PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [890668]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
?
cho mặt phẳng Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [503001]: Hàm số 
có tập xác định là
có tập xác định là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số logarit).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số xác định
Tập xác định là 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số xác định
Tập xác định là Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [890650]: Tìm nguyên hàm của hàm số 
trên 
trên A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [511844]: Cho cấp số cộng 
có 
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
có Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Gọi
là công sai của cấp số cộng.
Từ
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Gọi
là công sai của cấp số cộng. Từ
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 5 [981911]: Cho hàm số 
có bảng xét dấu của 
như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
có bảng xét dấu của như sau:A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Cực trị của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đạt cực tiểu tại
và 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Hàm số đạt cực tiểu tại
và Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [807212]: Biết 
giá trị 
bằng
giá trị bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 7 [681548]: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Tập xác định:
Ta có:
Vậy đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Tập xác định:
Ta có:
Vậy đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [511137]: Tập nghiệm của bất phương trình 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình logarit).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [328080]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh 
cạnh bên 
vuông góc với mặt đáy và 
Tìm số đo của góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
có đáy là hình vuông cạnh cạnh bên vuông góc với mặt đáy và Tìm số đo của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
• Theo giả thiết;
• Vì
vuông cân tại 
nên 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
• Theo giả thiết;
• Vì
vuông cân tại nên Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 10 [807220]: Trong không gian với hệ toạ độ 
cho mặt cầu 
Tính bán kính 
của mặt cầu.
cho mặt cầu Tính bán kính của mặt cầu. A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Thông hiểu.
Mặt cầu
có tâm 
nên bán kính 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Thông hiểu.
Mặt cầu
có tâm nên bán kính Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [696282]: Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả sau:
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương sai).
Mức độ: Thông hiểu.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Thông hiểu.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 12 [599333]: Cho tứ diện 
Gọi 
là trọng tâm của tam giác 
Phát biểu nào sau đây là sai?
Gọi là trọng tâm của tam giác Phát biểu nào sau đây là sai? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Tính chất trọng tâm:
Câu B chỉ đúng khi 
là tâm tứ diện 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Tính chất trọng tâm:
Câu B chỉ đúng khi là tâm tứ diện Chọn đáp án B. Đáp án: B
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [696443]: Một công ty sản xuất bóng đèn huỳnh quang có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 30% số bóng đèn của công ty và phân xưởng II sản xuất 70% bóng đèn của công ty. Tỉ lệ bóng đèn bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2%. Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn của công ty để kiểm tra.
Gọi
là biến cố: “Bóng đèn kiểm tra bị lỗi”.
Gọi
là biến cố: “Bóng đèn được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.
Gọi
là biến cố: “Bóng đèn kiểm tra bị lỗi”.Gọi
là biến cố: “Bóng đèn được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.
a) Đúng.
Do phân xưởng I sản xuất
số bóng đèn và phân xưởng II sản xuất 
số bóng đèn nên 
và 
b) Sai.
Do tỉ lệ bóng đèn bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2% nên
và 
c) Sai.
Từ các dữ kiện trên, ta có sơ đồ cây như hình sau:
Dựa vào sơ đồ cây, ta suy ra xác suất để bóng đèn kiểm tra bị lỗi là
d) Sai.
Xác suất bóng đèn kiểm tra bị lỗi do phân xưởng I sản xuất là
Xác suất bóng đèn kiểm tra bị lỗi do phân xưởng II sản xuất là
Vậy xác suất chọn được bóng đèn lỗi do phân xưởng I sản xuất thấp hơn xác suất chọn được bóng đèn lỗi do phân xưởng II sản xuất.
Do phân xưởng I sản xuất
số bóng đèn và phân xưởng II sản xuất số bóng đèn nên và b) Sai.
Do tỉ lệ bóng đèn bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2% nên
và c) Sai.
Từ các dữ kiện trên, ta có sơ đồ cây như hình sau:
Dựa vào sơ đồ cây, ta suy ra xác suất để bóng đèn kiểm tra bị lỗi là
d) Sai.
