PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [859636]: Nghiệm của phương trình 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [695231]: Trong không gian 
điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng 
?
điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hệ trục toạ độ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Trong không gian
điểm thuộc mặt phẳng 
sẽ có cao độ 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Trong không gian
điểm thuộc mặt phẳng sẽ có cao độ Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [695235]: Cho khối lăng trụ tam giác có thể tích 
và diện tích đáy 
Chiều cao của khối lăng trụ đã cho bằng
và diện tích đáy Chiều cao của khối lăng trụ đã cho bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích lăng trụ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Mà khối lăng trụ tam giác có thể tích
và diện tích đáy 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Mà khối lăng trụ tam giác có thể tích
và diện tích đáy Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [849927]: Trong không gian 
cho đường thẳng 
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của 
cho đường thẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
có vectơ chỉ phương là 
Vì
cùng phương với 
nên suy ra 
cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
có vectơ chỉ phương là Vì
cùng phương với nên suy ra cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 5 [1060997]: Tập xác định của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số xác định khi
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số xác định khi
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 6 [1039669]: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
; 
.
Do đó
là phương trình đường tiệm cần đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
; .Do đó
là phương trình đường tiệm cần đứng của đồ thị hàm số đã cho.Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 7 [695236]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và 
bằng
và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và 
là:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của các đường
và 
là
Ta có công thức tính diện tích hình phẳng là:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và là:Ta có phương trình hoành độ giao điểm của các đường
và làTa có công thức tính diện tích hình phẳng là:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [529644]: Cho 
là số thực dương và khác 
Giá trị của biểu thức 
bằng
là số thực dương và khác Giá trị của biểu thức bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Lôgarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 9 [861831]: Cho hàm số 
thoả mãn 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
thoả mãn . Khẳng định nào sau đây đúng? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Thông hiểu.
Phương pháp:
Cách giải:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Phương pháp:
Cách giải:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [134803]: Cho 
Giá trị 
là
Giá trị là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Xác suất có điều kiện).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 11 [695232]: Từ một đội văn nghệ gồm 6 nam và 5 nữ, có bao nhiêu cách chọn một nam và một nữ để hát song ca với nhau?
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Thông hiểu.
Số cách chọn 1 nam, 1 nữ là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Số cách chọn 1 nam, 1 nữ là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [843369]: Cho hình lập phương 
(tham khảo hình vẽ).
Góc giữa hai vectơ
và 
bằng
(tham khảo hình vẽ).Góc giữa hai vectơ
và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1038811]: Cho hàm số 
.
.
a) Ta có:
; 
. Vậy a) Đúng.
b)
. Vậy b) Đúng
c) Ta có:
. Vậy c) sai.
d) Ta có:
. 
; 
; 
.
Suy ra: giá trị nhỏ nhất của
trên đoạn 
là 
.
Vậy d) đúng.
; . Vậy a) Đúng.
b)
. Vậy b) Đúng
c) Ta có:
. Vậy c) sai.
d) Ta có:
. ; ; .
Suy ra: giá trị nhỏ nhất của
trên đoạn là .
Vậy d) đúng.
Câu 14 [696341]: Chạy Marathon là môn thể thao mà tại đó, người chơi sẽ hoàn thành quãng đường 42,195 km trong khoảng thời gian nhất định. FM sub 4 là thành tích dành cho những người chơi hoàn thành quãng đường Marathon dưới 4 giờ.
Trong CLB AKR, tỷ lệ thành viên nam là 72%, tỷ lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỷ lệ VĐV hoàn thành Marathon sub 4 là 32%; đối với nữ tỷ lệ VĐV hoàn thành sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên 1 thành viên từ CLB AKR:
Trong CLB AKR, tỷ lệ thành viên nam là 72%, tỷ lệ thành viên nữ là 28%. Đối với nam, tỷ lệ VĐV hoàn thành Marathon sub 4 là 32%; đối với nữ tỷ lệ VĐV hoàn thành sub 4 là 3%. Chọn ngẫu nhiên 1 thành viên từ CLB AKR:
Gọi 
là biến cố “VĐV được chọn là nam”.
Gọi
là biến cố “VĐV được chọn đã hoàn thành cự ly Marathon sub 4”.
Từ giả thiết, ta có
a) Đúng.
