Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1001604]: Phương trình mặt cầu có tâm , bán kính là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Phương trình mặt cầu có tâm, bán kính là:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [255816]: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đồng biến trên khoảng
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [269925]: Khẳng định nào sau đây là sai?
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giá trị lượng giác của góc lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Các khẳng định trên liên quan đến quan hệ giữa hai góc đối nhau. Ta có bảng sau thể hiện mối quan hệ giữa các góc đặc biệt:

Dễ thấy C sai vì
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [695285]: Cho là một nguyên hàm của hàm số trên Khẳng định nào sau đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [1060665]: Số hạng tổng quát của cấp số cộng biết số hạng đầu , công sai là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của CSC ta có:

Kết luận: Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [695286]: Trong không gian mặt phẳng song song với mặt phẳng và đi qua điểm có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Mặt phẳng song song với mặt phẳng có phương trình dạng
Mặt phẳng này đi qua điểm nên
Vậy mặt phẳng song song với mặt phẳng và đi qua điểm có phương trình là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [695287]: Đạo hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đạo hàm).
Mức độ: Thông hiểu.
Đạo hàm của hàm số là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [695288]: Trong không gian cho hai vectơ và khác Tích vô hướng của hai vectơ và được tính bằng công thức nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Tích vô hướng của hai vectơ và được tính bằng công thức
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 9 [878387]: Nghiệm của phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có: .
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [1061035]: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của cạnh Đường thẳng song song với mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng và mặt phẳng song song).
Mức độ: Thông hiểu.

Trong mặt phẳng gọi
Xét có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của

Lại có:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 11 [695291]: Thời gian trung bình sử dụng ChatGPT trên một ngày của một nhóm học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây.

Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười; đơn vị phút).
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm).
Mức độ: Thông hiểu.
Cỡ mẫu
Gọi là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 12 [348883]: Nếu và thì bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Lại có

Do đó
Chọn đáp án D. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1092277]: Cho hàm số
a) Sai.
b) Đúng.
Áp dụng công thức đạo hàm:
c) Sai.

Vậy phương trình có tập nghiệm là
d) Đúng.
Bảng biến thiên

Suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng
Câu 14 [702630]: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 người nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau.
a) Sai.
Xác suất cả hai người được chọn đều là nữ là
b) Đúng.
Xác suất cả hai người được chọn đều là nam là
Do vậy xác suất để ít nhất một nữ được chọn là
c) Sai.
Gọi là biến cố “Cả hai nữ được chọn” và là biến cố ít nhất một nữ được chọn”
Ta có (vì nên
d) Đúng.
Gọi là biến cố “Hoa được chọn” thì
YCBT Tính
Ta có (vì nên
Câu 15 [1100154]: Trong hệ toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, một kim tự tháp là hình chóp đều với đỉnh và các điểm Một thanh dầm nhô ra từ mặt nó được đỡ bằng một giá đỡ thẳng đứng, trong đó (tham khảo hình vẽ). Biết giá đỡ song song với trục và có chiều dài là 60 mét.
a) Đúng.
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
b) Sai.
là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Chọn là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
c) Đúng.
Vì nên
Mà thẳng đứng so với mặt đất nên
Từ giả thiết “giá đỡ có chiều dài là 60 mét” và ta có hệ phương trình
(vì thẳng đứng và nằm ở trên nên bằng cao độ của điểm trừ đi cao độ của điểm

Vậy tung độ của điểm bằng
d) Đúng.
Từ phần c, ta thu được suy ra
Câu 16 [695198]: Có hai vận động viên và chạy trên một đường thẳng với vận tốc lần lượt được biểu diễn bởi đồ thị hàm số (m/s) và parabol (m/s) như hình vẽ.

