Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [809910]: Cho , khi đó bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [616642]: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [620110]: Cho cấp số nhân với Giá trị bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số nhân).
Mức độ: Thông hiểu.

Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 4 [695523]: Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A, gam.
B, gam.
C, gam.
D, gam.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khoảng biến thiên).
Mức độ: Nhận biết.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: gam.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 5 [977112]: Trong không gian cho hai vectơ tạo với nhau một góc , và Tích vô hướng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ theo độ dài và góc tạo bởi chúng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức tích vô hướng .
Thay số vào ta được .
Vì nên .
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 6 [618135]: Tìm nguyên hàm của hàm số
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.

Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [298370]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [1057863]: Cho góc lượng giác thỏa mãn thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A, và
B, và
C, và
D, và
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giá trị lượng giác của góc lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có: nằm trong khoảng tương ứng với góc phần tư thứ III trên đường tròn lượng giác. Vậy nên, và
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [618094]: Cho khối hộp chữ nhật biết Tính thể tích của khối hộp?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối hộp).
Mức độ: Thông hiểu.

Ta có

Vậy thể tích V của khối hộp là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Sử dụng thông tin dưới đây để trả lời câu 10 và câu 11:
Câu 10 [702521]: Đường kính của mặt cầu bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Vậy đường kính của mặt cầu là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 11 [702522]: Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu + phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến bằng:

Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [1103218]: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Phương pháp: Dựa vào định nghĩa về tiệm cận ngang.
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy
Khi thì tức nên là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Khi thì tức nên là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1103219]: Cho hàm số có đạo hàm Biết rằng
a) Đúng.
với là hằng số.
b) Đúng.
Ta có

Suy ra
c) Sai.

Suy ra có tập nghiệm là
d) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành bằng
Câu 14 [1103687]: Trong không gian cho hai điểm và mặt phẳng Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng
a) Sai.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
b) Sai.
Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng ta được
c) Sai.
Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Vì là mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ vuông góc với và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Suy ra
Khi đó mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Suy ra
d) Đúng.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, ta có khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng là
Câu 15 [1103220]: Trong một phòng thí nghiệm nghiên cứu sự phát triển của một quần thể nhỏ ruồi giấm, số lượng cá thể của loại ruồi này sau ngày được một nhà khoa học mô phỏng bằng hàm số (với và là các hằng số thực). Sau 5 ngày, số lượng cá thể đạt cực đại và bằng 360 con. Theo mô hình trên ta có
a) Đúng.
Vì sau 5 ngày, số lượng cá thể bằng 360 con nên
Hơn nữa “sau 5 ngày, số lượng cá thể đạt cực đại” nên ta có
b) Sai.
Công thức đạo hàm áp dụng:

Từ phần a), ta có hệ phương trình
c) Sai.
Từ phần b), ta có

d) Đúng.
Thay vào hàm số ta được
Suy ra (cá thể).
Câu 16 [1103212]: Câu lạc bộ cờ vua của trường THPT X và THPT Y lần lượt có 8 và 9 thành viên. Chọn ngẫu nhiên 4 thành viên từ mỗi câu lạc bộ tham gia cuộc thi giữa hai trường. Sau đó từ mỗi đội, chọn ngẫu nhiên ghép từng người với một người của đội kia để thi đấu cờ. Biết rằng Quỳnh ở câu lạc bộ của trường X, Hà ở câu lạc bộ trường Y.
Giả thiết bài toán:
Trường X: 8 thành viên (bao gồm Quỳnh)
Trường Y: 9 thành viên (bao gồm Hà)
Ghép cặp: 4 thành viên của trường X đấu với 4 thành viên của trường Y.
Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Số cách chọn ra 4 thành viên (trong 8 thành viên) của câu lạc bộ của trường X là
Số cách chọn ra 4 thành viên (trong 9 thành viên) của câu lạc bộ của trường Y là
Suy ra số cách chọn ra mỗi câu lạc bộ 4 thành viên là
b) Đúng.
Coi 4 thành viên thi đấu của đội X giữ nguyên vị trí, khi đó số cách ghép từng đôi thi đấu với nhau sẽ bằng số cách xếp hay hoán vị của 4 thành viên đội Y và bằng
Suy ra số cách để chọn ra mỗi câu lạc bộ 4 thành viên và ghép từng đôi thi đấu với nhau là
Vậy 4 chữ số tận cùng của là 1680.
c) Đúng.
Ta có sơ đồ cây như sau. Với là xác suất Quỳnh và Hà được chọn đi thi đấu, là xác suất Quỳnh và Hà được ghép cặp với nhau khi biết Quỳnh và Hà được chọn đi thi đấu.

