Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [695063]: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Theo tính chất chiều biến thiên của hàm mũ với:
: Hàm số luôn đồng biến;
: hàm số luôn nghịch biến.
Nên ta có:

Vậy là hàm số đồng biến trên
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [695064]: Trong không gian viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có: đường thẳng song song với đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp là ta có phương trình tham số:

Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [687336]: Cho hàm số có đồ thị là đường cong như hình sau:

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Từ đồ thị hình vẽ ta thấy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [256185]: Tìm công bội của cấp số nhân biết
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số nhân).
Mức độ: Thông hiểu.
Cấp số nhân biết
Nên ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 5 [695065]: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [256197]: Cho hình lập phương Góc giữa hai đường thẳng và bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hai đường thẳng vuông góc: Góc giữa hai đường thẳng).
Mức độ: Thông hiểu.

Dựa vào hình vẽ ta có góc giữa hai đường thẳng
Xét tam giác vuông tại và
vuông cân tại

Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [857326]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết. Phương pháp:
Giải bất phương trình mũ
Cách giải:
Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [687337]: Cho hàm số xác định trên có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất hàm số trên đoạn là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Giá trị lớn nhất của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Từ đồ thị như hình vẽ trên ta có: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [1060972]: Tập giá trị của hàm số là:
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Hàm số lượng giác).
Mức độ: Nhận biết. ta có nên tập giá trị là

Kết luận: Chọn đáp án B.

Đáp án: B
Câu 10 [698918]: Cho hàm số Tính
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Ta có:

Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [687484]: Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được mẫu số liệu như sau

Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương sai).
Mức độ: Thông hiểu.

Cỡ mẫu là
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là:

Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 12 [687485]: Cho tứ diện Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và Đặt Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.

Ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [693534]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và mặt phẳng
a) Đúng.
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
b) Đúng.
Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên nhận là một véc tơ chỉ phương nên có phương trình là
c) Đúng.
Do nên để là hình chiếu vuông góc của lên thì
Phương trình tham số của là

Suy ra
d) Đúng.
là điểm đối xứng của qua mặt phẳng là trung điểm của
Câu 14 [693537]: Có hai hộp đựng câu hỏi thi (phiếu), mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Biết rằng sinh viên A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút.
Gọi là biến cố: “sinh viên A rút ra phiếu từ hộp thứ nhất”.
Gọi là biến cố: “Sinh viên A rút được phiếu đã thuộc bài”
a) Đúng.
b) Sai.
Xác suất có điều kiện là xác suất của biến cố sinh viên đó rút được phiếu đã học thuộc khi biết đó là phiếu từ hộp thứ nhất.
Điều kiện phiếu rút được là từ hộp thứ nhất, ta có trong hộp thứ nhất có 15 phiếu, số cách để thầy giáo rút 1 phiếu từ 15 phiếu là 15 cách.
Để thầy rút được phiếu mà sinh viên đó học thuộc là 10 cách.
Suy ra
c) Sai.
Ta có xác suất sinh viên A rút ra được phiếu đã thuộc bài biết phiếu đó được rút từ hộp thứ 2 là
Ta có sơ đồ cây sau:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có

d) Đúng.
Theo công thức Bayes, ta có
Câu 15 [1103813]: Đại dịch cúm hàng năm vừa bắt đầu ở Việt Nam. Từ những báo cáo đầu tiên nhận được, các nhà dịch tễ học tại trung tâm kiểm soát dịch bệnh đã mô hình hóa hàm dự báo số người mắc bệnh bằng công thức trong đó t tính bằng tuần kể từ lúc có ca bệnh đầu tiên, là số người mắc bệnh tính bằng triệu người.
a) Đúng.
Dịch bệnh hết khi không còn người mắc bệnh tức
Vậy dịch bệnh kéo dài trong 6 tuần.
b) Sai.
Tốc độ lây lan dịch bệnh được xác định bởi
(triệu người/tuần).
c) Đúng.
Để tìm ra số người mắc bệnh cúm lớn nhất, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Ta có
(triệu người).
Vậy số người mắc bệnh cúm lớn nhất bằng 1,87 triệu người.
d) Sai.
Để tìm ra tốc độ lây lan lớn nhất, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
Ta có

