PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [316351]: Trong không gian 
cho đường thẳng 
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của 
?
cho đường thẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Đường thẳng
có một VTCP là 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Đường thẳng
có một VTCP là Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [512858]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như bên dưới.
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
có bảng biến thiên như bên dưới.Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đạt cực tiểu tại
và đạt cực đại tại 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đạt cực tiểu tại
và đạt cực đại tại Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [677438]: Nghiệm của phương trình 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Ta có.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 4 [801230]: 
bằng
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [975554]: Cho hình chóp 
có đáy 
là tam giác vuông tại 
Gọi 
là đường cao kẻ từ 
của tam giác 
Khẳng định nào dưới đây sai?
có đáy là tam giác vuông tại Gọi là đường cao kẻ từ của tam giác Khẳng định nào dưới đây sai? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Mặt khác
Khi đó
do 
Vậy
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Mặt khác
Khi đó
do Vậy
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [517965]: Cấp số cộng 
có 
thì 
bằng
có thì bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 7 [328516]: Tìm tập xác định của hàm số: 
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Điều kiện xác định:
Vậy tập xác định của hàm số là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Điều kiện xác định:
Vậy tập xác định của hàm số là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [807215]: Trong không gian 
, cho mặt phẳng 
Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng 
?
, cho mặt phẳng Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
đúng.
Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
đúng. Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [977411]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
có bảng biến thiên như hình vẽ.Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
A, 1.
B, 2.
C, 3.
D, 4.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì
Mặt khác
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì
Mặt khác
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 10 [801233]: Cho 
và 
Tích phân
bằng
và Tích phân bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 11 [695233]: Cho tứ diện đều 
cạnh 
Góc giữa hai vectơ 
và 
bằng
cạnh Góc giữa hai vectơ và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng 
Vì
là tứ diện đều nên 
là tam giác đều
Suy ra
mà 
nên 
do đó 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng Vì
là tứ diện đều nên là tam giác đềuSuy ra
mà nên do đó Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [695534]: Kết quả đo chiều cao của 100 cây dừa trồng sau 10 năm tại một vườn trái cây ở Bến Tre cho ở bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào dưới đây nhất?
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào dưới đây nhất?
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khoảng tứ phân vị).
Mức độ: Thông hiểu.
Cỡ mẫu
Gọi
là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Thông hiểu.
Cỡ mẫu
Gọi
là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Ta có:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1065368]: Cho hàm số 
a. Sai
Áp dụng công thức đạo hàm
b. Đúng
c. Sai
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
đạt cực đại tại 
d. Sai
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị của đại của hàm số là 1
Áp dụng công thức đạo hàm
b. Đúng
c. Sai
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
đạt cực đại tại d. Sai
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị của đại của hàm số là 1
Câu 14 [1103395]: Trong hệ toạ độ 
đơn vị mỗi trục là km, mặt đất trùng với mặt phẳng 
trục 
hướng lên, đường đi của máy bay được coi là đường thẳng và chúng được coi là các điểm. Một máy bay cất cánh từ mặt đất, đang tăng độ cao và được tháp kiểm soát không lưu phát hiện tại 
2 phút sau đó nó đi đến điểm 
Máy bay tiếp tục đi vào một lớp mây, bắt đầu ở độ cao 9 km và kết thúc ở độ cao 10 km. Ngay sau khi ra khỏi lớp mây, máy bay chuyển từ chế độ tăng độ cao sang chế độ bay ngang cùng chiều với tia 
đơn vị mỗi trục là km, mặt đất trùng với mặt phẳng trục hướng lên, đường đi của máy bay được coi là đường thẳng và chúng được coi là các điểm. Một máy bay cất cánh từ mặt đất, đang tăng độ cao và được tháp kiểm soát không lưu phát hiện tại 2 phút sau đó nó đi đến điểm Máy bay tiếp tục đi vào một lớp mây, bắt đầu ở độ cao 9 km và kết thúc ở độ cao 10 km. Ngay sau khi ra khỏi lớp mây, máy bay chuyển từ chế độ tăng độ cao sang chế độ bay ngang cùng chiều với tia
a) Sai.