Khi VĐV được chọn là nam, xác suất để VĐV này chưa hoàn thành sub 4 cự ly Marathon là
b) Sai.
Xác suất để VĐV được chọn là nữ và đã hoàn thành sub 4 là
c) Sai.
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để VĐV được chọn đã hoàn thành sub 4 là
d) Đúng.
Biết VĐV đã hoàn thành sub 4, xác suất để VĐV đó là nam là
là biến cố “VĐV được chọn là nam”.
Gọi
là biến cố “VĐV được chọn đã hoàn thành cự ly Marathon sub 4”.
Từ giả thiết, ta có
a) Đúng.
Khi VĐV được chọn là nam, xác suất để VĐV này chưa hoàn thành sub 4 cự ly Marathon là
b) Sai.
Xác suất để VĐV được chọn là nữ và đã hoàn thành sub 4 là
c) Sai.
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để VĐV được chọn đã hoàn thành sub 4 là
d) Đúng.
Biết VĐV đã hoàn thành sub 4, xác suất để VĐV đó là nam là
Câu 15 [1099820]: Trong không gian toạ độ 
đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất là mặt 
trục 
hướng lên. Một bức tường thẳng đứng nằm trong mặt phẳng 
Bình chứa khí hình cầu 
(đường kính 10 m) chạm trực tiếp vào một bức tường tại điểm 
Một tấm chắn 
được cố định xuống đất tại các điểm 
và được đỡ bằng các thanh chống thẳng đứng tại các điểm 
(tham khảo hình vẽ).
đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất là mặt trục hướng lên. Một bức tường thẳng đứng nằm trong mặt phẳng Bình chứa khí hình cầu (đường kính 10 m) chạm trực tiếp vào một bức tường tại điểm Một tấm chắn được cố định xuống đất tại các điểm và được đỡ bằng các thanh chống thẳng đứng tại các điểm (tham khảo hình vẽ).
a) Sai.
Để viết được phương trình mặt cầu ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của hình cầu.
Gọi
là tâm bình chứa khí. Vì bình chứa khí tiếp xúc với bức tường (mặt phẳng 
tại điểm 
nên 
suy ra 
là hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
Khi đó 
Quan sát hình vẽ, ta thấy tung độ của điểm
bằng với bán kính của hình cầu. Vì bình chứa khí có đường kính bằng 10 nên bán kính hình cầu bằng 5. Suy ra 
Mặt cầu
có tâm 
và bán kính bằng 5 nên có phương trình là 
b) Sai.
Tấm chắn
đi qua các điểm 
nên có cặp vectơ chỉ phương là 
Suy ra một vectơ pháp tuyến của tấm chắn
là 
Chọn
là vectơ pháp tuyến của tấm chắn 
Suy ra phương trình tấm chắn 
là 
c) Đúng.
Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm
bất kì trên mặt cầu đến mặt phẳng 
khi 
nằm trên đường thẳng đi qua tâm 
và vuông góc với 
Khi đó
nên 
nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
làm vectơ chỉ phương.
Suy ra
nên 
Mà
cũng thuộc vào mặt cầu 
nên 
Vì đường thẳng
cắt mặt cầu tại hai điểm nên để xác định điểm nào là điểm cần tìm, ta so sánh khoảng cách từ 
đến mặt phẳng 
Với
Với
Vậy
suy ra 
d) Đúng.
Vì tấm chắn ban đầu được cố định tại hai điểm
nên tấm chắn sau khi được tối ưu sẽ như hình sau. Kí hiệu 
là giao của tấm chắn mới với thanh chống 
là giao của tấm chắn mới với mặt cầu và 
là chân của thanh chống 
Khi đó chiều dài thanh chống bị rút ngắn là
(vì cao độ của 
bằng 15 nên chiều cao của thanh chống ban đầu bằng 15).
Ta có
Mà
bằng góc giữa mặt phẳng tấm chắn mới với mặt đất 
hay bằng góc giữa hai tiếp tuyến của hai mặt phẳng với mặt cầu (tham khảo hình vẽ).
Dựa vào kiến thức lớp 9 thì ta dễ dàng chứng minh được
Khi đó 
Ta có
suy ra 
(ở bước này các em thực hiện lưu kết quả vào biến trên máy tính thay vì lấy kết quả xấp xỉ nhé)
Vậy chiều dài thanh chống bị rút ngắn đi là
Để viết được phương trình mặt cầu ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của hình cầu.
