PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [876271]: Trong không gian 
cho đường thẳng 
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của 
cho đường thẳng Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Đường thẳng có phương trình tham số
có vectơ chỉ phương là 
Từ phương trình đường thẳng đã cho, suy ra
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Đường thẳng có phương trình tham số
có vectơ chỉ phương là Từ phương trình đường thẳng đã cho, suy ra
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [215989]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
có bảng biến thiên như sau:Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Từ bảng biến thiên, xét từ trái qua phải ta thấy
đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) tại điểm 
nên 
là điểm cực tiểu của hàm số.
Suy ra giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Từ bảng biến thiên, xét từ trái qua phải ta thấy
đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) tại điểm nên là điểm cực tiểu của hàm số.Suy ra giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [1057841]: Cho dãy số 
Khi đó 
bằng
Khi đó bằng A, 4.
B, 3.
C, 2.
D, 1.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Dãy số).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [876284]: Cho 
là một nguyên hàm của hàm số 
Khi đó hiệu số 
bằng
là một nguyên hàm của hàm số Khi đó hiệu số bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Khái niệm tích phân: Hàm số
liên tục trên đoạn 
Nếu 
là nguyên hàm của 
trên đoạn 
thì 
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Khái niệm tích phân: Hàm số
liên tục trên đoạn Nếu là nguyên hàm của trên đoạn thì
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 5 [732896]: Trên khoảng 
, đạo hàm của hàm số 
là
, đạo hàm của hàm số là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các quy tắc tính đạo hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Công thức đạo hàm logarit: Hàm số
có đạo hàm trên khoảng 
và 
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit ta được
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Công thức đạo hàm logarit: Hàm số
có đạo hàm trên khoảng và Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit ta được
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 6 [802236]: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
lần lượt là
lần lượt là A, 
; 
.
; .B, 
; 
.
; .C, 
; 
.
; .D, 
; 
.
; .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số lượng giác).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Lời giải chi tiết:
Ta có
(nhân các vế của BPT với 3 là một số dương nên BPT không đảo chiều)
(Cộng các vế của BPT với 
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là
.
Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Lời giải chi tiết:
Ta có
(nhân các vế của BPT với 3 là một số dương nên BPT không đảo chiều) (Cộng các vế của BPT với Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là
.Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Câu 7 [876285]: Cho hình hộp chữ nhật 
Khi đó, vectơ bằng vectơ 
là vectơ nào dưới đây?
Khi đó, vectơ bằng vectơ là vectơ nào dưới đây? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng (tức cùng phương (song song hoặc trùng nhau) và cùng chiều) và có độ dài bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng thấy
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng (tức cùng phương (song song hoặc trùng nhau) và cùng chiều) và có độ dài bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng thấy
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 8 [876279]: Nghiệm của phương trình 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Phương trình mũ cơ bản:
Với
Với
phương trình đã cho vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Phương trình mũ cơ bản:
Với
Với
phương trình đã cho vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [876297]: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian hoàn thành (phút) một bài kiểm tra trực tuyến của 100 học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra là
Thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra là
A, 
phút.
phút.B, 
phút.
phút.C, 
phút.
phút.D, 
phút.
phút.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có bảng phân bố tần số theo giá trị đại diện như sau:
Thời gian trung bình để học sinh hoàn thành bài kiểm tra là
(phút).
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có bảng phân bố tần số theo giá trị đại diện như sau:
Thời gian trung bình để học sinh hoàn thành bài kiểm tra là
(phút).Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 10 [876288]: Cho hàm số 
liên tục trên đoạn 
và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi 
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 
Ta có 
bằng
liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn Ta có bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào đồ thị ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
là 
giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
là 
Vậy
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Dựa vào đồ thị ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là Vậy
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [876292]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi đường cong 
trục hoành và các đường thẳng 
Khối tròn xoay tạo thành khi 
quay quanh trục hoành có thể tích 
bằng bao nhiêu?