Ta có
Chọn 
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Đường thẳng
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
có phương trình chính tắc là 
b) Đúng.
Gọi
là điểm máy bay cất cánh. Khi đó 
suy ra 
Thay
vào phương trình đường thẳng 
ta được 
Vậy máy bay cất cánh tại điểm có hoành độ bằng 16.
c) Đúng.
Vì vận tốc của máy bay là không đổi nên thời gian tính từ lúc cất cánh (tại điểm
đến khi vừa ra khỏi lớp mây (tức tại điểm 
của máy bay là 
Bước 1: Tính quãng đường
Vì
là điểm kết thúc lớp mây nên có độ cao 10 km nên cao độ của điểm 
bằng 10.
Mà
nên thay 
vào phương trình đường thẳng 
ta được 
Suy ra quãng đường
Bước 2: Tính vận tốc của máy bay
Vì máy bay đi từ
đến 
mất 2 phút nên vận tốc của máy bay là 
(km/phút).
Suy ra thời gian tính từ lúc cất cánh đến khi vừa ra khỏi lớp mây là
phút.
d) Đúng.
Nhận xét: Trong 30 phút bay:
10 phút đầu, máy bay bay từ
đến 
20 phút tiếp theo, máy bay bay từ
với vận tốc không đổi và bay ngang cùng chiều với tia 
(có vectơ chỉ phương là 
Khi đó khoảng cách cần tính là
Do đó, ta cần tìm tọa độ điểm 
Máy bay bay với vận tốc không đổi 3 km/phút và chuyển động cùng hướng với vectơ
nên có vectơ vận tốc là 
Vì ban đầu máy bay ở
nên sau 20 phút, máy bay ở vị trí 
Suy ra
Vậy
Ta có
Chọn là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
b) Đúng.
Gọi
là điểm máy bay cất cánh. Khi đó suy ra
Thay
vào phương trình đường thẳng ta được
Vậy máy bay cất cánh tại điểm có hoành độ bằng 16.
c) Đúng.
Vì vận tốc của máy bay là không đổi nên thời gian tính từ lúc cất cánh (tại điểm
đến khi vừa ra khỏi lớp mây (tức tại điểm của máy bay là
Bước 1: Tính quãng đường
Vì
là điểm kết thúc lớp mây nên có độ cao 10 km nên cao độ của điểm bằng 10.
Mà
nên thay vào phương trình đường thẳng ta được
Suy ra quãng đường
Bước 2: Tính vận tốc của máy bay
Vì máy bay đi từ
đến mất 2 phút nên vận tốc của máy bay là (km/phút).
Suy ra thời gian tính từ lúc cất cánh đến khi vừa ra khỏi lớp mây là
phút.
d) Đúng.
Nhận xét: Trong 30 phút bay:
10 phút đầu, máy bay bay từ
đến
20 phút tiếp theo, máy bay bay từ
với vận tốc không đổi và bay ngang cùng chiều với tia (có vectơ chỉ phương là
Khi đó khoảng cách cần tính là
Do đó, ta cần tìm tọa độ điểm
Máy bay bay với vận tốc không đổi 3 km/phút và chuyển động cùng hướng với vectơ
nên có vectơ vận tốc là
Vì ban đầu máy bay ở
nên sau 20 phút, máy bay ở vị trí
Suy ra
Vậy
Câu 15 [1103396]: Hình vẽ sau mô tả mặt cắt ngang của một cây cầu cao 6 mét, dài 16 mét rộng 4 mét, được giới hạn bởi hai đường mái dốc và các đường thẳng; cầu có hầm chui cao 4 mét, rộng 4 mét. Trên hệ toạ độ 
đường chui được mô hình hoá bằng hàm bậc bốn 
hai đường cong mái dốc được mô hình hoá bởi hai parabol 
và 
đối xứng nhau qua trục 
parabol bên phải là 
có đỉnh 
Các số liệu được cho như hình vẽ (đơn vị mỗi trục là mét), biết cây cầu có chiều rộng bằng 8 mét.