Suy ra tốc độ lây lan dịch bệnh lớn nhất xảy ra tại tức một thời điểm thuộc tuần thứ 5 (vì tức tuần 1; là tuần 2;…; là tuần 5;..).
Câu 16 [700893]: Một kỹ sư muốn thiết kế một mẫu vật bằng cách mô phỏng bản vẽ dưới dạng hình vẽ. Trước tiên vẽ một hình chữ nhật có kích thước , sau đó sử dụng hệ trục vẽ đường cong nằm trong hình chữ nhật (tham khảo hình vẽ). Gọi là phần hình phẳng được tô màu đậm và đường cong ở góc phần tư thứ nhất có phương trình
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định biểu thức hàm số mô tả biên của hình phẳng.
Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
Tính diện tích phần còn lại bằng cách lấy diện tích hình ban đầu trừ diện tích bị cắt bỏ.
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục đối xứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Ta có với .
b) Sai.
Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức .
c) Sai.
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là .
Sau khi cắt bỏ hình phẳng thì diện tích phần còn lại là .
Suy ra .
d) Sai.
Thể tích phần đồng hồ cát là .
Suy ra .
🔑 Điền đáp án: a) S, b) S, c) S, d) S
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1081714]: Một hộ nông dân dự định trồng súp lơ và hành tây trên diện tích 10 ha. Nếu trồng súp lơ thì cần 10 công và thu được 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Nếu trồng hành tây thì cần 30 công và thu được 5 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi số tiền người nông dân thu được nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng tổng số công không vượt quá 150 công?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
1.Phương pháp: Từ đề bài lập hệ bất phương trình, xác định miền nghiệm và so sánh doanh thu tại các đỉnh của miền nghiệm, tìm số tiền thu được nhiều nhất lớn nhất.
2.Cách giải:Gọi (ha) lần lượt là diện tích trồng súp lơ và hành tây.
Suy ra số công cần để trồng được (ha) súp lơ và (ha) hành tây là (công).
Biết số công này không vượt quá 150 công, nên ta có bất phương trình
Lại có diện tích đất dự định trồng là 10 ha nên ta có bất phương trình
Từ (2), (3) ta có hệ phương trình
Số tiền mà hộ nông dân đó thu được khi trồng (ha) súp lơ và (ha) hành tây là (triệu đồng).
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với điều kiện
Trong cùng một mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng
Do thỏa mãn các bất phương trình của hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ là những nửa mặt phẳng chứa điểm (kể cả bờ). Và được biểu diễn như hình sau:
Miền nghiệm của bất phương trình là tứ giác kể cả miền trong với Giá trị lớn nhất của sẽ đạt tại một trong bốn đỉnh của tứ giác
Tại
Tại
Tại
Tại
3.Kết luận:
Vậy số tiền người nông dân thu được nhiều nhất là 35 triệu đồng.
Điền đáp án: 35.
Câu 18 [1065374]: Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số: với Trong đó thời gian tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).
Ta có: .
Xét hàm số trên miền
Ta có: .
Ta có:
Bảng biến thiên:

Vì (năm) là số nguyên dương. Vậy ta chọn
Vậy sau khi phát hành 7 năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Câu 19 [1063485]: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Tính thể tích của khối chóp (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối chóp).
Mức độ: Vận dụng (7,5+).

Ta có mà
Ta có kẻ và
Ta có mà mà
Xét vuông tại có đường cao ta có
Xét vuông tại ta có
Thể tích của khối chóp là
Điền đáp án: 0,58.
Câu 20 [1104138]: Hai người là A và B chơi trò chơi leo cầu thang bằng cách oẳn tù tì (xác suất thắng, hoà, thua trong trò chơi oẳn tù tì của A là bằng nhau). Luật chơi như sau:
• Trong mỗi lượt chơi, người thắng sẽ leo 2 bậc thang và người thua sẽ đứng yên tại chỗ.
• Nếu hòa thì cả hai người cùng leo lên 1 bậc thang.
Sau khi chơi oẳn tù tì 5 lần, xác suất để vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu là tính
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Xác suất).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Vì mỗi lượt chơi đều có 3 trường hợp (thắng, hòa, thua) có thể xảy ra nên tổng số kết quả có thể xảy ra sau 5 lượt chơi là
Bước 2: Xác định số trường hợp để sau 5 lượt chơi, vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu
Gọi là biến cố “Sau 5 lượt chơi, vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu”.
Gọi lần lượt là số lượt thắng, thua, hòa của A trong 5 lượt chơi.
Vì có 5 lượt chơi nên
Vì sau 5 lượt chơi, vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu nên (vì thắng tăng 2 bậc, hòa tăng 1 bậc và thua không tăng thêm bậc nào)