giới hạn bởi đường cong trục hoành và các đường thẳng Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân: Thể tích khối tròn xoay).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại:
Thể tích khối tròn xoay: Cho hàm số
liên tục, không âm trên đoạn 
Hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và hai đường 
quay quanh trục 
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng 
Một số công thức nguyên hàm sử dụng:
Lời giải chi tiết:
(Vì 
nên 
luôn dương)
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại:
Thể tích khối tròn xoay: Cho hàm số
liên tục, không âm trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường quay quanh trục tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng
Một số công thức nguyên hàm sử dụng:
Lời giải chi tiết:
(Vì nên luôn dương)
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [876293]: Cho hình chóp 
có đáy là hình vuông cạnh 
và 
Tính số đo góc nhị diện
có đáy là hình vuông cạnh và Tính số đo góc nhị diện A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc nhị diện).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Ta có
mà 
nên suy ra 
Từ (1) và (2) suy ra góc nhị diện
(vì 
nên tam giác 
cân tại 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Ta có
mà nên suy ra
Từ (1) và (2) suy ra góc nhị diện
(vì nên tam giác cân tại
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1094911]: Cho hàm số 
a) Sai.
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số
là 
b) Sai.
c) Đúng.
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp
ta có
Nên suy ra hàm số
nghịch biến trên khoảng 
Mà
nên hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
d) Sai.
(vì 
nên dấu của bất đẳng thức đảo chiều)
Kết hợp với điều kiện xác định là
và 
ta suy ra 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình 
chứa đúng 9 số nguyên.
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số
là
b) Sai.
c) Đúng.
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp
ta có
Nên suy ra hàm số
nghịch biến trên khoảng
Mà
nên hàm số nghịch biến trên khoảng
d) Sai.
(vì nên dấu của bất đẳng thức đảo chiều)
Kết hợp với điều kiện xác định là
và ta suy ra Vậy tập nghiệm của bất phương trình chứa đúng 9 số nguyên.
Câu 14 [1094912]: Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Nồng độ thuốc trong máu có thể được mô tả bằng hàm số 
trong đó 
là thời gian tính bằng giờ kể từ khi tiêm và 
là các hằng số thực. Biết rằng sau 1 giờ tiêm nồng độ thuốc trong máu là 0,3 mg/ml và tại thời điểm ban đầu 
nồng độ thuốc tăng với tốc độ 
mỗi giờ. Khi đó
trong đó là thời gian tính bằng giờ kể từ khi tiêm và là các hằng số thực. Biết rằng sau 1 giờ tiêm nồng độ thuốc trong máu là 0,3 mg/ml và tại thời điểm ban đầu nồng độ thuốc tăng với tốc độ mỗi giờ. Khi đó
a) Đúng.
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích
ta có
Vậy
b) Sai.
Từ giả thiết: “tại thời điểm ban đầu
nồng độ thuốc tăng với tốc độ 
mỗi giờ”, ta có 
Suy ra
c) Đúng.
Từ giả thiết: “sau 1 giờ tiêm nồng độ thuốc trong máu là 0,3 mg/ml” ta có
Suy ra
d) Sai.
Khảo sát hàm số
trên khoảng 
Ta có
(thay các giá trị của 
tìm được vào 
thu được ở í a)
(vì 
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra nồng độ thuốc trong máu lớn nhất là
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích
ta có
Vậy
b) Sai.
Từ giả thiết: “tại thời điểm ban đầu
nồng độ thuốc tăng với tốc độ mỗi giờ”, ta có
Suy ra
c) Đúng.
Từ giả thiết: “sau 1 giờ tiêm nồng độ thuốc trong máu là 0,3 mg/ml” ta có
Suy ra
d) Sai.
Khảo sát hàm số
trên khoảng
Ta có
(thay các giá trị của tìm được vào thu được ở í a)
(vì
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra nồng độ thuốc trong máu lớn nhất là
Câu 15 [1094913]: Trên một đường sắt, có hai nhà ga A và ga B cách nhau 3,6 kilomet. Để đảm bảo an toàn thì các kĩ sư đường sắt thiết kế tốc độ của tàu như sau:
§ Khi đi qua nhà ga A tàu phải tăng tốc trong 15 giây với phương trình tốc độ (m/s) là
trong đó 
và 
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
§ Khi đạt tốc độ lớn nhất thì tàu tiếp tục di chuyển với vận tốc đó trong
giây.
§ Sau đó tàu giảm tốc trong 15 giây với tốc độ là một hàm bậc ba có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số
(như hình vẽ).