Xác suất bóng đèn kiểm tra bị lỗi do phân xưởng I sản xuất là
Xác suất bóng đèn kiểm tra bị lỗi do phân xưởng II sản xuất là
Vậy xác suất chọn được bóng đèn lỗi do phân xưởng I sản xuất thấp hơn xác suất chọn được bóng đèn lỗi do phân xưởng II sản xuất.
Câu 14 [696456]: Cho hàm số 
a) Đúng.
Điều kiện xác định là
b) Sai.
c) Đúng.
BBT:
d) Sai.
Ta có:
Tập giá trị của hàm số chứa đúng 4 số nguyên.
Điều kiện xác định là
b) Sai.
c) Đúng.
BBT:
d) Sai.
Ta có:
Tập giá trị của hàm số chứa đúng 4 số nguyên.
Câu 15 [1103684]: Ở Dubai, những hòn đảo nhân tạo được xây dựng trên biển để làm địa điểm nghỉ dưỡng. Trên hệ toạ độ Oxy, đơn vị mỗi trục tính bằng 100 mét, đường bờ biển của một hòn đảo được mô tả như hình vẽ bởi các đồ thị hàm số 
và 
. Trong đó 
là một parabol có đỉnh 
, đi qua gốc toạ độ và 
Hòn đảo này gồm hai phần, phần bãi tắm được giới hạn bởi đường cong 
và trục hoành; phần nghỉ dưỡng được giới hạn bởi đường cong 
, trục tung và trục hoành (tham khảo hình vẽ).
và . Trong đó là một parabol có đỉnh , đi qua gốc toạ độ và Hòn đảo này gồm hai phần, phần bãi tắm được giới hạn bởi đường cong và trục hoành; phần nghỉ dưỡng được giới hạn bởi đường cong , trục tung và trục hoành (tham khảo hình vẽ).
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài ở ý d) như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
a) Đúng.
Nhắc lại: Parabol có đỉnh
có phương trình là 
Từ giả thiết:
là một parabol có đỉnh 
nên 
Mà
đi qua gốc toạ độ nên 
Vậy phương trình parabol là
b) Đúng.
Lưu ý: đơn vị mỗi trục tính bằng 100 mét nên 1 đơn vị diện tích
trên thực tế.
Vì phần bãi tắm được giới hạn bởi đường cong
và trục hoành và hai đường thẳng 
nên diện tích của bãi tắm là
c) Sai.
Gợi ý:
là một nguyên hàm của hàm số 
nên 
Ta có
Vì
Đồng nhất hệ số suy ra
d) Sai.
Tổng diện tích hòn đảo = diện tích bãi tắm + diện tích phần nghỉ dưỡng
với 
là diện tích phần nghỉ dưỡng.
Do đó, ta cần đi tính diện tích phần nghỉ dưỡng
Phương trình hoành độ giao điểm:
Suy ra phần nghỉ dưỡng được giới hạn bởi đường cong
trục hoành và các đường 
và có diện tích là 
(vì phần diện tích này nằm dưới trục hoành nên khi bỏ dấu trị tuyệt đối phải mang dấu âm)
(vì từ phần c, ta đã chỉ ra 
là một nguyên hàm của 
Vậy diện tích của hòn đảo là
a) Đúng.
Nhắc lại: Parabol có đỉnh
có phương trình là
Từ giả thiết:
là một parabol có đỉnh nên
Mà
đi qua gốc toạ độ nên
Vậy phương trình parabol là
b) Đúng.
Lưu ý: đơn vị mỗi trục tính bằng 100 mét nên 1 đơn vị diện tích
trên thực tế.
Vì phần bãi tắm được giới hạn bởi đường cong
và trục hoành và hai đường thẳng nên diện tích của bãi tắm là
c) Sai.
Gợi ý:
là một nguyên hàm của hàm số nên
Ta có
Vì
Đồng nhất hệ số suy ra
d) Sai.