đường chui được mô hình hoá bằng hàm bậc bốn hai đường cong mái dốc được mô hình hoá bởi hai parabol và đối xứng nhau qua trục parabol bên phải là có đỉnh Các số liệu được cho như hình vẽ (đơn vị mỗi trục là mét), biết cây cầu có chiều rộng bằng 8 mét.
a) Đúng.
Kết hợp dữ kiện: Hầm chui cao 4 mét, rộng 4 mét và quan sát hình vẽ, ta thấy đường chui đi qua các điểm
nên ta có hệ phương trình 
b) Đúng.
Ghi nhớ: Parabol có đỉnh
có dạng 
Giả thiết cho: “Parabol bên phải là
có đỉnh 
” suy ra 
Lại có đồ thị hàm số
đi qua điểm 
nên ta có 
Vậy
c) Sai.
Kí hiệu vùng diện tích cần tính (tổng diện tích phần gạch chéo màu cam) như hình vẽ.
Vì hai parabol
và 
đối xứng nhau qua trục 
nên 
Khi đó diện tích phần mặt cắt giới hạn bởi hai parabol 
trục hoành, hai đường thẳng 
và 
trục hoành, hai đường thẳng 
bằng
d) Đúng.
Thể tích vật liệu để xây dựng cây cầu bằng
với 
là diện tích mặt cắt ngang của cây cầu. Từ các dữ kiện trên, kết hợp với dữ kiện “cây cầu cao 6 mét, dài 16 mét” ta kí hiệu như hình vẽ sau.
Từ hình vẽ, ta có
với 
là hình chữ nhật và 
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
trục hoành và các đường thẳng 
Vậy thể tích vật liệu để xây dựng cây cầu bằng
Kết hợp dữ kiện: Hầm chui cao 4 mét, rộng 4 mét và quan sát hình vẽ, ta thấy đường chui đi qua các điểm
nên ta có hệ phương trình
b) Đúng.
Ghi nhớ: Parabol có đỉnh
có dạng
Giả thiết cho: “Parabol bên phải là
có đỉnh ” suy ra
Lại có đồ thị hàm số
đi qua điểm nên ta có
Vậy
c) Sai.
Kí hiệu vùng diện tích cần tính (tổng diện tích phần gạch chéo màu cam) như hình vẽ.
Vì hai parabol
và đối xứng nhau qua trục nên Khi đó diện tích phần mặt cắt giới hạn bởi hai parabol trục hoành, hai đường thẳng và trục hoành, hai đường thẳng bằng
d) Đúng.
Thể tích vật liệu để xây dựng cây cầu bằng
với là diện tích mặt cắt ngang của cây cầu. Từ các dữ kiện trên, kết hợp với dữ kiện “cây cầu cao 6 mét, dài 16 mét” ta kí hiệu như hình vẽ sau.
Từ hình vẽ, ta có
với là hình chữ nhật và là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các đường thẳng
Vậy thể tích vật liệu để xây dựng cây cầu bằng
Câu 16 [696351]: Có hai đội thi đấu môn Bóng bàn. Đội 
có 6 vận động viên, đội 
có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội 
và đội 
tương ứng là 
và 
Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.
Gọi
là biến cố: “Vận động viên được chọn thuộc đội I”.
Gọi
là biến cố: “Vận động viên được chọn đạt huy chương đồng”.
có 6 vận động viên, đội có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội và đội tương ứng là và Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.Gọi
là biến cố: “Vận động viên được chọn thuộc đội I”. Gọi
là biến cố: “Vận động viên được chọn đạt huy chương đồng”.
a) Sai.
Ta có
Do đó
b) Đúng.
YCBT
Tính 
Ta có
là biến cố “Vận động viên được chọn thuộc đội II”.
Suy ra
Lại có
c) Đúng.
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là
d) Sai.
YCBT
Tính 
Áp dụng công thức Bayes, ta có
Ta có
Do đó
b) Đúng.
YCBT
Tính
Ta có
là biến cố “Vận động viên được chọn thuộc đội II”.