§ Khi đi qua nhà ga A tàu phải tăng tốc trong 15 giây với phương trình tốc độ (m/s) là
trong đó và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số § Khi đạt tốc độ lớn nhất thì tàu tiếp tục di chuyển với vận tốc đó trong
giây. § Sau đó tàu giảm tốc trong 15 giây với tốc độ là một hàm bậc ba có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số
(như hình vẽ).
a) Đúng.
Ta có
Từ giả thiết
và 
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
Suy ra 
Và
và 
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình
Suy ra
b) Sai.
Từ kết quả câu a), ta suy ra
c) Đúng.
Nhắc lại: Quãng đường vật đi được từ
đến 
là 
Quãng đường vật đi được trong 15 giây đầu (tức từ 0 đến 15 giây) là
Vì hàm biểu thị vận tốc ở 15 giây cuối là hàm bậc ba có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số
nên quãng đường vật đi được trong 15 giây cuối sẽ bằng với quãng đường vật đi được trong 15 giây đầu. Khi đó tổng quãng đường tàu đi được trong 15 giây đầu và 15 giây cuối bằng 
d) Sai.
Tổng thời gian tàu di chuyển từ A đến B bằng
Gọi
là quãng đường tàu đi trong 
giây.
Từ giả thiết: “Khi đạt tốc độ lớn nhất thì tàu tiếp tục di chuyển với vận tốc đó trong
giây” kết hợp với quan sát hình vẽ, ta suy ra vận tốc tàu đi trong khoảng thời gian 
là 
Vì vận tốc là không đổi trong khoảng thời gian
nên 
Vậy tổng thời gian tàu di chuyển từ A đến B bằng
Ta có
Từ giả thiết
và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Suy ra Và
và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình
Suy ra
b) Sai.
Từ kết quả câu a), ta suy ra
c) Đúng.
Nhắc lại: Quãng đường vật đi được từ
đến là Quãng đường vật đi được trong 15 giây đầu (tức từ 0 đến 15 giây) là
Vì hàm biểu thị vận tốc ở 15 giây cuối là hàm bậc ba có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số
nên quãng đường vật đi được trong 15 giây cuối sẽ bằng với quãng đường vật đi được trong 15 giây đầu. Khi đó tổng quãng đường tàu đi được trong 15 giây đầu và 15 giây cuối bằng d) Sai.
Tổng thời gian tàu di chuyển từ A đến B bằng
Gọi
là quãng đường tàu đi trong giây. Từ giả thiết: “Khi đạt tốc độ lớn nhất thì tàu tiếp tục di chuyển với vận tốc đó trong
giây” kết hợp với quan sát hình vẽ, ta suy ra vận tốc tàu đi trong khoảng thời gian là Vì vận tốc là không đổi trong khoảng thời gian
nên Vậy tổng thời gian tàu di chuyển từ A đến B bằng
Câu 16 [1071437]: Cho hình chóp 
có 
vuông góc với đáy, 
là hình chữ nhật với 
và 
là trung điểm của 
(tham khảo hình vẽ).
có vuông góc với đáy, là hình chữ nhật với và là trung điểm của (tham khảo hình vẽ).
Vì 
và 
là hình chữ nhật nên 
Do đó, ta gắn hệ trục tọa độ với 
Suy ra
a) Cách 1: Vì
là trung điểm của 
nên theo quy tắc trung tuyến, ta có 
Cách 2: Thực hiện kiểm chứng bằng tọa độ của vectơ.
Vì
là trung điểm của 
nên 
Ta có
suy ra 
Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có
Suy ra 
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
Suy ra
Suy ra mệnh đề d) đúng.
và là hình chữ nhật nên Do đó, ta gắn hệ trục tọa độ với Suy ra
a) Cách 1: Vì
là trung điểm của nên theo quy tắc trung tuyến, ta có Cách 2: Thực hiện kiểm chứng bằng tọa độ của vectơ.