Khi đó xác suất để Quỳnh và Hà được ghép đấu với nhau bằng
Đầu tiên, ta đi tìm xác suất Quỳnh và Hà được chọn đi thi đấu
Số cách Quỳnh nằm trong 4 người được chọn đi thi đấu bằng (vì biết Quỳnh được chọn đi thi đấu nên ta chỉ cần chọn 3 người trong 7 thành viên còn lại của đội X để đi thi). Suy ra xác suất Quỳnh được chọn đi thi đấu bằng
Tương tự, số cách Hà nằm trong 4 người được chọn đi thi đấu bằng
Suy ra xác suất Hà được chọn đi thi đấu bằng
Suy ra xác suất Quỳnh và Hà được chọn đi thi đấu là
Tiếp đến, ta đi tính xác suất Quỳnh và Hà được ghép cặp với nhau.
Số cách ghép cặp cho 4 người sao cho Quỳnh và Hà một cặp/Số cách ghép cặp cho 4 người

Vậy xác suất để Quỳnh và Hà được ghép đấu với nhau bằng
d) Đúng.
Tương tự như phần c, ta có xác suất để cả Quỳnh và Hà đều được chọn đại diện cho trường mình nhưng không đấu với nhau bằng xác suất Quỳnh và Hà được chọn đi thi đấu nhân với xác suất để cả Quỳnh và Hà không đấu với nhau
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [694452]: Có một kho chứa bia kém chất lượng chứa các thùng giống nhau (24 lon/thùng) gồm 2 loại: loại I để lẫn mỗi thùng 5 lon quá hạn sử dụng, loại II để lẫn mỗi thùng 3 lon quá hạn. Biết số lượng thùng loại I gấp 2 lần số lượng thùng loại II. Chọn ngẫu nhiên 1 thùng từ trong kho, từ thùng đó chọn ngẫu nhiên 10 lon thì thấy trong 10 lon đó có hai lon quá hạn sử dụng. Tính xác suất 10 lon được lấy là bia loại I (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là biến cố chọn được thùng loại là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.
Từ đó, ta có
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:

Ta có sơ đồ cây sau:

Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là:

Suy ra xác suất bia được lấy thuộc loại I là:
Điền đáp án: 0,71.
Câu 18 [1075877]: Một khinh khí cầu cất cánh từ rìa của một cao nguyên (mặt phẳng nằm ngang). Xét trên hệ tọa độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, đường đi của khinh khí cầu được mô hình hóa qua đồ thị hàm số . Mặt đất (dưới cao nguyên) dốc xuống một góc không đổi và bề mặt của nó tạo với phương thẳng đứng một góc thỏa mãn (tham khảo như hình vẽ). Biết rằng tại vị trí và khinh khí cầu sẽ ở độ cao 30 mét theo phương thẳng đứng với mặt đất. Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo mét).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
Phương trình mặt đất là
Khinh khí cầu đang ở độ cao 30 m so với mặt đất nên hoành độ 2 điểm thoả mãn phương trình:






Điền đáp án: 262.
Câu 19 [1041687]: Một khu đô thị lớn có ba vùng dân cư chính: Vùng X, Vùng Y, và Vùng Z. Tổng dân số ban đầu của cả ba vùng là 1 triệu người và không thay đổi trong 1 năm tới. Mỗi năm, một phần dân số sẽ di chuyển giữa các vùng theo các quy tắc sau:
▪ Từ X: 10% dân số của X chuyển sang Y, 5% chuyển sang Z, phần còn lại ở lại X.
▪ Từ Y: 15% dân số của Y chuyển sang X, 5% chuyển sang Z, phần còn lại ở lại Y.
▪ Từ Z: 5% dân số của Z chuyển sang X, 10% chuyển sang Y, phần còn lại ở lại Z.
Sau một năm, nhà quy hoạch đô thị nhận thấy tổng dân số của Vùng X tăng lên 10000 người so với ban đầu, tổng dân số của Vùng Y giảm 5000 người. Số dân ban đầu của vùng Y bằng bao nhiêu nghìn người?
Nội dung kiến thức: Chuyên đề toán lớp 10 (Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Gọi lần lượt là số dân ban đầu của vùng X, Y, Z .(nghìn người)
Tổng số dân là 1 triệu (1)
Vùng X mất đi 15% dân số cho 2 vùng Y, Z ; nhận 15% dân số từ Y , 5% dân số từ Z và sau 1 năm dân số tăng lên 10 000 người so với ban đầu

