Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Phương pháp:
Cách viết phương trình tham số của đường thẳng.
Cách giải:

Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giá trị lượng giác của góc lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Gợi ý: Áp dụng công thức:
Ta có:
Kết luận: Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nguyên hàm của hàm số là
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Dễ thấy nên là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng và
Lại có nên là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng và
Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng
Chọn đáp án B. Đáp án: B

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Mẫu số liệu ghép nhóm: Tần số tích lũy).
Mức độ: Nhận biết.
Số ô tô có độ tuổi dưới 12 năm là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Nhìn đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc giữa hai đường thẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Vì nên
Giải thích: Vì là lăng trụ đứng nên các mặt sẽ là các hình chữ nhật, nhưng vì lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau nên các mặt bên là hình vuông khi đó là đường phân giác của góc (tính chất của hình vuông). Do đó
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Loại đáp án A và B (Hàm Logarit). Vì hai hàm số này đều có tập xác định là nên không thể nghịch biến trên khoảng
Xét đáp án C và D (Hàm số mũ
Nhắc lại: Hàm số mũ có tập xác định là Tính đơn điệu phụ thuộc vào cơ số cụ thể:
• Nếu Hàm số đồng biến trên
• Nếu Hàm số nghịch biến trên
C Đúng. Vì có cơ số nên hàm số này nghịch biến trên toàn bộ (tức là khoảng
D Loại. Vì có cơ số nên hàm số này đồng biến trên
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số nhân).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Thông hiểu.

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên
Vậy phương trình mặt cầu tâm bán kính là

Chọn đáp án D. Đáp án: D

a) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng , suy ra mệnh đề đúng.
b) Thay tọa độ của điểm vào phương trình mặt phẳng , ta được
, suy ra mệnh đề đúng.
c) . Mặt phẳng đi qua ba điểm nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến. Vì nên và không cùng phương, suy ra mệnh đề sai.
d) Vì suy ra mệnh đề sai.

a) Sai.
Dựa vào giả thiết: tại thời điểm mực nước trong hồ tăng với tốc độ 1,9 mét/giờ. (với là hàm biểu diễn tốc độ tăng/giảm của mực nước) Ta suy ra

Vậy mệnh đề sai.
b) Đúng.
Dựa vào giả thiết: “Mực nước trong hồ chứa lớn nhất lúc giờ” suy ra là giá trị cực đại của hàm số (Vì khi xét giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ta cần so sánh giữa các giá trị tại 2 đầu mút và các giá trị cực trị, mà giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại không phải là đầu mút do đó phải là cực trị của hàm số (cụ thể là cực đại)).
Suy ra
Vậy mệnh đề đúng.
c) Sai.
Để xác định mức nước trong hồ chứa tăng giảm trong các khoảng thời gian nào, ta tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bằng cách khảo sát hàm số trên đoạn
Ta có
Ta có trục xét dấu sau:


Vậy mực nước trong hồ chứa khoảng thời gian từ giờ đến giờ và tăng trong các khoảng thời gian còn lại.
Vậy mệnh đề sai.
d) Đúng.
Ta có
Theo dữ kiện đề bài, tại thời điểm mực nước trong hồ chứa là 6 m suy ra
Mực nước trong hồ chứa thấp nhất là tại thời điểm và
Vậy mệnh đề đúng.

a) Sai.
Hàm số xác định khi
Suy ra tập xác định của hàm số là
b) Đúng.
Vì hàm số có cơ số nên đồng biến trên khoảng xác định của nó.
c) Đúng.

d) Sai.