Vì
là trung điểm của nên Ta có
suy ra Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có
Suy ra Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
Suy ra
Suy ra mệnh đề d) đúng.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1094970]: Một công ty công nghệ sản xuất một loại sản phẩm mới. Công ty xác định rằng lợi nhuận 
(đơn vị: triệu VNĐ) thu được từ việc sản xuất và bán hàng được mô hình hóa bởi hàm số: 
Trong đó, 
là số sản phẩm tồn kho, với 
và 
Công ty cần tính toán lượng tồn kho để thu về lợi nhuận tối đa, hỏi lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
(đơn vị: triệu VNĐ) thu được từ việc sản xuất và bán hàng được mô hình hóa bởi hàm số: Trong đó, là số sản phẩm tồn kho, với và Công ty cần tính toán lượng tồn kho để thu về lợi nhuận tối đa, hỏi lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Nội dung kiến thức: Chuyên đề học tập lớp 12 (Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn).
Mức độ: Vận dụng (8+)
Phân tích bài toán:
Giả thiết bài toán: Hàm số
biểu diễn lợi nhuận thu được theo số sản phẩm tồn kho 
Yêu cầu bài toán: Tìm lợi nhuận (triệu đồng) tối đa công ty thu được
Khi đó bài toán đã cho trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn 
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm các điểm
trên khoảng 
mà tại đó 
hoặc 
không xác định.
Bước 2: Tính
Bước 3: Tìm số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 2. Khi đó giá trị này chính là
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hàm số
trên đoạn 
Ta có
Bước 2: Ta có
Bước 3: Từ bước 2 suy ra
Vậy lợi nhuận tối đa mà công ty thu được là 661 triệu đồng.
Điền đáp án: 661.
Mức độ: Vận dụng (8+)
Phân tích bài toán:
Giả thiết bài toán: Hàm số
biểu diễn lợi nhuận thu được theo số sản phẩm tồn kho Yêu cầu bài toán: Tìm lợi nhuận (triệu đồng) tối đa công ty thu được
Khi đó bài toán đã cho trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn Ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Tìm các điểm
trên khoảng mà tại đó hoặc không xác định.Bước 2: Tính
Bước 3: Tìm số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 2. Khi đó giá trị này chính là
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hàm số
trên đoạn Ta có
Bước 2: Ta có
Bước 3: Từ bước 2 suy ra
Vậy lợi nhuận tối đa mà công ty thu được là 661 triệu đồng.
Điền đáp án: 661.
Câu 18 [1104998]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình thoi tâm 
cạnh 
hình chiếu vuông góc của đỉnh 
lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm 
của tam giác đều 
biết số đo góc nhị diện
bằng 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
có đáy là hình thoi tâm cạnh hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác đều biết số đo góc nhị diện bằng Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán 11: Quan hệ vuông góc trong không gian (Khoảng cách)
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xác định chiều cao
Gọi
là tâm của hình thoi 
Nên 
là trung điểm của 
Kẻ
là đường trung tuyến của tam giác đều 
Khi đó trọng tâm 
là giao điểm của 
và 
Vì tam giác
đều nên 
là đường trung tuyến, cũng là đường cao của tam giác 
Mà 
nên 
Vì
là hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
nên 
Suy ra 
Từ (1) và (2) suy ra
Vì
nên góc nhị diện 
Ta có
(công thức tính nhanh độ dài đường cao tam giác đều bằng 
với 
là độ dài cạnh của tam giác).
Suy ra
Trong tam giác vuông 
ta có 
Bước 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và 
Cách 1: Từ
kẻ đường thẳng 
song song với 
Khi đó 
Kẻ
Khi đó ta chứng minh được 
nên 
Từ cách dựng ta có
là hình chữ nhật nên 
Trong tam giác vuông
ta có 
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
và 
bằng 0,45.
Cách 2: Áp dụng công thức một con kiến hư (1-c-k-h) để tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt phẳng bên.
Các em xem video thầy trình bày và video lý thuyết để hiểu cách áp dụng công thức một con kiến hư này nhé!
Điền đáp án: 0,45.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xác định chiều cao
Gọi
là tâm của hình thoi Nên là trung điểm của Kẻ
là đường trung tuyến của tam giác đều Khi đó trọng tâm là giao điểm của và Vì tam giác
đều nên là đường trung tuyến, cũng là đường cao của tam giác Mà nên Vì
là hình chiếu của trên mặt phẳng nên Suy ra Từ (1) và (2) suy ra
Vì
nên góc nhị diện Ta có
(công thức tính nhanh độ dài đường cao tam giác đều bằng với là độ dài cạnh của tam giác).Suy ra
Trong tam giác vuông ta có Bước 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và Cách 1: Từ
kẻ đường thẳng song song với Khi đó Kẻ
Khi đó ta chứng minh được nên Từ cách dựng ta có
là hình chữ nhật nên Trong tam giác vuông
ta có Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
và bằng 0,45.Cách 2: Áp dụng công thức một con kiến hư (1-c-k-h) để tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt phẳng bên.