(2)
Vùng Y mất đi 20% dân số cho 2 vùng X, Z ; nhận 10% dân số từ X , 10% dân số từ Z và sau 1 năm dân số giảm đi 5000 người so với ban đầu

(3)
Từ (1), (2), (3)
Điền đáp án: 350.
Câu 20 [1103222]: Cho hình chóp tứ giác đều gọi lần lượt là trung điểm của và Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Thể tích khối chóp bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối chóp).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Gọi là giao điểm giữa và
Vì là hình chóp tứ giác đều nên gọi
b, Gọi là trung điểm của và
Ta có: ;
Ta có
Đặt




Vậy
Câu 21 [1106729]: Trong không gian toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất trùng với mặt phẳng trục hướng lên, các tia sáng mặt trời chiếu song song từ trên xuống dưới theo vectơ Có một bức tường nằm trên mặt phẳng một cây cột thẳng cao 9 mét được đặt nghiêng so với mặt đất tại điểm Cây cột nghiêng cùng phương với vectơ Bóng của cây cột gồm phần nằm trên mặt đất và phần nằm trên bức tường (tham khảo hình vẽ).

Tính tổng độ dài bóng và (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta kí hiệu là đỉnh của cây cột, là chân của cây cột, là đỉnh của (tham khảo hình vẽ).

Suy ra tổng độ dài bóng và bằng
Bước 1: Xác định
Vì cây cột nghiêng cùng phương với vectơ nên hay nhận làm vectơ chỉ phương. Khi đó đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương sẽ có phương trình tham số là
(quan sát hình vẽ, ta thấy cao độ của điểm lớn hơn 0 nên

Mà “cây cột dài 9 mét” nên
Bước 2: Xác định điểm Gợi ý
Vì nên giả sử
Suy ra
Vì các tia sáng chiếu song song với vectơ nên

Bước 3: Xác định Gợi ý với
Ta có
Vì nên

Suy ra
Vậy tổng độ dài bóng và bằng
Điền đáp án: 14,9.
Câu 22 [1103224]: Một cái cốc thủy tinh dạng hình nón úp ngược có chiều cao Bán kính đáy của nón là Ban đầu, cốc được đổ đầy nước. Người ta thả một quả cầu bằng sắt đặc làm bằng vật liệu không thấm nước vào cốc. Quả cầu được thả vào sao cho nó tiếp xúc với mặt bên trong của cốc nước (tham khảo hình vẽ) và thể tích nước tràn ra ngoài là lớn nhất (xem hình vẽ).

Họi thể tích nước lớn nhất đó là bao nhiêu lít (làm tròn đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân + Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (9+).
TH1: Quả cầu nằm hoàn toàn dưới mặt nước (tức phần thể tích nước tràn ra ngoài bằng thể tích của quả cầu).
Khi đó thể tích quả cầu lớn nhất khi quả cầu tiếp xúc với mặt nước. Kí hiệu các điểm như hình vẽ,

Áp dụng định lí Pythagore, ta có
Ta có
Lại có

Mà
Vậy thể tích nước tràn lớn nhất ở TH1 là
TH2: Quả cầu chìm một phần (tức phần thể tích nước tràn ra ngoài bằng thể tích chỏm cầu – một phần thể tích của quả cầu).
Nhắc lại: Công thức tính thể tích chỏm cầu: với là chiều cao của khối cầu, là bán kính khối cầu.
Kí hiệu các điểm như hình vẽ với là tâm của khối cầu.

Để tìm được hàm số thể tích chỏm cầu, ta cần tìm chiều cao của khối chỏm cầu.
Tương tự như TH1, ta cũng tính được
Ta có
Điều kiện:
Suy ra thể tích phần nước tràn ra hay thể tích khối chỏm cầu là
Đến đây để tìm ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng
Cách 1:


Các em vẽ bảng biến thiên sẽ thấy
Cách 2: Bấm máy tính (tham khảo video cách thầy bấm).
So sánh kết quả TH1 với TH2, ta thấy TH2 cho thể tích nước tràn lớn hơn nên đáp án của bài phải là kết quả tìm được ở TH2. Các em lưu ý khi gặp bài toán tương tự nhé!
Điền đáp án: 42,8.