Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [904492]: Phương trình có nghiệm là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [801217]: Trong không gian vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [801228]: Cho cấp số cộng có và công sai Số hạng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 4 [796891]: Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Thông hiểu. Ta có
Lập bảng xét dấu của như sau:

Ta thấy đổi dấu khi đi qua các điểm và do đó hàm số có hai điểm cực trị. Đáp án: B
Câu 5 [904470]: Khẳng định nào sau đây đúng ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [904476]: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Đồ thị trong hình vẽ là của hàm số có dạng Loại B, C.
Đồ thị trong hàm vẽ nghịch biến trên từng khoảng và Loại D.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 7 [904495]: Với là số thực dương tùy ý khác 1, bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Logarit).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 8 [677859]: Trong không gian cho đường thẳng Điểm nào dưới đây thuộc ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Vậy thuộc
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 9 [681581]: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Tích vô hướng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.

Vì là tứ diện đều cạnh nên là tam giác đều cạnh
Do đó,
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 10 [796902]: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , . Thể tích của khối chóp là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối chóp).
Mức độ: Thông hiểu.

Nhắc lại: Thể tích khối chóp là với là diện tích đáy và là chiều cao của khối chóp.
Vì (giả thiết) nên là chiều cao của khối chóp. Và tam giác là đáy của khối chóp.
Suy ra thể tích khối chóp đã cho là

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [695250]: Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
A,
B,
C,
D,
Sách mới với nhiều bài tập nên không tránh khỏi sai sót, các em sửa lại đề giúp thầy như trên Web nhé!
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Độ lệch chuẩn).
Mức độ: Thông hiểu.
Số trung bình của mấu số liệu ghép nhóm là

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [808412]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là

Dễ nhận thấy trên , đường thẳng nằm phía trên đồ thị hàm số
Khi đó
Chọn đáp án B. Đáp án: B
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1099949]: Cho hàm số
a) Đúng.
Vì xác định với mọi nên tập xác định của hàm số là
b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.
Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi (luôn đúng với mọi (dấu bằng xảy ra tại các điểm rời rạc).
Nên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 14 [693320]: Cho hai hình trụ có cùng bán kính bằng 3 được đặt lồng vào nhau sao cho trục của hai hình trụ vuông góc với nhau và cắt nhau tại (hình 1). Gọi là phần giao nhau của hai hình trụ (hình 2). Chọn trục vuông góc với hai trục của hình trụ như hình vẽ. Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ta được thiết diện có diện tích là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xét bản chất hình khối đã cho để xác định có phải khối tròn xoay hay không, sau đó sử dụng phương pháp lát cắt với công thức để kiểm tra các khẳng định.
✒️ Lời giải chi tiết:

a) Sai.
Hình khối không phải là một khối tròn xoay.
b) Sai.
Thể tích khối được tính theo công thức .
c) Sai.
Xét thiết diện của khối tại vị trí có hoành độ .
Ta có .
.
.
.
Khi đó .
d) Đúng.
Thể tích khối là
.
.
(đvtt).
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng
Câu 15 [1099950]: Trong hệ toạ độ đơn vị mỗi trục là km. Máy bay lúc đầu quan sát nó ở vị trí có toạ độ Cùng lúc đó một máy bay đang ở trí có toạ độ Hai máy bay này đều đang chuyển động cùng hướng với vectơ Từ điểm máy bay tăng tốc với tốc độ (trong đó tính bằng giờ kể từ khi tăng tốc là hằng số dương nhỏ hơn 20), còn máy bay chuyển động với vận tốc không đổi là 962 km/h. Biết rằng sau 30 phút kể từ lúc ban đầu, khoảng cách giữa hai máy bay là 45 km.
a) Đúng.
Từ giả thiết: “Máy bay M lúc đầu quan sát nó ở vị trí có toạ độ Cùng lúc đó một máy bay N đang ở trí có toạ độ ”
Suy ra khoảng cách giữa hai máy bay M, N là (vì đơn vị mỗi trục là km).
b) Đúng.
Vì máy bay N có vận tốc không đổi là 962 km/h nên sau giờ, máy bay đi được 1 quãng đường bằng
Lại có máy bay N chuyển động cùng hướng với vectơ tức máy bay di chuyển song song với trục (hoành độ và cao độ không đổi so với vị trí ban đầu; tung độ tăng sau giờ so với vị trí ban đầu) tham khảo hình vẽ.