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

a) Sai.

b) Sai.
là xác suất bệnh nhân bị hạ huyết áp khi biết lấy nhầm loại thuốc A. Do đó,
c) Đúng.
Ta có
Từ đó, ta có sơ đồ cây sau:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

d) Đúng.
suy ra bác sỹ nên xử lí theo hướng bệnh nhân uống nhầm thuốc A.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số mũ).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính lãi kép
Cách giải:
Số tiền anh Thắng vay ngân hàng sau 2 năm là triệu
Anh Thắng dùng 900 triệu mua đất với giá 20 triệu/m2 nên mua được đất.
Số tiền anh Thắng bán đất là triệu đồng
Số tiền anh Thắng lãi được là triệu
Đáp số: 338

Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Tổ hợp).
Mức độ: Vận dụng (8,5+)
Bài toán chia kẹo Euler: Số cách chia chiếc kẹo giống nhau cho em bé sao cho mỗi em bé có ít nhất một chiếc kẹo hay tương đương với bài toán tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình với là cách/nghiệm.
4 chiếc thẻ giống nhau được đặt vào trung điểm của các cạnh của các đa giác và 4 thẻ này chia các viên bi vào 4 ngăn, ta gọi là số viên bi ở trong 4 ngăn đó. Tham khảo hình vẽ.

Khi đó số cách để vị trí của 4 thẻ sẽ bằng với số các bộ thỏa mãn giả thiết bài cho trừ đi số trường hợp trùng nhau (hai cách đặt thẻ được coi là như nhau nếu tồn tại một phép quay quanh biến cách chia này thành cách chia kia)
Bước 1: Xác định tổng số bộ thỏa mãn giả thiết bài cho (tính cả “các bộ như nhau”)
Từ giả thiết
Nhận thấy có thể được giải quyết bằng bài toán chia kẹo Euler ở trên. Và để đưa được về bài toán gốc và áp dụng công thức, ta đặt thay vào phương trình ta được
với
Khi đó, áp dụng bài toán chia kẹo Euler, ta suy ra số bộ nguyên dương thỏa mãn là
Bước 2: Xác định số bộ thỏa mãn (trừ đi các bộ như nhau).
Lưu ý: Từ cách đặt, ta có mỗi bộ sẽ tương ứng với một bộ
Quan sát phép quay đa giác đều 32 cạnh, thì 165 bộ trên sẽ được chia vào 3 TH sau:
TH1:
Khi đó Suy ra có duy nhất 1 bộ thỏa mãn.
TH2:
Khi đó suy ra TH2 có tất cả 4 bộ (tính cả các bộ như nhau).
Mà hai bộ và là như nhau; và là như nhau nên số bộ khác nhau ở TH2 là 2 bộ (tham khảo hình vẽ).

TH3: Các trường hợp còn lại
Số bộ còn lại (tính cả các bộ như nhau) trong TH3 là
Khi thực hiện phép quay, ta thấy trong 160 bộ là gồm bộ (với là số bộ khác nhau, vì mỗi bộ sẽ có 3 bộ trùng với nó) (tham khảo hình vẽ minh họa trường hợp tổng quát).

Suy ra số bộ khác nhau thỏa mãn TH3 bằng bộ.
Kết hợp 3 TH trên, suy ra số bộ khác nhau hay số cách đặt thẻ thỏa mãn bài toán là
Điền đáp án: 43.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Yêu cầu bài toán: Tính diện tích vùng chiếu sáng
Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ
Gắn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ (là tâm của đáy (hay đi qua trung điểm của (hay đi qua trung điểm của (tham khảo hình vẽ).
Gọi là vị trí của bóng đèn, là trung điểm của

Suy ra
(vì và cách mặt đất 3 mét);
(vì vì và cách mặt đất 2 mét);
Dựa vào giả thiết được đặt chính giữa cạnh nên cũng là trung điểm của
là trung điểm của
Tương tự, là trung điểm của
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm Gợi ý:
Vì nên giả sử
Ta có Suy ra phương trình đường thẳng
v
Tương tự, các em sẽ tính được
Bước 3: Tính diện tích vùng chiếu sáng
Vì nên phương trình đường thẳng
Ta có là vectơ chỉ phương của trục
Suy ra dễ dàng viết được phương trình đường thẳng
Mà nên hay là hình thang.