Tổng diện tích hòn đảo = diện tích bãi tắm + diện tích phần nghỉ dưỡng
với là diện tích phần nghỉ dưỡng.
Do đó, ta cần đi tính diện tích phần nghỉ dưỡng
Phương trình hoành độ giao điểm:
Suy ra phần nghỉ dưỡng được giới hạn bởi đường cong
trục hoành và các đường và có diện tích là
(vì phần diện tích này nằm dưới trục hoành nên khi bỏ dấu trị tuyệt đối phải mang dấu âm)
(vì từ phần c, ta đã chỉ ra là một nguyên hàm của
Vậy diện tích của hòn đảo là
Câu 16 [1032403]: Một mô hình hàm lượng giác sau đây mô phỏng chiều dài của bóng một người đàn ông cao 
mét khi mặt trời chiếu vào. Nếu gọi chiều dài của bóng người đàn ông đó là 
thì ta có 
(mét) với 
là số giờ tính từ lúc 6 giờ sáng (tức là tại thời điểm 6 giờ sáng thì 
) (tham khảo hình vẽ). Vào thời điểm 9 giờ sáng, bóng của người đàn ông dài 
mét.
mét khi mặt trời chiếu vào. Nếu gọi chiều dài của bóng người đàn ông đó là thì ta có (mét) với là số giờ tính từ lúc 6 giờ sáng (tức là tại thời điểm 6 giờ sáng thì ) (tham khảo hình vẽ). Vào thời điểm 9 giờ sáng, bóng của người đàn ông dài mét.
a) Đúng.
Ta có:
ứng với 6 giờ sáng, 
ứng với 18 giờ tối.
không xác định.
b) Sai.
Ta có:
Mà
là cực tiểu của hàm số đã cho.
Chiều dài bóng của người đó giảm trong khoảng từ 6 đến 12 giờ và tăng từ 12 giờ đến 18 giờ.
c) Đúng.
Ta có:
Mà
d) Sai.
Ta có:
+)
giây
+)
giây
Ta có:
ứng với 6 giờ sáng, ứng với 18 giờ tối. không xác định.b) Sai.
Ta có:
Mà
là cực tiểu của hàm số đã cho. Chiều dài bóng của người đó giảm trong khoảng từ 6 đến 12 giờ và tăng từ 12 giờ đến 18 giờ.c) Đúng.
Ta có:
Mà
d) Sai.
Ta có:
+)
giây+)
giây PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1048731]: Một bể chứa ban đầu có 250 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 25 lít nước, đồng thời cho vào bể 8 gam chất khử khuẩn 
được hòa tan. Giả sử 
là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau 
phút (với 
đơn vị gam/lít, trong đó 
là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và 
là thể tích nước trong bể). Tính giá trị 
(viết kết quả dưới dạng số thập phân).
được hòa tan. Giả sử là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau phút (với đơn vị gam/lít, trong đó là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và là thể tích nước trong bể). Tính giá trị (viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Giới hạn).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Ban đầu bể chứa
nước và không có chất khử khuẩn.
Mỗi phút bơm thêm
nước và hoà tan 
chất khử khuẩn.
Với
(tính bằng phút) ta có khối lượng chất khử khuẩn
thể tích nước 
nên nồng độ 
Chia cả tử và mẫu cho
ta có 
Điền đáp số: 0,32.
Mức độ: Vận dụng (7+).
Ban đầu bể chứa
nước và không có chất khử khuẩn. Mỗi phút bơm thêm
nước và hoà tan chất khử khuẩn.Với
(tính bằng phút) ta có khối lượng chất khử khuẩn thể tích nước nên nồng độ Chia cả tử và mẫu cho
ta có Điền đáp số: 0,32.