Các em xem video thầy trình bày và video lý thuyết để hiểu cách áp dụng công thức một con kiến hư này nhé!
Điền đáp án: 0,45.
Câu 19 [1094971]: Một chiếc lều xiếc khối tròn xoay có hình dạng như hình bên. Lều gồm có hai phần, phần hình trụ ở dưới có đường kính đáy bằng 20 mét, chiều cao bằng 3 mét, phần trên là một khối tròn xoay khác tiếp giáp với phần hình trụ có chiều cao là 10 mét, trên đỉnh là lỗ tròn có đường kính 4 mét để lấy ánh sáng. Trong hệ toạ độ 
đường cong biên của mái lều được mô hình hoá bằng một parabol đỉnh 
(tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của chiếc lều theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
đường cong biên của mái lều được mô hình hoá bằng một parabol đỉnh (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của chiếc lều theo đơn vị mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đính chính: Để tránh gây ra hiểu nhầm về câu hỏi của đề, các em sửa "Tính thể tích của mái lều" thành "Tính thể tích của chiếc lều" như trên web nhé!
Nội dung kiến thức: Toán 12. Ứng dụng hình học của tích phân.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phân tích dữ kiện đề bài:
Giả thiết: Khối trụ: có đường kính 20 mét và chiều cao 3 mét;
Khối tròn xoay: có chiều cao 10 mét và lỗ tròn trên đỉnh có đường kính 4 mét.
Yêu cầu bài toán: Thể tích của chiếc lều cần tính bằng tổng thể tích của phần trụ ở dưới với phần thể tích khối tròn xoay ở trên.
![]()
Bước 1: Tính thể tích phần trụ:
Công thức thể tích hình trụ:
với 
là diện tích đáy và 
là chiều cao của hình trụ.
Thể tích phần trụ là
Bước 2: Tính thể tích phần khối tròn xoay ở trên:
Gọi
là parabol biểu diễn đường cong biên của mái lều.
Khi đó phần trên của lều là khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol
và các đường thẳng 
quanh trục 
Suy ra thể tích phần khối tròn xoay ở trên là
Tiếp theo, ta sẽ đi tìm phương trình parabol
Dữ kiện bài toán cho parabol đi qua điểm
và đỉnh 
Công thức nhanh: Parabol có đỉnh
có dạng 
Suy ra phương trình parabol có dạng
Mà
nên 
Suy ra
(vì quan sát trên hình vẽ, ta thấy 
nên 
Vậy thể tích khối tròn xoay là
Suy ra thể tích của chiếc lều bằng
Vậy thể tích của chiếc lều bằng 1738 mét khối.
Điền đáp án: 1738.
Nội dung kiến thức: Toán 12. Ứng dụng hình học của tích phân.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Phân tích dữ kiện đề bài:
Giả thiết: Khối trụ: có đường kính 20 mét và chiều cao 3 mét;
Khối tròn xoay: có chiều cao 10 mét và lỗ tròn trên đỉnh có đường kính 4 mét.
Yêu cầu bài toán: Thể tích của chiếc lều cần tính bằng tổng thể tích của phần trụ ở dưới với phần thể tích khối tròn xoay ở trên.
Bước 1: Tính thể tích phần trụ:
Công thức thể tích hình trụ:
với là diện tích đáy và là chiều cao của hình trụ.Thể tích phần trụ là
Bước 2: Tính thể tích phần khối tròn xoay ở trên:
Gọi
là parabol biểu diễn đường cong biên của mái lều.Khi đó phần trên của lều là khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol
và các đường thẳng quanh trục Suy ra thể tích phần khối tròn xoay ở trên là
Tiếp theo, ta sẽ đi tìm phương trình parabol
Dữ kiện bài toán cho parabol đi qua điểm
và đỉnh Công thức nhanh: Parabol có đỉnh
có dạng Suy ra phương trình parabol có dạng
Mà
nên Suy ra
(vì quan sát trên hình vẽ, ta thấy nên Vậy thể tích khối tròn xoay là
Suy ra thể tích của chiếc lều bằng
Vậy thể tích của chiếc lều bằng 1738 mét khối.