Gọi
là tâm bình chứa khí. Vì bình chứa khí tiếp xúc với bức tường (mặt phẳng tại điểm nên suy ra là hình chiếu của trên mặt phẳng Khi đó
Quan sát hình vẽ, ta thấy tung độ của điểm
bằng với bán kính của hình cầu. Vì bình chứa khí có đường kính bằng 10 nên bán kính hình cầu bằng 5. Suy ra
Mặt cầu
có tâm và bán kính bằng 5 nên có phương trình là
b) Sai.
Tấm chắn
đi qua các điểm nên có cặp vectơ chỉ phương là
Suy ra một vectơ pháp tuyến của tấm chắn
là
Chọn
là vectơ pháp tuyến của tấm chắn Suy ra phương trình tấm chắn là
c) Đúng.
Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm
bất kì trên mặt cầu đến mặt phẳng khi nằm trên đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với
Khi đó
nên nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là làm vectơ chỉ phương.
Suy ra
nên
Mà
cũng thuộc vào mặt cầu nên
Vì đường thẳng
cắt mặt cầu tại hai điểm nên để xác định điểm nào là điểm cần tìm, ta so sánh khoảng cách từ đến mặt phẳng
Với
Với
Vậy
suy ra
d) Đúng.
Vì tấm chắn ban đầu được cố định tại hai điểm
nên tấm chắn sau khi được tối ưu sẽ như hình sau. Kí hiệu là giao của tấm chắn mới với thanh chống là giao của tấm chắn mới với mặt cầu và là chân của thanh chống
Khi đó chiều dài thanh chống bị rút ngắn là
(vì cao độ của bằng 15 nên chiều cao của thanh chống ban đầu bằng 15).
Ta có
Mà
bằng góc giữa mặt phẳng tấm chắn mới với mặt đất hay bằng góc giữa hai tiếp tuyến của hai mặt phẳng với mặt cầu (tham khảo hình vẽ).
Dựa vào kiến thức lớp 9 thì ta dễ dàng chứng minh được
Khi đó
Ta có
suy ra (ở bước này các em thực hiện lưu kết quả vào biến trên máy tính thay vì lấy kết quả xấp xỉ nhé)
Vậy chiều dài thanh chống bị rút ngắn đi là
Câu 16 [1099821]: Ống dẫn nước vào của một bể chứa 
nước có tốc độ dòng chảy là 
mỗi phút và hai ống thoát nước mỗi ống có tốc độ dòng chảy là 
mỗi phút. Trong cùng một khoảng thời gian ống dẫn nước và ống thoát nước có thể không cùng hoạt động. Hình vẽ sau cho thấy thể tích 
của chất lỏng trong bể chứa như một hàm theo biến thời gian 
(phút) với 
nước có tốc độ dòng chảy là mỗi phút và hai ống thoát nước mỗi ống có tốc độ dòng chảy là mỗi phút. Trong cùng một khoảng thời gian ống dẫn nước và ống thoát nước có thể không cùng hoạt động. Hình vẽ sau cho thấy thể tích của chất lỏng trong bể chứa như một hàm theo biến thời gian (phút) với
Đính chính: Do có chút sai sót trong quá trình vẽ hình nên các em sửa 55 trong hình vẽ thành 45 như trên web nhé! Lỗi này sẽ được sửa ở bản in tiếp theo. Cảm ơn các em!
a) Sai.
Vì ống dẫn nước có tốc độ dòng chảy là
mỗi phút nên nếu chỉ có ống dẫn nước hoạt động thì sau 
(phút) bể nước tăng lên 
Khi đó, sau 10 phút ống dẫn nước bơm được
nước vào bể. Mà từ hình vẽ, ta thấy tại 
phút thì thể tích nước trong bể bằng 
nên mệnh đề a sai.
b) Sai.
Ống dẫn nước hoạt động sẽ tương ứng với khoảng thời gian mà thể tích nước trong bể tăng và thỏa mãn bơm được
mỗi phút, ta xét các khoảng thời gian thể tích nước trong bể tăng:
Từ bảng trên, ta thấy rằng trong 60 phút trên, có 5 phút chỉ có ống dẫn nước hoạt động mà các ông thoát nước không hoạt động.
c) Sai.