Suy ra
Lại có
c) Đúng.
Ta có sơ đồ cây sau:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là
d) Sai.
YCBT
Tính
Áp dụng công thức Bayes, ta có
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1063533]: Cho khối lăng trụ đứng 
có đáy 
là tam giác vuông cân tại 
cạnh bên 
góc nhị diện 
có số đo bằng 
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
có đáy là tam giác vuông cân tại cạnh bên góc nhị diện có số đo bằng Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích lăng trụ).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Dựng
do đó 
Đặt
Suy ra
Mức độ: Vận dụng (7+).
Dựng
do đó Đặt
Suy ra
Câu 18 [1093677]: Một nhà khoa học nghiên cứu sự suy giảm lượng caffeine trong cơ thể. Cô mô hình hóa lượng caffeine bằng hàm số 
trong đó 
(miligam) là lượng caffeine ban đầu và m là lượng caffeine còn lại sau t giờ, k là hệ số suy giảm. Biết rằng thời gian để lượng caffeine giảm còn một nửa (thời gian bán rã) là 5,7 giờ. Một tách cà phê đậm đặc chứa 200 mg caffeine. Lúc 8 giờ sáng, nhà khoa học uống hai tách cà phê đậm đặc. Hỏi vào lúc 12 giờ trưa, lượng caffeine còn lại trong cơ thể là bao nhiêu miligam (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
trong đó (miligam) là lượng caffeine ban đầu và m là lượng caffeine còn lại sau t giờ, k là hệ số suy giảm. Biết rằng thời gian để lượng caffeine giảm còn một nửa (thời gian bán rã) là 5,7 giờ. Một tách cà phê đậm đặc chứa 200 mg caffeine. Lúc 8 giờ sáng, nhà khoa học uống hai tách cà phê đậm đặc. Hỏi vào lúc 12 giờ trưa, lượng caffeine còn lại trong cơ thể là bao nhiêu miligam (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số mũ).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
Yêu cầu bài toán: Tính lượng caffeine còn lại trong cơ thể, biết lượng caffeine còn lại sau
giờ được tính theo công thức 
Vì thế ta cần xác định các giá trị
tương ứng với giả thiết bài toán:
Vì nhà khoa học đã uống 2 tách cà phê đậm đặc (mỗi tách chứa 200 mg caffeine) nên lượng caffeine ban đầu nhà khoa học uống là
Biết nhà khoa học uống lúc 8 giờ sáng nên vào lúc 12 giờ tức sau
giờ.
Từ giả thiết: “Biết rằng thời gian để lượng caffeine giảm còn một nửa (thời gian bán rã) là 5,7 giờ” tức nếu ban đầu nhà khoa học uống
caffeine thì sau 5,7 giờ lượng caffeine còn lại là 
nên ta có 
Vậy vào lúc 12 giờ trưa, lượng caffeine còn lại trong cơ thể nhà khoa học là
Điền đáp án: 246.
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
Yêu cầu bài toán: Tính lượng caffeine còn lại trong cơ thể, biết lượng caffeine còn lại sau
giờ được tính theo công thức
Vì thế ta cần xác định các giá trị
tương ứng với giả thiết bài toán:
Vì nhà khoa học đã uống 2 tách cà phê đậm đặc (mỗi tách chứa 200 mg caffeine) nên lượng caffeine ban đầu nhà khoa học uống là
Biết nhà khoa học uống lúc 8 giờ sáng nên vào lúc 12 giờ tức sau
giờ.
Từ giả thiết: “Biết rằng thời gian để lượng caffeine giảm còn một nửa (thời gian bán rã) là 5,7 giờ” tức nếu ban đầu nhà khoa học uống
caffeine thì sau 5,7 giờ lượng caffeine còn lại là nên ta có
Vậy vào lúc 12 giờ trưa, lượng caffeine còn lại trong cơ thể nhà khoa học là
Điền đáp án: 246.