Điền đáp án: 1738.
Câu 20 [1094972]: Trong hệ trục toạ độ 
đơn vị mỗi trục là 10 mét, đường cong của một con dốc được mô hình hoá bằng đồ thị hàm số 
Người ta thiết kế một con đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm 
và cắt trục 
tại điểm 
(như hình vẽ). Biết rằng đoạn đường 
có độ dài bằng 80 mét. Hỏi điểm 
cách mặt đất bao nhiêu mét (coi rằng trục 
nằm trên mặt đất) (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét)?
đơn vị mỗi trục là 10 mét, đường cong của một con dốc được mô hình hoá bằng đồ thị hàm số Người ta thiết kế một con đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm và cắt trục tại điểm (như hình vẽ). Biết rằng đoạn đường có độ dài bằng 80 mét. Hỏi điểm cách mặt đất bao nhiêu mét (coi rằng trục nằm trên mặt đất) (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét)?
Nội dung kiến thức: Ứng dụng đạo hàm giải quyết bài toán thực tế.
Mức độ: Vận dụng (7+).
Giả thiết bài toán: Đường cong của con dốc được mô hình hóa bằng đồ thị hàm số
có tiếp tuyến tại 
và chiều dài quãng đường 
là 80 mét.
Yêu cầu bài toán: Tính khoảng cách từ
đến mặt đất (và khoảng cách này chính bằng 10 nhân với tung độ của điểm 
Lời giải chi tiết:
Giả sử
thuộc vào đồ thị hàm số 
Đường thẳng
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
nên có phương trình là
Điểm
nên ta có 
Suy ra
Vì trên thực tế quãng đường
bằng 80 mét và đơn vị mỗi trục là 10 mét nên trên hệ trục tọa độ 
đoạn thẳng 
(đơn vị).
(vì 
Suy ra khoảng cách từ
đến mặt đất bằng 
Điền đáp án: 19,7.
Mức độ: Vận dụng (7+).
Giả thiết bài toán: Đường cong của con dốc được mô hình hóa bằng đồ thị hàm số
có tiếp tuyến tại và chiều dài quãng đường là 80 mét.Yêu cầu bài toán: Tính khoảng cách từ
đến mặt đất (và khoảng cách này chính bằng 10 nhân với tung độ của điểm Lời giải chi tiết:
Giả sử
thuộc vào đồ thị hàm số Đường thẳng
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số nên có phương trình là Điểm
nên ta có Suy ra
Vì trên thực tế quãng đường
bằng 80 mét và đơn vị mỗi trục là 10 mét nên trên hệ trục tọa độ đoạn thẳng (đơn vị). (vì Suy ra khoảng cách từ
đến mặt đất bằng Điền đáp án: 19,7.
Câu 21 [1093123]: Bạn Dũng chơi một trò chơi giải đố, Dũng được đưa 9 đồng xu và yêu cầu đặt trên các đỉnh của một hình đa giác đều có 9 cạnh. Mỗi đồng xu được gán một giá trị là một số nguyên dương trong tập 
và mỗi giá trị chỉ được dùng một lần. Dũng vượt qua được thử thách nếu gán giá trị cho các đồng xu sao cho với mỗi tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên, tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh tam giác đó là bằng nhau. Có bao nhiêu cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên?
và mỗi giá trị chỉ được dùng một lần. Dũng vượt qua được thử thách nếu gán giá trị cho các đồng xu sao cho với mỗi tam giác đều có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên, tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh tam giác đó là bằng nhau. Có bao nhiêu cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên?
Công thức nhanh: Đa giác đều có 
đỉnh có 
tam giác đều.
Suy ra đa giác đều có 9 cạnh tức có
đỉnh có 
tam giác đều.
Tổng giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác bằng
Vì tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác là bằng nhau nên tổng các giá trị của 3 đồng xu của mỗi tam giác phải bằng
Thử các trường hợp, ta được 2 bộ ba tam giác thỏa mãn là
Bộ 1:
Bộ 2:
Số cách sắp xếp bộ 1 là
Bước 1: Hoán vị các đỉnh trong 1 tam giác:
Bước 2: Hoán vị 3 tam giác với nhau:
Suy ra số cách sắp xếp bộ 1 là
cách.