Biết rằng hai vận động viên xuất phát cùng một lúc tại cùng một vị trí.
a) Sai.
Quãng đường vận động viên đi được sau giây là
Quãng đường vận động viên đi được sau giây là
Suy ra khoảng cách giữa hai vận động viên sau giây kể từ lúc xuất phát là
Lưu ý: (khoảng cách giữa hai vận động viên) và (diện tích phần tô đậm trong hình vẽ) là khác nhau.
b) Đúng.
Do nên hàm số có dạng
Đồ thị hàm số đi qua ba điểm nên ta có:
Vậy
c) Đúng.
Tại thời điểm giây, quãng đường vận động viên chạy được là

Tại thời điểm 10 giây, quãng đường vận động viên chạy được là

Tại thời điểm 10 giây, vận động viên dẫn trước vận động viên một khoảng bằng
d) Sai.
Sau 30 giây, hai vận đông viên cách nhau một khoảng:
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1093685]: Một thanh kim loại giữ ghế ngồi tại điểm B của vòng quay vui chơi được gắn vào khung tại điểm A. Khi vòng quay quay với tốc độ tối đa, thanh chống tạo với khung một góc 142° và khi đó ghế ngồi ở độ cao 2,2 m so với mặt đất (xem hình vẽ). Khi vòng không quay thanh thẳng đứng vuông góc với mặt đất. Biết chiều dài của thanh chống là 4,2 m. Vậy khi vòng quay không quay thì khoảng cách giữa điểm và mặt đất bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hệ thức lượng trong tam giác).
Mức độ: Vận dụng (8+).
1.Phương pháp: Giải tam giác: Tìm khoảng cách từ đến mặt đất Tìm khoảng cách từ đến mặt đất
2.Cách giải:
Đặt vị trí các đỉnh tương ứng như hình vẽ.

Dựng là hình chiếu của lên
Ta có:
Xét tam giác vuông tại ta có:

Khoảng cách từ đến mặt đất là:
Vậy khoảng cách từ đến mặt đất là:

3.Kết luận:
Điền đáp án: 59.
Câu 18 [693190]: Cho tứ diện tam giác vuông cân tại vuông góc với mặt phẳng là trung điểm góc giữa đường thẳng với mặt phẳng bằng biết Thể tích của khối tứ diện bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối tứ diện).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Tam giác vuông cân tại có
Kẻ , ta có
Ta có:

Ta có:


Từ và .
Khi đó thể tích của khối tứ diện là
Điền đáp án:
Câu 19 [1103213]: Chi phí nhiên liệu để chạy một tàu hơi nước lớn có bánh guồng với tốc độ (km/h) trong vùng nước tĩnh là nghìn đồng mỗi giờ. Các chi phí khác gồm tiền lương, tiền bảo hiểm,… cho chuyến đi là 2700 nghìn đồng mỗi giờ. Để tiết kiệm nhất thì tàu nên chạy với tốc độ bao nhiêu km/h? Biết rằng tàu đi ngược dòng và vận tốc nước chảy là 2 km/h.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Vận tốc thực (vận tốc trên bảng điều khiển) của tàu là
Vì tàu đi ngược dòng và vận tốc nước chảy là 2 km/h nên vận tốc di chuyển của tàu là
Giả sử quãng đường tàu cần đi là
Suy ra thời gian tàu chạy hết quãng đường trên là
Khi đó chi phí để tàu chạy hết là
Vì quãng đường là một đại lượng cố định nên để chi phí thấp nhất thì phải nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng


Bảng biến thiên

Suy ra khi hay để tiết kiệm nhất thì tàu nên chạy với tốc độ 15 km/h.
Điền đáp án: 15.
Câu 20 [1100156]: Trên mặt phẳng toạ độ gọi là tập hợp các điểm sao cho là các số nguyên thuộc đoạn Chọn ra 4 điểm bất kì thuộc tập hợp sao cho 4 điểm đó tạo thành một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục toạ độ nhưng không phải hình vuông. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách như vậy?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Nhận biết.
Gợi í: Số TH là hình chữ nhật (không phải hình vuông) = Số TH là hình chữ nhật – Số TH là hình vuông.
Bước 1: Tính số TH chọn ra 4 điểm trong tập hợp tạo thành hình chữ nhật (tính cả hình vuông)
Minh họa các điểm trong tập hợp thuộc vào lưới ô vuông như hình.

Nhận thấy cứ chọn 2 điểm bất kì trên trục và 2 điểm bất kì trên trục ta luôn được 1 hình chữ nhật.
Trục Có cách chọn ra 2 điểm trong 12 điểm.
Trục Có cách chọn ra 2 điểm trong 12 điểm.
Suy ra số cách tạo thành hình chữ nhật bằng cách.
Bước 2: Tính số TH chọn ra 4 điểm trong tập hợp tạo thành hình vuông
Nhận thấy khi chọn ra 2 điểm bất kì trên mỗi trục mà khoảng cách giữa hai điểm trên một trục là bằng nhau thì hình tạo thành sẽ là hình vuông (tham khảo hình vẽ).