Câu 19 [1103540]: Một tòa nhà ở nông thôn có mặt cắt ngang là một đa giác có 6 cạnh và độ dài các cạnh có kích thước 6 mét, 15 mét, 18 mét và 15 mét (tham khảo hình vẽ). Một con bò bị buộc bằng một sợi dây dài 30 mét vào góc bên trong của tòa nhà. Hãy tìm diện tích tối đa mà con bò có thể gặm cỏ theo đơn vị mét vuông (không làm tròn các phép tính trung gian, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).
Gợi ý: Con bò quét qua các cạnh của ngôi nhà sẽ tạo nên các hình quạt (với sợi dây buộc con bò dài 30 mét).
Nhắc lại: Công thức tính diện tích hình quạt:
với 
là bán kính đường tròn, 
là góc ở tâm (đơn vị độ).
Minh họa diện tích con bò quét được như hình vẽ.
Khi đó diện tích tối đa con bò có thể gặm cỏ bằng
+) Diện tích
là diện tích hình quạt tròn có bán kính 
góc ở tâm là 
nên 
+) Diện tích
Kẻ đường thẳng
và các điểm như hình vẽ.
Ta có
Suy ra
(hai góc đồng vị).
là diện tích hình quạt tròn có bán kính 
góc ở tâm là 
nên 
+) Diện tích
là diện tích hình quạt tròn có bán kính 
góc ở tâm là 
nên 
+) Diện tích
là diện tích hình quạt tròn có bán kính 
góc ở tâm là 
nên 
Vậy diện tích tối đa mà con bò có thể gặm cỏ bằng
Điền đáp án: 1162.
Nhắc lại: Công thức tính diện tích hình quạt:
với là bán kính đường tròn, là góc ở tâm (đơn vị độ).Minh họa diện tích con bò quét được như hình vẽ.
Khi đó diện tích tối đa con bò có thể gặm cỏ bằng
+) Diện tích
là diện tích hình quạt tròn có bán kính góc ở tâm là nên +) Diện tích
Kẻ đường thẳng
và các điểm như hình vẽ.Ta có
Suy ra
(hai góc đồng vị). là diện tích hình quạt tròn có bán kính góc ở tâm là nên +) Diện tích
là diện tích hình quạt tròn có bán kính góc ở tâm là nên +) Diện tích
là diện tích hình quạt tròn có bán kính góc ở tâm là nên Vậy diện tích tối đa mà con bò có thể gặm cỏ bằng
Điền đáp án: 1162.
Câu 20 [1042347]: Trong một số mô hình sinh học, phản ứng của cơ thể người đối với một loại thuốc cụ thể được đo bởi một hàm số bậc ba 
trong đó 
là lượng thuốc được hấp thụ vào máu, đơn vị là mg, 
là tỉ lệ đáp ứng tính theo phần trăm. Độ nhạy cảm của cơ thể đối với thuốc đó (phần trăm mỗi mg) được tính bằng đạo hàm 
. Cơ thể đáp ứng tốt nhất là 100% khi nồng độ thuốc trong máu là 200 mg và độ nhạy cảm lớn nhất là 0,75% mỗi mg khi nồng độ trong máu đạt 100 mg. Tỉ lệ đáp ứng của bệnh nhân khi nồng độ thuốc trong máu đạt 240 mg bằng bao nhiêu phần trăm?
trong đó là lượng thuốc được hấp thụ vào máu, đơn vị là mg, là tỉ lệ đáp ứng tính theo phần trăm. Độ nhạy cảm của cơ thể đối với thuốc đó (phần trăm mỗi mg) được tính bằng đạo hàm . Cơ thể đáp ứng tốt nhất là 100% khi nồng độ thuốc trong máu là 200 mg và độ nhạy cảm lớn nhất là 0,75% mỗi mg khi nồng độ trong máu đạt 100 mg. Tỉ lệ đáp ứng của bệnh nhân khi nồng độ thuốc trong máu đạt 240 mg bằng bao nhiêu phần trăm?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trong một số mô hình sinh học, phản ứng của cơ thể người đối với một loại thuốc cụ thể được đo bởi một hàm số bậc ba
trong đó 
là lượng thuốc được hấp thụ vào máu, đơn vị là 
là tỉ lệ đáp ứng tính theo phần trăm.