TH1: (Tức trong 5 lượt, A có 0 trận thắng, 0 trận thua và 5 trận hòa)
Số cách xảy ra trường hợp này là 1 cách.
TH2: (Tức trong 5 lượt, A có 1 trận thắng, 1 trận thua và 3 trận hòa)
Số cách để A thắng 1 trận: cách (chọn 1 trong 5 vị trí);
Số cách để A thua 1 trận: cách (chọn 1 trong 4 vị trí còn lại);
Số cách để A hòa 3 trận: 1 cách (tức xếp vào vị trí còn lại);
Suy ra số cách để TH2 xảy ra là
TH3: (Tức trong 5 lượt, A có 2 trận thắng, 2 trận thua và 1 trận hòa)
Tương tự TH2, ta có số cách để TH3 xảy ra là
TH4: (Loại)
Kết hợp các trường hợp trên, ta có
Vậy xác suất để vị trí của A tăng 5 bậc so với vị trí ban đầu là
Suy ra
Điền đáp án: 1134.
Câu 21 [1103814]: Phía bên trong của một bãi biển, một chủ đầu tư đang muốn xây dựng một khu nghỉ dưỡng mới. Khu nghỉ dưỡng này được giới hạn bởi đường bờ biển , con đường tỉnh lộ bên ngoài và hai đoạn thẳng h, k. Xét trên hệ tọa độ Oxy, đơn vị trên mỗi trục tính bằng 100 mét, đường bờ biển là đồ thị của số , con đường tỉnh lộ kéo dài từ điểm đến điểm là một parabol và có khoảng cách xa nhất đến bờ biển bằng 4 mét. Ngoài ra h, k là các đoạn thẳng nối từ vị trí cắt nhau giữa bờ biển và trục Ox đến hai điểm H và K (tham khảo như hình vẽ). Chủ đầu tư muốn chia khu nghỉ dưỡng thành 2 phần bởi một đường parabol có đỉnh là và cắt các đoạn thẳng h, k tại trung điểm của chúng. Phần gần tỉnh lộ chia ra thành n lô đất, mỗi lô có diện tích ; phần còn lại chia ra thành m khu vui chơi, mỗi khu có diện tích ( là các số tự nhiên). Tính
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân + Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8,5+)
Để xác định được ta cần đi xác định diện tích phần gần tỉnh lộ và phần gần bờ biển của khu nghỉ dưỡng.
Bước 1: Tính diện tích toàn bộ khu đất
Phương trình giao điểm hoành độ: Kết hợp giả thiết, ta kí hiệu các điểm như hình vẽ sau:

Diện tích toàn bộ khu nghỉ dưỡng là (vì các phần diện tích này nằm trên trục hoành nên tích phân cho kết quả dương do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở tích phân).
Giả sử parabol Từ giả thiết, ta có đi qua các điểm và nên ta có hệ phương trình
Vậy diện tích toàn bộ khu nghỉ dưỡng là
Bước 2: Tính diện tích phần gần bờ biển
Ta tính tương tự như tính diện tích toàn bộ khu đất.
Đầu tiên, ta đi xác định phương trình parabol chia khu nghỉ dưỡng. Gọi là parabol chia khu nghỉ dưỡng. Gọi lần lượt là trung điểm của với

Vậy parabol đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình
Khi đó diện tích gần bờ biển là
Bước 3: Tính diện tích phần gần tỉnh lộ
Diện tích phần gần tỉnh lộ là
Bước 4: Tính giá trị
Vì phần gần tỉnh lộ chia ra thành lô đất, mỗi lô có diện tích nên (lô) (vì giá trị phần thập phân còn lại không đủ để tạo thêm một lô đất nữa nên ta chỉ lấy phần nguyên là 1687 các em nhé!)
Phần gần bờ biển chia ra thành khu vui chơi, mỗi khu có diện tích (lô).
Suy ra
Điền đáp án: 3278.
Câu 22 [1107947]: Cho một lăng kính có dạng hình chóp tứ giác đều khi đặt trong hệ toạ độ thì và Một tia sáng đơn sắc chiếu thẳng từ đến trọng tâm của tam giác khi chạm mặt phẳng tia sáng bị bẻ hướng (bị khúc xạ) thành tia hướng về phía đáy (tham khảo hình vẽ, điểm thuộc miền trong tam giác Biết góc điểm thuộc mặt phẳng và Tính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng + Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gợi ý:
Bước 1: Tọa độ hóa điểm
Vì nên với là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng (là sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và
Ta có Chọn là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
là trọng tâm của tam giác nên
Ta có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Suy ra Chọn là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
suy ra
Bước 2:
Ta có


(Vì thuộc miền trong tam giác kết hợp với cách đặt trục nên hoành độ điểm dương hay
Hai vế đều dương với nên ta bình phương hai vế:
(đoạn này các em nhớ lưu vào biến ở trên máy tính để tiếp tục tính toán nhé! Mình sẽ chỉ làm tròn ở bước cuối cùng để tránh sai số nha!).
(Vì hướng về phía đáy nên điểm cần tìm có cao độ bé hơn). (Lý do ra 2 tọa độ điểm các em có thể xem thầy Tuấn giải thích trong video nhé!)
Vậy
Điền đáp án: 3,19.