Quan sát thấy trong khoảng thời gian từ phút thứ 50 – 60, thể tích nước trong bể là một đường thẳng nên thể tích nước trong bể từ phút thứ 50 – 60 được mô hình hóa bằng hàm số
Mà đường thẳng này đi qua hai điểm
nên ta có hệ phương trình 
Suy ra thể tích nước có trong bể ở thời điểm
là 
d) Sai.
Nhắc lại lý thuyết: Giá trị trung bình của một hàm số
liên tục trên đoạn 
là 
Áp dụng công thức trên, ta có thể tích nước trung bình trong 58 phút đầu tiên là
với 
bằng phần diện tích gạch chéo màu cam trong hình.
Nhận thấy diện tích
nên diện tích 
bằng tổng diện tích hình thang màu hồng + diện tích tam giác xanh dương trong hình vẽ sau.
Suy ra
Vậy thể tích trung bình cần tính là
a) Sai.
Vì ống dẫn nước có tốc độ dòng chảy là
mỗi phút nên nếu chỉ có ống dẫn nước hoạt động thì sau (phút) bể nước tăng lên Khi đó, sau 10 phút ống dẫn nước bơm được
nước vào bể. Mà từ hình vẽ, ta thấy tại phút thì thể tích nước trong bể bằng nên mệnh đề a sai.b) Sai.
Ống dẫn nước hoạt động sẽ tương ứng với khoảng thời gian mà thể tích nước trong bể tăng và thỏa mãn bơm được
mỗi phút, ta xét các khoảng thời gian thể tích nước trong bể tăng:Từ bảng trên, ta thấy rằng trong 60 phút trên, có 5 phút chỉ có ống dẫn nước hoạt động mà các ông thoát nước không hoạt động.
c) Sai.
Quan sát thấy trong khoảng thời gian từ phút thứ 50 – 60, thể tích nước trong bể là một đường thẳng nên thể tích nước trong bể từ phút thứ 50 – 60 được mô hình hóa bằng hàm số
Mà đường thẳng này đi qua hai điểm
nên ta có hệ phương trình Suy ra thể tích nước có trong bể ở thời điểm
là d) Sai.
Nhắc lại lý thuyết: Giá trị trung bình của một hàm số
liên tục trên đoạn là
Áp dụng công thức trên, ta có thể tích nước trung bình trong 58 phút đầu tiên là
với bằng phần diện tích gạch chéo màu cam trong hình.
Nhận thấy diện tích
nên diện tích bằng tổng diện tích hình thang màu hồng + diện tích tam giác xanh dương trong hình vẽ sau.
Suy ra
Vậy thể tích trung bình cần tính là
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1099832]: Trong hệ trục toạ độ 
(đơn vị mỗi trục là 10 mét, trục 
nằm trên mặt đất), một phần đường tàu lượn siêu tốc (như hình vẽ) được mô hình hoá bằng đồ thị hàm số 
có phương trình 
Biết hàm số 
đạt cực trị tại các điểm 
và 
Tàu lượn đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
(đơn vị mỗi trục là 10 mét, trục nằm trên mặt đất), một phần đường tàu lượn siêu tốc (như hình vẽ) được mô hình hoá bằng đồ thị hàm số có phương trình Biết hàm số đạt cực trị tại các điểm và Tàu lượn đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tàu lượn đạt độ cao lớn nhất tại 1 trong các điểm đầu mút và các điểm là nghiệm của
Tức giá trị lớn nhất của tàu lượn trên đoạn
là giá trị lớn nhất trong các giá trị 
Ta có
Từ giả thiết: “hàm số
đạt cực trị tại các điểm 
và 
” ta suy ra 
có 3 nghiệm là 
và 
Ta có hệ phương trình
Suy ra
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là
Vậy tàu lượn đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là
(Lưu ý: đơn vị mỗi trục là 10 mét).
Điền đáp án: 14.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tàu lượn đạt độ cao lớn nhất tại 1 trong các điểm đầu mút và các điểm là nghiệm của
Tức giá trị lớn nhất của tàu lượn trên đoạn
là giá trị lớn nhất trong các giá trị
Ta có
Từ giả thiết: “hàm số
đạt cực trị tại các điểm và ” ta suy ra có 3 nghiệm là và
Ta có hệ phương trình
Suy ra
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là
Vậy tàu lượn đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là
(Lưu ý: đơn vị mỗi trục là 10 mét).