- Độ nhạy cảm của cơ thể đối với thuốc đó (phần trăm mỗi mg ) được tính bằng đạo hàm
- Cơ thể đáp ứng tốt nhất là
khi nồng độ thuốc trong máu là 200 mg và độ nhạy cảm lớn nhất là 
mỗi mg khi nồng độ trong máu đạt 100 mg .
b) Yêu cầu:
- Tỉ lệ đáp ứng của bệnh nhân khi nồng độ thuốc trong máu đạt 240 mg bằng bao nhiêu phần trăm?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm các hệ số của hàm số bậc ba.
Phần 3. Giải chi tiết
%
Điền đáp án: 86,4.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Trong một số mô hình sinh học, phản ứng của cơ thể người đối với một loại thuốc cụ thể được đo bởi một hàm số bậc ba
trong đó là lượng thuốc được hấp thụ vào máu, đơn vị là là tỉ lệ đáp ứng tính theo phần trăm. - Độ nhạy cảm của cơ thể đối với thuốc đó (phần trăm mỗi mg ) được tính bằng đạo hàm
- Cơ thể đáp ứng tốt nhất là
khi nồng độ thuốc trong máu là 200 mg và độ nhạy cảm lớn nhất là mỗi mg khi nồng độ trong máu đạt 100 mg . b) Yêu cầu:
- Tỉ lệ đáp ứng của bệnh nhân khi nồng độ thuốc trong máu đạt 240 mg bằng bao nhiêu phần trăm?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm các hệ số của hàm số bậc ba.
Phần 3. Giải chi tiết
%Điền đáp án: 86,4.
Câu 21 [1106737]: Cho hình tứ diện đều 
Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu thêm 3 điểm chia đều cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Gọi 
là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu.
Lấy ra từ
một tam giác, xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho bằng 
(
là phân số tối giản, 
). Tính 
Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu thêm 3 điểm chia đều cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Gọi là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu.Lấy ra từ
một tam giác, xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho bằng ( là phân số tối giản, ). Tính
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Bước 1: Xác định số phần tử của tập hợp
(hay của không gian mẫu)
Sử dụng phần bù, ta có:
Số tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu = Số cách chọn ra 3 điểm trong 18 điểm đã đánh dấu – Số trường hợp không tạo thành tam giác.
Số cách chọn ra 3 điểm trong 18 điểm đã đánh dấu là
Note: Nối 3 điểm phân biệt, không thẳng hàng sẽ tạo thành 1 tam giác.
Do đó 3 điểm cùng thuộc một cạnh của tứ diện là thẳng thẳng hàng sẽ không tạo thành tam giác. Mà tứ diện có 6 cạnh nên có 6 trường hợp không tạo thành tam giác.
Vậy số phần tử của tập hợp
là 
Bước 2: Tìm số phần tử thỏa mãn điều kiện “3 điểm thuộc mặt phẳng song song với 1 cạnh của tứ diện”
Gọi
là biến cố “3 điểm thuộc mặt phẳng song song với đúng 1 cạnh của tứ diện”. Gợi ý: Sử dụng quy tắc nhân.
Bước 2.1: Số cách chọn ra 1 cạnh của tứ diện để mặt phẳng
song song với cạnh đó: 
cách.
Bước 2.2: Số cách chọn ra 1 đoạn thẳng song song với 1 cạnh của tứ diện
Ví dụ chọn cạnh
có 6 cách (là các đoạn màu đỏ trong hình, trừ đoạn 
Bước 2.3: Số cách chọn 1 điểm còn lại thỏa mãn không song song với cạnh nào khác cạnh
Ví dụ ở bước 2.2 ta chọn cạnh
thì số cách chọn 1 điểm còn lại thỏa mãn là 6 cách (vì chỉ có các điểm 
thỏa mãn) (tham khảo hình vẽ).