Câu 18 [876316]: Thầy Duy muốn trang trí một sân hình chữ nhật kích thước 
trong đó parabol 
đối xứng với parabol 
qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (tham khảo hình vẽ bên dưới) và khoảng cách giữa hai đỉnh của parabol bằng 
Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 205 nghìn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 185 nghìn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí thầy Duy cần trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng?
trong đó parabol đối xứng với parabol qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (tham khảo hình vẽ bên dưới) và khoảng cách giữa hai đỉnh của parabol bằng Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 205 nghìn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 185 nghìn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí thầy Duy cần trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Bước 1: Viết phương trình parabol
và 
Gắn hệ trục
(đơn vị mỗi trục tính bằng mét) kết hợp với các dữ kiện đề bài, ta có hình vẽ sau.
Quan sát hình vẽ, ta thấy parabol
có đỉnh 
nên suy ra phương trình parabol 
Lại có parabol
đi qua điểm 
nên ta có 
Vì
và 
đối xứng nhau qua trục hoành nên 
(vì hai hàm số đối xứng nhau qua trục hoành thì tại mỗi điểm: hoành độ giữ nguyên và tung độ trái dấu nhau nên ta chỉ cần đổi dấu của 
ở phương trình 
để ra phương trình 
(Các em cũng có thể tìm 
theo như cách ta tìm 
nhé!)
Bước 2: Tính diện tích phần hoa văn
Diện tích phần hoa văn là diện tích vùng giới hạn bởi parabol
và 
Phương trình giao điểm hoành độ:
Khi đó ta có hình vẽ sau.
Vậy phần hoa văn là vùng giới hạn bởi
và các đường 
nên có diện tích là 
(vì hai phần diện tích 
Bước 3: Tính diện tích phần trắng
Diện tích phần trắng = Diện tích sân – Diện tích phần hoa văn
(vì sân hình chữ nhật có kích thước 
Bước 4: Tính tổng chi phí thầy Duy cần trang trí cho sân
Vì chi phí trang trí cho phần hoa văn là 205 nghìn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 185 nghìn đồng trên một mét vuông nên tổng chi phí thầy Duy cần trang trí cho sân bằng
(nghìn đồng) 
(triệu đồng).
Điền đáp án: 73,6.
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Bước 1: Viết phương trình parabol
và
Gắn hệ trục
(đơn vị mỗi trục tính bằng mét) kết hợp với các dữ kiện đề bài, ta có hình vẽ sau.
Quan sát hình vẽ, ta thấy parabol
có đỉnh nên suy ra phương trình parabol
Lại có parabol
đi qua điểm nên ta có
Vì
và đối xứng nhau qua trục hoành nên (vì hai hàm số đối xứng nhau qua trục hoành thì tại mỗi điểm: hoành độ giữ nguyên và tung độ trái dấu nhau nên ta chỉ cần đổi dấu của ở phương trình để ra phương trình (Các em cũng có thể tìm theo như cách ta tìm nhé!)
Bước 2: Tính diện tích phần hoa văn
Diện tích phần hoa văn là diện tích vùng giới hạn bởi parabol
và
Phương trình giao điểm hoành độ:
Khi đó ta có hình vẽ sau.
Vậy phần hoa văn là vùng giới hạn bởi
và các đường nên có diện tích là
(vì hai phần diện tích
Bước 3: Tính diện tích phần trắng
Diện tích phần trắng = Diện tích sân – Diện tích phần hoa văn
(vì sân hình chữ nhật có kích thước
Bước 4: Tính tổng chi phí thầy Duy cần trang trí cho sân
Vì chi phí trang trí cho phần hoa văn là 205 nghìn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 185 nghìn đồng trên một mét vuông nên tổng chi phí thầy Duy cần trang trí cho sân bằng
(nghìn đồng) (triệu đồng).
Điền đáp án: 73,6.
Câu 19 [695539]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình vuông, 
vuông góc với mặt phẳng đáy và 
Gọi 
là trung điểm 
Côsin của góc giữa hai vectơ 
và 
bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
có đáy là hình vuông, vuông góc với mặt phẳng đáy và Gọi là trung điểm Côsin của góc giữa hai vectơ và bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Vận dụng (8+).