Ta có
Vậy diện tích vùng chiếu sáng là
Điền đáp án: 24.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Nhận thấy: Diện tích tô đậm = Diện tích hình vuông – Diện tích màu trắng

Để tính diện tích phần màu trắng, ta gắn hệ trục tọa độ đơn vị trên mỗi trục là cm, với gốc tọa độ là điểm (tham khảo hình vẽ).

Khi đó và đường thẳng đi qua là đường thẳng (chỗ này để thấy rõ thì các em có thể gọi phương trình đường thẳng đi qua là và đường thẳng này đi qua là sẽ ra được kết quả là nhé!)
Vì hai parabol và đối xứng nhau qua đường thẳng nên diện tích hai parabol và bằng nhau.
Suy ra diện tích màu trắng phần giao của hai parabol
với lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol mà hai phần diện tích này bằng nhau nên là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng (phần tô màu xanh lá cây, và phần này bằng một nửa phần giao nhau của hai parabol
Bước 1: Tính diện tích
Giả sử phương trình parabol có dạng
Vì đi qua điểm nên
Lại có đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình
Suy ra diện tích giới hạn bởi parabol và trục hoành là
Bước 2: Tính diện tích
Diện tích là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng nên (vì đường thẳng nằm dưới parabol nên
Vậy thể tích phần tô đậm bằng
Điền đáp án: 127.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Cách 1:

Kẻ đường thẳng Khi đó
Suy ra (vì nên sẽ là khoảng cách từ điểm bất kì trên đường thẳng tới mặt phẳng vì là chân đường cao nên sẽ dễ tính toán hơn nên ta sẽ chọn điểm để tính khoảng cách).
Lúc này, ta kẻ và dễ dàng chứng minh được như sau: (vì nên sẽ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng mà nên ta có
Từ đó, ta có
Vậy
Trong mặt phẳng đáy, kẻ

Dễ thấy là một hình vuông (vì là hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).
(vì khi đó cũng là đường trung tuyến của tam giác nên suy ra vuông tại Lại có (vì
Mà nên là hình vuông.
Suy ra
Trong tam giác vuông ta có
Cách 2: Gắn trục tọa độ
Cách này các em tham khảo ở video nhé!
Điền đáp án: 0,82.

Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Lượng giác).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Cách 1: Gợi ý: Các vị trí nằm trên đường tròn tâm bán kính Khi đó chiều cao tối đa của Dũng so với mặt đất bằng

Ta có nên áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông tại ta có
Vậy luôn cách một đoạn không đổi là hay các vị trí nằm trên đường tròn tâm bán kính
Khi đó chiều cao tối đa của Dũng so với mặt đất bằng
Cách 2:
Bước 1: Xác định hàm biểu diễn vị trí của Dũng so với mặt đất
Giả sử vòng đu quay Dũng ngồi quay đến vị trí và Dũng ngồi ở vị trí như hình vẽ. Đặt

Kẻ Kẻ và kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Khi đó chiều cao của Dũng so với mặt đất là (vì hai điểm cùng cách mặt đất 20 m).
Đầu tiên, ta đi tính
Vì nên (hai góc so le trong).
Vì “Biết rằng bánh xe lớn quay quanh tâm còn bánh xe nhỏ quay quanh tâm của nó nhưng luôn thoả mãn góc ” nên

Trong tam giác vuông ta có (vì là bán kính của bánh xe nhỏ)
(ta đã từng học công thức ở lớp 11).
Tiếp đến ta tính
Trong tam giác vuông ta có (vì là bán kính của bánh xe lớn)
Khi đó chiều cao của Dũng so với mặt đất bằng
Suy ra chiều cao tối đa của bạn Dũng so với mặt đất trong quá trình chơi là giá trị lớn nhất của
Bước 2: Tìm max của
Ta có

Điền đáp án: 32,2.
Note: Công thức áp dụng: (các em có thể tự sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky hoặc xem video để biết cách chứng minh nhé!)