Suy ra
Suy ra
Điền đáp án: 3379.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Bước 1: Xác định số phần tử của tập hợp
(hay của không gian mẫu)Sử dụng phần bù, ta có:
Số tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu = Số cách chọn ra 3 điểm trong 18 điểm đã đánh dấu – Số trường hợp không tạo thành tam giác.
Số cách chọn ra 3 điểm trong 18 điểm đã đánh dấu là
Note: Nối 3 điểm phân biệt, không thẳng hàng sẽ tạo thành 1 tam giác.
Do đó 3 điểm cùng thuộc một cạnh của tứ diện là thẳng thẳng hàng sẽ không tạo thành tam giác. Mà tứ diện có 6 cạnh nên có 6 trường hợp không tạo thành tam giác.
Vậy số phần tử của tập hợp
là Bước 2: Tìm số phần tử thỏa mãn điều kiện “3 điểm thuộc mặt phẳng song song với 1 cạnh của tứ diện”
Gọi
là biến cố “3 điểm thuộc mặt phẳng song song với đúng 1 cạnh của tứ diện”. Gợi ý: Sử dụng quy tắc nhân.Bước 2.1: Số cách chọn ra 1 cạnh của tứ diện để mặt phẳng
song song với cạnh đó: cách.Bước 2.2: Số cách chọn ra 1 đoạn thẳng song song với 1 cạnh của tứ diện
Ví dụ chọn cạnh
có 6 cách (là các đoạn màu đỏ trong hình, trừ đoạn Bước 2.3: Số cách chọn 1 điểm còn lại thỏa mãn không song song với cạnh nào khác cạnh
Ví dụ ở bước 2.2 ta chọn cạnh
thì số cách chọn 1 điểm còn lại thỏa mãn là 6 cách (vì chỉ có các điểm thỏa mãn) (tham khảo hình vẽ).Suy ra
Suy ra
Điền đáp án: 3379.
Câu 22 [1042447]: Một mái vòm nhà thờ có thể tích là 200 mét khối được thiết kế với ba giá đỡ hình parabol có hình dạng giống nhau sao cho mỗi mặt cắt ngang (theo phương nằm ngang) đều là một lục giác đều (tham khảo như hình vẽ). Ba parabol có cùng đỉnh và chiều cao, đáy vòm là một hình lục giác đều có độ dài đường chéo bằng 10 mét. Chiều cao của mái vòm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết mái vòm cao không quá 10 mét.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
a) Đề cho:
- Một mái vòm nhà thờ có thể tích là 200 mét khối được thiết kế với ba giá đỡ hình parabol có hình dạng giống nhau sao cho mỗi mặt cắt ngang (theo phương nằm ngang) đều là một lục giác đều
- Ba parabol có cùng đỉnh và chiều cao, đáy vòm là một hình lục giác đều có độ dài đường chéo bằng 10 mét.
b) Yêu cầu:
- Chiều cao của mái vòm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm biểu diễn diện tích mặt cắt ngang, từ đó tìm được chiều cao.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình parabol đi qua 3 điểm
có dạng 
Đặt
Hoành độ của điểm
là nghiệm của phương trình
Diện tích mặt cắt ngang là
Thể tích của mái vòm bằng 200 mét nên ta có:
Điền đáp án: 6,16.
Mức độ: Vận dụng (8+).
a) Đề cho:
- Một mái vòm nhà thờ có thể tích là 200 mét khối được thiết kế với ba giá đỡ hình parabol có hình dạng giống nhau sao cho mỗi mặt cắt ngang (theo phương nằm ngang) đều là một lục giác đều
- Ba parabol có cùng đỉnh và chiều cao, đáy vòm là một hình lục giác đều có độ dài đường chéo bằng 10 mét.
b) Yêu cầu:
- Chiều cao của mái vòm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Lập hàm biểu diễn diện tích mặt cắt ngang, từ đó tìm được chiều cao.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình parabol đi qua 3 điểm
có dạng Đặt
Hoành độ của điểm
là nghiệm của phương trình Diện tích mặt cắt ngang là
Thể tích của mái vòm bằng 200 mét nên ta có:
Điền đáp án: 6,16.