Điền đáp án: 14.
Câu 18 [1099833]: Cho hình chóp 
có đáy là hình chữ nhật 
vuông góc với mặt phẳng đáy và 
Gọi 
là trung điểm của 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
(không làm tròn các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).
có đáy là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy và Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và (không làm tròn các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách: Khoảng cách giữa hai đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Cách 1:
Gọi
là trung điểm của 
Vì
nên 
Do đó
Vì
và 
là trung điểm của 
nên 
Trong
kẻ 
Trong
kẻ 
Vì
mà 
Suy ra
Ta có
và 
là trung điểm của 
nên 
Lại có
Suy ra
Mặt khác
Do đó
Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh 1 – c – k – h (xem video thầy chữa)
Cách 3: Gắn hệ trục tọa độ
Vì
nên ta gắn hệ trục tọa độ như sau: 
Gọi
là mặt phẳng chứa 
và song song với 
Khi đó 
Ta có
có cặp vectơ chỉ phương là 
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
Phương trình mặt phẳng
đi qua 
và có vectơ pháp tuyến 
là 
Vậy
Điền đáp án: 0,41.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Cách 1:
Gọi
là trung điểm của Vì
nên Do đó
Vì
và là trung điểm của nên Trong
kẻ Trong
kẻ Vì
mà Suy ra
Ta có
và là trung điểm của nên Lại có
Suy ra
Mặt khác
Do đó
Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh 1 – c – k – h (xem video thầy chữa)
Cách 3: Gắn hệ trục tọa độ
Vì
nên ta gắn hệ trục tọa độ như sau: Gọi
là mặt phẳng chứa và song song với Khi đó Ta có
có cặp vectơ chỉ phương là Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là Phương trình mặt phẳng
đi qua và có vectơ pháp tuyến là Vậy
Điền đáp án: 0,41.
Câu 19 [1099834]: Cho một hình tam giác đều (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ một tam tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên, từ Hình c) ta tạo nên Hình d), từ Hình d), ta tạo nên Hình e), và cứ thế, ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình bông tuyết Koch.
Hỏi nếu tam giác đều ban đầu có cạnh là
thì bông tuyết Koch thứ 5 (hình e) có diện tích bằng bao nhiêu 
(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Hỏi nếu tam giác đều ban đầu có cạnh là
thì bông tuyết Koch thứ 5 (hình e) có diện tích bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Note: Ở đề câu hỏi đúng phải là “bông tuyết Koch thứ 5 (hình e)” các em chú ý sửa lại trong sách nhé!
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Dãy số).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Phân tích hình: Vì trên mỗi cạnh ban đầu lại tạo thêm 1 tam giác đều (có cạnh bằng
độ dài cạnh ban đầu) hay từ mỗi cạnh ban đầu ta được 4 cạnh mới nên số cạnh của hình sau bằng 4 lần số cạnh của hình ngay trước nó. Suy ra số cạnh của hình a, b, c, d, e lần lượt là 3, 12, 48, 192, 768.
Gọi diện tích của các hình a, b, c, d, e lần lượt là
Khi đó diện tích của hình sau bằng diện tích hình ngay trước cộng thêm diện tích các tam giác nhỏ được tạo thành (tham khảo hình vẽ).
Hình a) là một tam giác đều cạnh 60 cm nên
Điền đáp án: 2458.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Dãy số).
Mức độ: Vận dụng (9+).
Phân tích hình: Vì trên mỗi cạnh ban đầu lại tạo thêm 1 tam giác đều (có cạnh bằng
độ dài cạnh ban đầu) hay từ mỗi cạnh ban đầu ta được 4 cạnh mới nên số cạnh của hình sau bằng 4 lần số cạnh của hình ngay trước nó. Suy ra số cạnh của hình a, b, c, d, e lần lượt là 3, 12, 48, 192, 768.Gọi diện tích của các hình a, b, c, d, e lần lượt là
Khi đó diện tích của hình sau bằng diện tích hình ngay trước cộng thêm diện tích các tam giác nhỏ được tạo thành (tham khảo hình vẽ).Hình a) là một tam giác đều cạnh 60 cm nên
Điền đáp án: 2458.