![]()
Gọi
góc giữa hai vectơ 
và 
Gọi 
là trung điểm của 
Lại có 
là trung điểm của 
suy ra 
là đường trung bình của tam giác 
vuông tại 
Điền đáp án: -0,5.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
góc giữa hai vectơ và Gọi là trung điểm của Lại có là trung điểm của suy ra là đường trung bình của tam giác vuông tại Điền đáp án: -0,5.
Câu 20 [1103686]: Một khối thép không rỉ có dạng một hình chóp cụt đều 
có đáy là hình vuông, đáy lớn
có cạnh 8 cm. Chọn hệ trục toạ độ sao cho 
trùng với gốc toạ độ 
tia 
trùng với tia 
tia 
trùng với tia 
tia 
hướng lên, đơn vị mỗi trục là cm (như hình vẽ). Biết rằng 
Một tia laser được chiếu theo đường thẳng 
với 
và 
chiếu xuyên qua cắt các mặt bên 
của khối thép lần lượt tại 
Chiều dài lỗ khoan 
là bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng phần chục)?
có đáy là hình vuông, đáy lớn có cạnh 8 cm. Chọn hệ trục toạ độ sao cho trùng với gốc toạ độ tia trùng với tia tia trùng với tia tia hướng lên, đơn vị mỗi trục là cm (như hình vẽ). Biết rằng Một tia laser được chiếu theo đường thẳng với và chiếu xuyên qua cắt các mặt bên của khối thép lần lượt tại Chiều dài lỗ khoan là bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng phần chục)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng + Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Vì
nên để tìm chiều dài lỗ khoan 
thì ta cần viết phương trình đường thẳng 
phương trình mặt phẳng 
và phương trình mặt phẳng 
Bước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
nên có phương trình tham số là 
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng
Vì
nên 
Vì 
nên 
Mặt phẳng
đi qua 3 điểm 
nên có cặp vectơ chỉ phương 
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
Mặt phẳng
đi qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến 
có phương trình là 
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng
Gọi
lần lượt là hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
Khi đó 
(tính chất của hình chóp cụt tứ giác đều).
Ta có
Vì
nên 
Vậy
(vì 
nên cao độ của 
bằng với cao độ của điểm 
Mặt phẳng
đi qua 3 điểm 
có cặp vectơ chỉ phương là 
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
Mặt phẳng
đi qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến 
có phương trình là 
Bước 4: Tìm tọa độ
nên thay 
vào phương trình mặt phẳng 
ta được
Tương tự,
nên thay 
vào phương trình mặt phẳng 
ta được 
Suy ra chiều dài lỗ khoan là
Điền đáp án: 6,8.
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Vì
nên để tìm chiều dài lỗ khoan thì ta cần viết phương trình đường thẳng phương trình mặt phẳng và phương trình mặt phẳng
Bước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng
Vì
nên Vì nên
Mặt phẳng
đi qua 3 điểm nên có cặp vectơ chỉ phương Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng
đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng
Gọi
lần lượt là hình chiếu của trên mặt phẳng Khi đó (tính chất của hình chóp cụt tứ giác đều).
Ta có
Vì
nên
Vậy
(vì nên cao độ của bằng với cao độ của điểm
Mặt phẳng
đi qua 3 điểm có cặp vectơ chỉ phương là Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng
đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Bước 4: Tìm tọa độ
nên thay vào phương trình mặt phẳng ta được
Tương tự,
nên thay vào phương trình mặt phẳng ta được
Suy ra chiều dài lỗ khoan là
Điền đáp án: 6,8.
Câu 21 [1040787]: Bạn Quỳnh và bạn Hà tham gia chơi trò chơi sau:
+ Quỳnh chọn trước một trong ba vòng quay được cho trong hình.