Cách 1: Đếm
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 1 là
Trục (tất cả có 11 cặp).
Trục tương tự cũng có tất cả có 11 cặp.
Suy ra số hình vuông tạo thành là
Vì hai trục là như nhau nên số cặp ở 2 trục bằng nhau.
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 2 là
Trục đều có (tất cả có 10 cặp) nên số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 3 là
Trục đều có (tất cả có 9 cặp) nên số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Các cặp điểm có khoảng cách bằng 4 là
Trục đều có (tất cả có 8 cặp) nên số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng
+) Với Số hình vuông tạo thành bằng 1.
+) Với Có 0 hình vuông được tạo thành.
Vậy có tất cả trường hợp tạo thành hình vuông.
Suy ra số TH là hình chữ nhật (không phải hình vuông) bằng
Cách 2: Cách làm tổng quát
Các em xem cách này ở video để xem thầy Tuấn xử lý ở trường hợp tổng quát sẽ như thế nào nhé!
Điền đáp án: 3850.
Câu 21 [1097747]: Trong không gian toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, mặt sân là mặt phẳng trục hướng lên, một người thực hiện ném bóng, quả bóng được ném tại điểm có toạ độ bóng bay qua điểm sau đó bay vào tâm của rổ. Biết quỹ đạo của quả bóng là một Parabol nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt sân, khoảng cách từ vị trí ném đến rổ theo phương ngang là 6 mét và tâm của rổ cao 3 mét so với sân. Gọi là điểm mà tại đó, quả bóng đạt độ cao lớn nhất, tìm tung độ của (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của vectơ trong bài toán thực tế).
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Gọi lần lượt là hình chiếu của xuống mặt phẳng Vì quỹ đạo bóng bay nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt sân nên thẳng hàng (tham khảo hình vẽ).

Gợi ý: Sử dụng tính chất ba điểm thẳng hàng (tức
Yêu cầu bài toán: Tìm tung độ của điểm (điểm mà parabol đường đi của bóng đạt giá trị cực đại).
Lời giải chi tiết:
Gọi lần lượt là hình chiếu của xuống mặt phẳng
Vì lần lượt là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng nên
Suy ra
Xét các dữ kiện trên trong hệ trục đơn vị mỗi trục là mét, với trục là độ cao của quả bóng so với mặt đất, trục là khoảng cách theo phương ngang của quả bóng so với gốc (tham khảo hình vẽ).

Giả sử quỹ đạo parabol của bóng có dạng Từ hình vẽ, ta suy ra đồ thị hàm số đi qua các điểm (với là tâm của rổ).
Ta có hệ phương trình
Nhận xét: là một hàm số bậc hai có hệ số nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại (kiến thức này được học ở lớp 10: Hàm số bậc hai)

Ta có suy ra
Mà thẳng hàng nên ta có
(với
Suy ra tung độ của điểm là 24,7.
Điền đáp án: 24,7.
Câu 22 [1002059]: Linh có hai chiếc cốc cà phê như hình, một chiếc lõm vào trong (cốc Y) và một chiếc lồi ra ngoài (cốc X), Linh nhận thấy chúng cùng chiều cao và có hình dạng vừa khít với nhau.

Biết rằng cốc X có đường kính 2 đáy đều bằng 8 cm, cốc Y có đường kính 2 đáy đều bằng 12 cm. Trên hình chữ nhật đường cong là một phần của parabol có đỉnh trùng với tâm của hình chữ nhật. Cốc X được tạo thành khi quay quanh trục cốc Y được tạo thành khi quay quanh trục Tính tổng thể tích của cả 2 cốc theo đơn vị (làm tròn đến hàng đơn vị).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Giả sử nằm trên trục có tâm trùng với gốc tọa độ, nằm trên , là tâm hình chữ nhật .
Theo hình vẽ ta có:

Đường cong là parabol có dạng .
Thay tọa độ các điểm vào phương trình parabol ta được:
Thể tích của cốc là
Ta tịnh tiến hình chữ nhật theo phương trục xuống dưới 10 đơn vị thì nằm trên trục .
Khi đó parabol sau khi tịnh tiến có dạng
Thể tích của cốc là
Tổng thể tích 2 cốc là ()
Điền đáp án: 3167.