Câu 20 [1040889]: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2024, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệmToán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương ánđúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm; làm sai được 0 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng42 câu. Trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không có đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An được 9,4 điểm là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Để đạt được 9,4 điểm thì bạn An phải làm đúng 5 câu trong 8 câu còn lại.
TH1: An làm đúng 5 câu khoanh bừa (không có câu nào trong 3 câu đã loại được đáp án sai)
Xác suất trong trường hợp này là
TH2: An làm đúng 1 câu trong 3 câu đã loại được phương án sai, 4 câu trong 5 câu khoanh bừa
Xác suất trong trường hợp này là
TH3: An làm đúng 2 câu trong 3 câu đã loại được phương án sai, 3 câu trong 5 câu khoanh bừa
Xác suất trong trường hợp này là
TH4: An làm đúng 3 câu trong 3 câu đã loại được phương án sai, 2 câu trong 5 câu khoanh bừa
Xác suất trong trường hợp này là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,04.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Để đạt được 9,4 điểm thì bạn An phải làm đúng 5 câu trong 8 câu còn lại.
TH1: An làm đúng 5 câu khoanh bừa (không có câu nào trong 3 câu đã loại được đáp án sai)
Xác suất trong trường hợp này là
TH2: An làm đúng 1 câu trong 3 câu đã loại được phương án sai, 4 câu trong 5 câu khoanh bừa
Xác suất trong trường hợp này là
TH3: An làm đúng 2 câu trong 3 câu đã loại được phương án sai, 3 câu trong 5 câu khoanh bừa
Xác suất trong trường hợp này là
TH4: An làm đúng 3 câu trong 3 câu đã loại được phương án sai, 2 câu trong 5 câu khoanh bừa
Xác suất trong trường hợp này là
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,04.
Câu 21 [1098836]: Trong trận bóng đá với West Ham năm 2014, nhận thấy thủ môn đối phương lên cao, cầu thủ Wayne Rooney của MU đã thực hiện cú sút bóng kĩ thuật vào khung thành đối phương từ khoảng cách xa 50 mét theo phương ngang so với vạch vôi, bóng bay theo quỹ đạo là parabol và rơi đúng vào vạch vôi sau đó đi vào lưới. Chọn hệ trục toạ độ 
như hình vẽ. Biết quả bóng được sút từ mặt đất và nó đạt chiều cao tối đa là 12,5 mét.
Hỏi nếu muốn cản phá được cú sút này thủ môn phải đứng cách vạch vôi một khoảng tối đa là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm), coi rằng thủ môn này có thể chạm tay cao nhất là 2,7 mét ở mọi vị trí trong vòng cấm (vòng cấm là khu vực cách vạch vôi không quá 16m50)?
như hình vẽ. Biết quả bóng được sút từ mặt đất và nó đạt chiều cao tối đa là 12,5 mét. Hỏi nếu muốn cản phá được cú sút này thủ môn phải đứng cách vạch vôi một khoảng tối đa là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm), coi rằng thủ môn này có thể chạm tay cao nhất là 2,7 mét ở mọi vị trí trong vòng cấm (vòng cấm là khu vực cách vạch vôi không quá 16m50)?
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại “khoảng tối thiểu” thành “ khoảng tối đa” và thêm dữ kiện “trong vòng cấm (vòng cấm là khu vực cách vạch vôi không quá 16m50)” ở đề bài như trên web nhé! Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hàm số bậc hai).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tại vị trí quả bóng ta gắn hệ trục tọa độ
với 
trùng với vị trí quả bóng.
Vì đường bóng đi là một parabol
và bóng chạm đất tại vạch vôi (vạch vôi cách vị trí bóng ban đầu 50 m) nên parabol cắt trục hoành tại hai điểm 
Suy ra
Ta có hoành độ đỉnh của parabol là
Kết hợp với dữ kiện “chiều cao tối đa của quả bóng là 12,5 mét” ta suy ra parabol đi qua điểm
Để cản phá được cú sút này thì thủ môn phải chạm được vào quả bóng. Mà thủ môn này có thể chạm tay cao nhất là 2,7 mét ở mọi vị trí nên để khoảng cách từ thủ môn đến vạch vôi là xa nhất thì thủ môn phải vừa chạm quả bóng tức
(vì tại vị trí 
sẽ tương ứng với 
do đó 
hay 
Vậy khoảng cách xa vạch vôi nhất mà thủ môn cản phá được cú sút là 2,86 mét.