Vậy vị trí của máy bay N sau giờ là
c) Sai.
Tương tự như phần b, máy bay M chuyển động cùng hướng với vectơ nên vị trí của máy bay M sau giờ là với là quãng đường máy bay M đi được sau giờ.
Ta có máy bay M đi với tốc độ nên quãng đường máy bay M đi được sau giờ là
Suy ra vị trí của máy bay M sau giờ là
Giả sử sau 30 phút (tức giờ), hai máy bay M, N lần lượt ở vị trí Suy ra

Mà sau 30 phút kể từ lúc ban đầu, khoảng cách giữa hai máy bay là 45 km nên ta có
(bình phương hai vế)

(vì là hằng số dương nhỏ hơn 20 nên

d) Sai.
Với tìm được ở phần c, ta có vị trí của máy bay M sau giờ là
Vị trí của máy bay M, N sau 1 giờ (kể từ lúc quan sát) lần lượt là


Suy ra khoảng cách giữa hai máy bay sau 1 giờ (kể từ thời điểm quan sát) là
Giới thiệu cách khác để xử lý phần b):
Phương pháp: Sử dụng chuẩn hóa vectơ để xác định vectơ vận tốc
Ví dụ: Trong hệ trục tọa độ đơn vị trên mỗi trục là mét, một vật tại vị trí bắt đầu chuyển động theo vectơ vận tốc thì khi đó sau giây thì vật ở vị trí có tọa độ
Nếu bài cho hướng chuyển động của vật theo vectơ và tốc độ không đổi thì vectơ vận tốc của vật là (thao tác được gọi là chuẩn hóa vectơ).
Do đó một vật chuyển động từ điểm theo hướng với tốc độ không đổi thì sau thời gian vật ở vị trí có tọa độ bằng
Áp dụng vào bài toán:
b) Máy bay N chuyển động cùng hướng với vectơ và có vận tốc không đổi là 962 km/h (tức tốc độ là 962 km/h) thì vectơ vận tốc của máy bay N bằng
Khi đó, sau giờ, máy bay N ở vị trí có tọa độ là
Lưu ý: Nếu tốc độ của vật là một hàm số (vận tốc thay đổi theo thời gian) thì vận tốc của vật tại thời gian phải được tính theo công thức các em nhé!
Câu 16 [699942]: Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Thống kê cho thấy có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Radar phát hiện một vật thể bay.
Gọi A là biến cố: "Hệ thống radar phát cảnh báo".
Gọi B là biến cố: "Vật thể đó là mục tiêu thật".
a) Sai.

b) Đúng.
là xác suất hệ thống radar phát cảnh báo khi biết vật thể bay đó là mục tiêu thật và bằng 0,9.
c) Sai.
Ta có sơ đồ cây sau:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
d) Đúng.
Xác vật thể đó là mục tiêu thật khi biết hệ thống radar đang phát cảnh báo là
Áp dụng công thức Bayes, ta có
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [694664]: Cho hình chóp có đáy là hình thoi, là tam giác đều, số đo của góc nhị diện bằng Thể tích khối chóp bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Bước 1: Xác định chiều cao hình chóp và công thức thể tích chóp
Gọi là trung điểm của Khi đó (vì và là các tam giác đều)
Kẻ mà do
hay
Khi đó
Bước 2: Tính chiều cao
Từ cách dựng hình ở bước 1 thì góc nhị diện
Ta có (vì và đều là đường cao của các tam giác đều cạnh 2).
Suy ra cân tại Mà nên là tam giác đều.

