đến điểm có cao độ 400 mét, khinh khí cầu duy trì ở độ cao này và đi đến điểm Tại điểm cơ trưởng khinh khí cầu phát hiện một bức tường sương mù được mô hình hoá bởi mặt phẳng lập tức cơ trưởng chuyển sang chế độ hạ cánh với đường bay thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với bức tường sương mù.

Tính quãng đường (đơn vị: mét) mà khinh khí cầu di chuyển từ lúc xuất phát cho đến khi hạ cánh (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng + Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lưu ý quan trọng: Trong hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng một trăm mét.
Khinh khí cầu xuất phát từ (với là điểm khinh khí cầu tiếp đất). Nên quãng đường (đơn vị: mét) mà khinh khí cầu di chuyển từ lúc xuất phát cho đến khi hạ cánh bằng
Bước 1: Tính
Vì đơn vị trên mỗi trục tính bằng một trăm mét, nên ta quy đổi
2 mét mỗi giây đơn vị/s.
4 mét mỗi giây đơn vị/s.
Một khinh khí cầu bay theo hướng tăng độ cao 2 mét mỗi giây, giảm hoành độ 4 mét mỗi giây và tăng tung độ 2 mét mỗi giây tức tọa độ của khinh khí cầu sau giây sẽ tăng độ cao 0,02 đơn vị, giảm hoành độ 0,04 đơn vị và tăng tung độ 0,02 đơn vị so với điểm
Suy ra tọa độ của khinh khí cầu sau giây là

Biết điểm cao 400 mét = 4 đơn vị nên suy ra
Suy ra quãng đường bằng
Bước 2: Tính

Quãng đường bằng
Bước 3: Tính
Gọi là đường bay hạ cánh của khinh khí cầu.
Vì từ khinh khí cầu hạ cánh với đường bay nằm trong mặt phẳng phẳng và song song với mặt phẳng nên vectơ chỉ phương của sẽ vuông góc với vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Suy ra Chọn là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Suy ra vectơ chỉ phương của là
Chọn là một vectơ chỉ phương của Khi đó phương trình tham số của là
biết nên suy ra
Quãng đường bằng
Vậy quãng đường cần tìm bằng
Điền đáp án: 2251.
Câu 22 [1099647]: Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1. Mỗi người ngồi đúng 1 ghế.
2. Các cô gái xếp theo đúng thứ tự 1, 2, 3, 4, 5.
3. Giữa có ít nhất 3 chàng trai.
4. Giữa có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất là 4 chàng trai.
Biết có cách sắp xếp như vậy, tính (Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đại số tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Phương pháp: Sử dụng bài toán chia kẹo Euler.
Vì các cô gái xếp theo đúng thứ tự 1, 2, 3, 4, 5 nên các cô gái sẽ ngồi thành 1 hàng (với các ô trống là các vách ngăn).
Gọi là số chàng trai ngồi lần lượt tại các vách ngăn (từ trái qua phải) tức ta được hàng
Vì có tất cả 12 chàng trai nên
Từ điều kiện 3: giữa có ít nhất 3 chàng trai ta có
Từ điều kiện 4: giữa có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất là 4 chàng trai nên ta có
Đến đây, ta sẽ đưa bài toán này về bài toán chia kẹo Euler để giải quyết (lưu ý
Ta có (với có điều kiện phức tạp hơn ta sẽ xử lý sau)
(Note: Ở chỗ này trong video thầy có viết nhầm và chỗ này đúng phải là và các em nhé!)
Khi đó, ta đặt thay vào phương trình ta được
Đến đây, ta thấy và (tức khi đó với mỗi giá trị cụ thể của thì bài toán là một bài toán chia kẹo Euler. TH1:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình bằng nghiệm (tương ứng với bài toán chia 13 cái kẹo cho 5 người, mỗi người có ít nhất một chiếc kẹo).
TH2:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là
TH3:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là
TH4:
Khi đó
Suy ra số nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình là
Số nghiệm của phương trình bằng với số nghiệm của phương trình (vì 1 giá trị sẽ tương ứng với 1 giá trị và bằng
Vậy ta có tất cả 1161 cách chọn ra thỏa mãn các điều kiện.
Vì 12 chàng trai là khác nhau nên số cách xếp thỏa mãn điều kiện là (vì các cô gái ngồi cố định theo thứ tự 1, 2, 3, 4, 5 nên số cách xếp các cô gái là 1).
Suy ra
Điền đáp án: 2322.