Điền đáp án: 2,86.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hàm số bậc hai).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tại vị trí quả bóng ta gắn hệ trục tọa độ
với trùng với vị trí quả bóng.
Vì đường bóng đi là một parabol
và bóng chạm đất tại vạch vôi (vạch vôi cách vị trí bóng ban đầu 50 m) nên parabol cắt trục hoành tại hai điểm
Suy ra
Ta có hoành độ đỉnh của parabol là
Kết hợp với dữ kiện “chiều cao tối đa của quả bóng là 12,5 mét” ta suy ra parabol đi qua điểm
Để cản phá được cú sút này thì thủ môn phải chạm được vào quả bóng. Mà thủ môn này có thể chạm tay cao nhất là 2,7 mét ở mọi vị trí nên để khoảng cách từ thủ môn đến vạch vôi là xa nhất thì thủ môn phải vừa chạm quả bóng tức
(vì tại vị trí sẽ tương ứng với do đó hay
Vậy khoảng cách xa vạch vôi nhất mà thủ môn cản phá được cú sút là 2,86 mét.
Điền đáp án: 2,86.
Câu 22 [1103685]: Một người thợ muốn chế tạo một chiếc ghế tình yêu như hình 1 với chiều dài 24 dm và rộng 8 dm. Bản vẽ mặt cắt của vật thể khi được thể hiện trên mặt phẳng 
(đơn vị mỗi trục là 2 dm) được như hình 2, trong đó hàm số 
là hàm số bậc ba đi qua điểm 
Hàm số 
có một nguyên hàm là 
Phần trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
và hai đường thẳng 
Phần dưới được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
hai đường thẳng 
Biết lớp trên được làm với giá 
nghìn
lớp dưới có giá 
nghìn
hãy tính giá tiền làm chiếc ghế tình yêu trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng).
(đơn vị mỗi trục là 2 dm) được như hình 2, trong đó hàm số là hàm số bậc ba đi qua điểm Hàm số có một nguyên hàm là Phần trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng Phần dưới được giới hạn bởi đồ thị hàm số hai đường thẳng Biết lớp trên được làm với giá nghìn lớp dưới có giá nghìn hãy tính giá tiền làm chiếc ghế tình yêu trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Lưu ý quan trọng: Đơn vị mỗi trục là 2 dm. Khi đó
1 đơn vị độ dài
1 đơn vị diện tích
Vì thiết diện tại mọi mặt cắt của chiếc ghế là không đổi nên thể tích của chiếc ghế
= thể tích phần trên + thể tích phần dưới
= 8. Diện tích phần trên + 8. Diện tích phần dưới
Suy ra giá tiền làm chiếc ghế là
(nghìn đồng).
Bước 1: Tính giá tiền phần trên
Vì
là hàm số bậc ba nên có dạng 
Lại có 
đi qua các điểm 
nên ta có hệ phương trình 
Vậy giá tiền phần trên là
(nghìn đồng).
Bước 2: Tính giá tiền phần dưới
Giá tiền làm phần dưới là
(vì 
là một nguyên hàm của 
nên 
(nghìn đồng)
Suy ra tổng số tiền làm chiếc ghế là
(nghìn đồng).
Điền đáp án: 1969.
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Lưu ý quan trọng: Đơn vị mỗi trục là 2 dm. Khi đó
1 đơn vị độ dài
1 đơn vị diện tích
Vì thiết diện tại mọi mặt cắt của chiếc ghế là không đổi nên thể tích của chiếc ghế
= thể tích phần trên + thể tích phần dưới
= 8. Diện tích phần trên + 8. Diện tích phần dưới
Suy ra giá tiền làm chiếc ghế là
(nghìn đồng).
Bước 1: Tính giá tiền phần trên
Vì
là hàm số bậc ba nên có dạng Lại có đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình
Vậy giá tiền phần trên là
(nghìn đồng).
Bước 2: Tính giá tiền phần dưới
Giá tiền làm phần dưới là
(vì là một nguyên hàm của nên
(nghìn đồng)
Suy ra tổng số tiền làm chiếc ghế là
(nghìn đồng).
Điền đáp án: 1969.