Khi đó
Bước 3: Tính diện tích đáy
Vì đáy là hình thoi nên
Vậy thể tích khối chóp là
Điền đáp án: 1,7.
Câu 18 [1099951]: Nhiệt độ không khí xung quanh bóng đèn được mô phỏng bởi hàm số trong đó là khoảng cách tính từ bề mặt bóng đèn tính bằng milimét. Biết nhiệt độ trên bề mặt bóng đèn là 125°C. Cho biết nhiệt độ không khí cách bề mặt bóng đèn 3 mm và 9 mm lần lượt là 75°C và 37,5°C. Xác định nhiệt độ không khí tại vị trí cách bề mặt bóng đèn 1 cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ C).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số mũ + Logarit).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Yêu cầu bài toán: Tính
Từ giả thiết: “nhiệt độ trên bề mặt bóng đèn là 125°C” tức
Lại có “nhiệt độ không khí cách bề mặt bóng đèn 3 mm và 9 mm lần lượt là 75°C và 37,5°C” nên
(thay

Để tìm ta đi giải tiếp phương trình bằng cách đặt (sử dụng tính chất


Thay vào ta được
Suy ra
Vậy nhiệt độ không khí tại vị trí cách bề mặt bóng đèn 1 cm là
Điền đáp án: 34,9.
Câu 19 [1099952]: Trong hệ toạ độ (đơn vị mỗi trục là mét) một khúc cua được thiết kế dọc theo đồ thị của hàm số khi một chiếc xe đua không may bị ngã, nó sẽ trượt theo phương tiếp tuyến với sau đó va chạm vào hàng rào chắn (làm bằng rơm) đặt trên đường thẳng (tham khảo hình vẽ).

Phạm vi ngã của các xe đua này là các điểm nằm trên có hoành độ Do đó, người ta đã thiết kế để khi xe bị ngã tại một điểm bất kì thuộc có hoành độ đều va chạm với rào chắn Tính độ dài ngắn nhất của (kết quả làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta có
Giả sử là hoành độ tiếp điểm mà chiếc xe đua trượt ngã.
Khi đó phương trình tiếp tuyến với tại điểm có hoành độ là
Gọi là tung độ giao điểm của tiếp tuyến với đường thẳng Khi đó để rào chắn là ngắn nhất và chứa được mọi điểm trượt ngã của xe thì
Thay vào phương trình tiếp tuyến vừa tìm được:
Đến đây để tìm ta đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn


(vì




Suy ra
Điền đáp án: 4,6.
Câu 20 [779854]: Công ty giao hàng nhanh có 4 kho hàng A, B, C và D. Quản lý muốn lên kế hoạch cho xe giao hàng đi qua tất cả các kho hàng đề lấy hàng và quay lại kho hàng ban đầu, với điều kiện là mỗi kho hàng chỉ ghé qua một lần. Khoảng cách giữa các kho hàng (km) được mô tả trong hình vẽ. 

Quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng hoàn thành việc lấy hàng ở các kho và quay trở lại kho hàng ban đầu là bao nhiêu kilômét?
Nội dung kiến thức: Chuyên đề toán lớp 11 (Đường đi Euler và đường đi Hamilton).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Xe giao hàng đi qua tất cả các kho hàng đề lấy hàng và quay lại kho hàng ban đầu, với điều kiện là mỗi kho hàng chỉ ghé qua một lần nên ta sẽ đi tìm đường đi Hamilton của đồ thị.
Đồ thị gồm 4 đỉnh, mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc là nên đồ thị có chu trình Hamilton.
Xe giao hàng có thể xuất phát từ một trong 4 kho A, B, C, D.
Giả sử xe giao hàng xuất phát từ kho A.Để đi qua tất cả các kho hàng và quay trở về A, xe giao hàng có thể đi theo một trong các đường đi:

Nếu xuất phát từ đỉnh khác thì chỉ là phép thay thế bước đi trong sơ đồ trên.Vậy quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng hoàn thành việc lấy hàng ở các kho và quay trở lại kho hàng ban đầu là 15 km.
Câu 21 [1099953]: Hai vật và được ném thẳng đứng xuống dưới từ độ cao khác nhau và tại cùng một thời điểm với vận tốc ban đầu là và chuyển động với gia tốc trọng trường Theo phương ban đầu vật có hình chiếu trên trục là điểm Sau 5 giây, vật chuyển động được 137,5 mét; hình chiếu của lên đã đi qua vị trí và cách một khoảng 17,5 mét (tham khảo như hình vẽ).

Biết rằng vật tiếp đất sau 10 giây, khi đó vật tiếp đất sau vật bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Gợi ý: Công thức quãng đường vật đi được sau thời gian (dùng cho chuyển động rơi hoặc ném thẳng đứng) là trong đó là vận tốc ban đầu; là gia tốc trọng trường; là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động.
Để xác định được thời điểm tiếp đất của vật A, ta cần biết quãng đường và vận tốc của vật A. Sau đó, ta thay quãng đường và vận tốc vào phương trình quãng đường để tìm thời gian (giây).
Quãng đường vật A đi được sau (giây) là
Bước 1: Tìm vận tốc ban đầu
Vì hai vật A và B được ném thẳng đứng xuống dưới với cùng một vận tốc ban đầu nên ta có thể tìm thông qua vật B.
Quãng đường vật B đi được sau (giây) là
Biết sau 5 giây, vật B chuyển động được 137,5 mét nên ta có
Bước 2: Tìm độ cao ban đầu của vật A
Giả sử là hình chiếu ban đầu của vật A lên là vị trí của vật A sau 5 giây và là hình chiếu của lên Kết hợp với giả thiết “sau 5 giây,..hình chiếu của lên đã đi qua vị trí và cách một khoảng 17,5 mét” ta có hình vẽ như sau.

(Vì vật A và B có cùng vận tốc và gia tốc nên quãng đường mà vật A đi được sau 5 giây bằng quãng đường mà vật B đi được sau 5 giây và bằng 137,5 mét)

Vậy độ cao ban đầu của vật A cách vật B một khoảng 120 mét.
Khi đó độ cao ban đầu của vật A là (với là quãng đường của vật B từ độ cao ban đầu đến khi chạm đất).
Lại có “vật B tiếp đất sau 10 giây” nên quãng đường của vật B từ độ cao ban đầu đến khi chạm đất là
Suy ra
Bước 3: Tính thời gian vật A tiếp đất
Vật A tiếp đất khi (vì chỉ thời gian nên ta sẽ lấy kết quả dương).
Vậy vật A tiếp đất sau vật B xấp xỉ
Điền đáp án: 1,13.
Câu 22 [1040883]: Bạn Thảo muốn tạo một mật mã gồm 7 ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp 7 viên ngọc quý mỗi viên một màu khác nhau vào 4 khe cắm được đánh số từ 1 đến 4. Mỗi khe cắm phải có ít nhất một viên ngọc. Thứ tự các viên ngọc trong mỗi khe cắm là quan trọng. Ngoài ra, khe cắm số 1 phải luôn chứa viên ngọc Đỏ và khe cắm số 4 phải luôn chứa viên ngọc Tím (có thể có thêm các viên ngọc khác). Có bao nhiêu cách để bạn Thảo tạo ra mật mã hợp lệ?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi số viên ngọc của khe 1,4,2,3 lần lượt là
Ta có:
TH1:

Số cách là
TH2: hoặc

Có 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH3: hoặc

Có 4 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 4 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH4:

Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH5: hoặc

Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ hoặc 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
TH6: hoặc

Có 2 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 3 cách chọn vị trí cho viên Tím hoặc 3 cách chọn vị trí cho viên bi đỏ và 2 cách chọn vị trí cho viên Tím
Số cách là
Tổng số cách là
Điền đáp án: 6720.