Tương tự, số cách sắp xếp của bộ 2 cũng bằng 1296 cách.
Vậy số cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên bằng
cách.
Điền đáp án: 2592.
đỉnh có tam giác đều.
Suy ra đa giác đều có 9 cạnh tức có
đỉnh có tam giác đều.
Tổng giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác bằng
Vì tổng các giá trị của ba đồng xu trên các đỉnh của 3 tam giác là bằng nhau nên tổng các giá trị của 3 đồng xu của mỗi tam giác phải bằng
Thử các trường hợp, ta được 2 bộ ba tam giác thỏa mãn là
Bộ 1:
Bộ 2:
Số cách sắp xếp bộ 1 là
Bước 1: Hoán vị các đỉnh trong 1 tam giác:
Bước 2: Hoán vị 3 tam giác với nhau:
Suy ra số cách sắp xếp bộ 1 là
cách.
Tương tự, số cách sắp xếp của bộ 2 cũng bằng 1296 cách.
Vậy số cách để bạn Dũng vượt qua trò chơi trên bằng
cách.
Điền đáp án: 2592.
Câu 22 [1094973]: Trong hệ toạ độ Oxyz, đơn vị trên mỗi trục tính bằng kilomet, mặt đất là mặt phẳng 
sân bay nằm trên mặt đất. Tại thời điểm ban đầu, máy bay X bay thẳng từ điểm 
với tốc độ 360 km/h, máy bay Y từ điểm 
trên mặt đất bay theo phương 
Sau t giờ, máy bay X bay đến điểm 
còn máy bay Y bay đến điểm 
Khi đến D, máy bay Y được tháp kiểm soát yêu cầu bay tiếp theo hướng 
và phải hạ cánh sau đúng 10 phút. Tính tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
sân bay nằm trên mặt đất. Tại thời điểm ban đầu, máy bay X bay thẳng từ điểm với tốc độ 360 km/h, máy bay Y từ điểm trên mặt đất bay theo phương Sau t giờ, máy bay X bay đến điểm còn máy bay Y bay đến điểm Khi đến D, máy bay Y được tháp kiểm soát yêu cầu bay tiếp theo hướng và phải hạ cánh sau đúng 10 phút. Tính tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đính chính: Để tránh gây hiểu lầm, nhóm tác giả đã sửa lại đề đoạn "máy bay Y từ điểm 
trên mặt đất bay theo phương" như trên web. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
Tóm tắt bài toán:
Giả thiết:
Yêu cầu bài toán: Tính tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất bằng tổng quãng đường máy bay Y bay được chia cho tổng thời gian
Lời giải chi tiết:
Ta có thời gian máy bay X bay từ
đến 
là 
(giờ)
Gọi
(vì 
nằm trên mặt đất nên cao độ bằng 0).
Từ giả thiết: “Máy bay Y bay từ C đến D theo phương
” nên 
cùng phương với 
Suy ra
Ta thực hiện tương tự để tính
Gọi
thuộc mặt đất là vị trí mà máy bay Y hạ cánh.
Suy ra
Vì máy bay Y bay từ
đến 
theo hướng 
nên 
và 
cùng phương
Suy ra tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất là
Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Điền đáp án: 259.
trên mặt đất bay theo phương" như trên web. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!Tóm tắt bài toán:
Giả thiết:
Yêu cầu bài toán: Tính tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất bằng tổng quãng đường máy bay Y bay được chia cho tổng thời gian
Lời giải chi tiết:
Ta có thời gian máy bay X bay từ
đến là (giờ)Gọi
(vì nằm trên mặt đất nên cao độ bằng 0).Từ giả thiết: “Máy bay Y bay từ C đến D theo phương
” nên cùng phương với Suy ra
Ta thực hiện tương tự để tính
Gọi
thuộc mặt đất là vị trí mà máy bay Y hạ cánh.Suy ra
Vì máy bay Y bay từ
đến theo hướng nên và cùng phươngSuy ra tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất là
Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Điền đáp án: 259.