+ Sau đó, Hà chọn một trong hai vòng còn lại.
+ Cả hai quay vòng của mình. Người có số lớn hơn là người thắng.
Biết rằng mỗi vùng trên vòng quay đều có xác suất như nhau. Tính xác suất mà Quỳnh chiến thắng.
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
+ Quỳnh chọn trước một trong ba vòng quay được cho trong hình.
+ Sau đó, Hà chọn một trong hai vòng còn lại.
+ Cả hai quay vòng của mình. Người có số lớn hơn là người thắng.
Biết rằng mỗi vùng trên vòng quay đều có xác suất như nhau. Tính xác suất mà Quỳnh chiến thắng.
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Quỳnh chọn trước có 3 cách
Hà chọn sau có 2 cách
Quỳnh và Hà quay có
cách
Quỳnh quay được:
- Số 9: Hà có 6 cách thua.
- Số 5: Hà có 3 cách thua.
- Số 3: Hà có 2 cách thua.
- Số 4: Hà có 2 cách thua.
- Số 8: Hà có 5 cách thua.
- Số 7: Hà có 4 cách thua.
- Số 6: Hà có 4 cách thua.
- Số 2: Hà có 1 cách thua.
Có 27 cách để Hà chiến thắng
Xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,50.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Quỳnh chọn trước có 3 cách
Hà chọn sau có 2 cách
Quỳnh và Hà quay có
cáchQuỳnh quay được:
- Số 9: Hà có 6 cách thua.
- Số 5: Hà có 3 cách thua.
- Số 3: Hà có 2 cách thua.
- Số 4: Hà có 2 cách thua.
- Số 8: Hà có 5 cách thua.
- Số 7: Hà có 4 cách thua.
- Số 6: Hà có 4 cách thua.
- Số 2: Hà có 1 cách thua.
Có 27 cách để Hà chiến thắngXác suất cần tìm là
Điền đáp án: 0,50.
Câu 22 [1002058]: Silo là một cấu trúc cao, hình trụ, thường được sử dụng để lưu trữ ngũ cốc. Một silo (không có đáy) được xây dựng dưới dạng một hình trụ có nắp là một nửa hình cầu ở phía trên. Chi phí xây dựng của nửa hình cầu là 100 nghìn đồng mỗi 
chi phí xây dựng của hình trụ là 
nghìn đồng mỗi 
. Người ta muốn xây dựng một silo để có thể chứa được 24 tấn gạo. Bỏ qua độ dày của silo và lượng vật liệu thừa trong quá trình xây dựng, gạo được chứa trong phần hình trụ. Số tiền tối thiểu mà người ta bỏ ra để xây dựng silo trên là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm)? Biết rằng trong toán học khối lượng của một vật chất bằng tích của thể tích và khối lượng riêng của nó, gạo có khối lượng riêng là 
kg/
chi phí xây dựng của hình trụ là nghìn đồng mỗi . Người ta muốn xây dựng một silo để có thể chứa được 24 tấn gạo. Bỏ qua độ dày của silo và lượng vật liệu thừa trong quá trình xây dựng, gạo được chứa trong phần hình trụ. Số tiền tối thiểu mà người ta bỏ ra để xây dựng silo trên là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm)? Biết rằng trong toán học khối lượng của một vật chất bằng tích của thể tích và khối lượng riêng của nó, gạo có khối lượng riêng là kg/
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta có:
.
Gọi
là bán bính của silo, 
là chiều cao của hình trụ.
Ta có thể tích chứa gạo là thể tích khối trụ (do khối cầu phía trên là nắp) nên
Hàm chi phí là:
nghìn đồng 
triệu đồng
Điền đáp án: 3,37.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Ta có:
.Gọi
là bán bính của silo, là chiều cao của hình trụ.Ta có thể tích chứa gạo là thể tích khối trụ (do khối cầu phía trên là nắp) nên
Hàm chi phí là:
nghìn đồng triệu đồngĐiền đáp án: 3,37.