Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1001300]: Trong không gian cho mặt cầu có tâm và bán kính bằng Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại:
Phương trình mặt cầu: Mặt cầu có tâm và bán kính bằng có phương trình là
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính bằng là

Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [378242]: Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Giá trị cực đại của hàm số là giá trị của hàm số tại điểm cực đại.
Quan sát đồ thị, ta thấy giá trị cực đại của hàm số là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [778956]: Nếu là hai biến cố bất kì với thì
A,
B,
C,
D,
A sai. Vì chỉ khi hai biến cố và là hai biến cố độc lập thì ta mới có
B đúng theo công thức nhân xác suất
C công thức đúng theo công thức nhân xác suất là
D công thức đúng theo công thức nhân xác suất là
Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Câu 4 [506516]: Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng , đáy là hình vuông có cạnh bằng . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Thể tích khối lăng trụ).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối lăng trụ là
(Với là diện tích đáy và là chiều cao của lăng trụ)
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [1065651]: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn).
Mức độ: Nhận biết.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là 2 hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
A. không phải bậc nhất.
B. là bậc ba không phải bậc nhất.
D. là bậc hai không phải bậc nhất.
Đáp án C đúng dạng của hệ bất phương trình bậc nhất.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 6 [224679]: Nếu cấp số cộng có số hạng thứ là thì công sai bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Gợi ý: Công sai của cấp số cộng bằng
Ta có
Suy ra
Khi đó công sai của cấp số cộng bằng
Chọn đáp án C.
 Đáp án: C
Câu 7 [185120]: Với là số thực dương tuỳ ý, bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính lôgarit).
Mức độ: Nhận biết.
Sử dụng các công thức:
(với

Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [1001299]: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Đường tiệm cận của đồ thị hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Cách tìm nhanh: Đồ thị hàm số có dạng với khi thì đồ thị hàm số đường tiệm cận xiên là
Lưu ý: Khi trình bày thì ta cần dùng định nghĩa tiệm cận xiên để chứng minh đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có
Nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 9 [806582]: (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho tập . Số các số tự nhiên gồm chữ số phân biệt lập từ là.
A, .
B, .
C, .
D, .
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Chỉnh hợp).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại định nghĩa chỉnh hợp: Cho tập hợp gồm phần tử Mỗi kết quả của việc lấy ra phần tử từ tập và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử. Kí hiệu chỉnh hợp chập của phần tử là
Nhận xét: Bài toán đã cho là lấy phần tử từ tập (gồm phần tử) và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được kết quả là chỉnh hợp chập 4 của 9.
Vậy số các số tự nhiên gồm chữ số phân biệt lập từ là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 10 [1001301]: Trong không gian, cho hình hộp Mệnh đề nào dưới đây sai?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:
Theo quy tắc hình hộp ta có: và nên các mệnh đề ở phương án A và B là các mệnh đề đúng.
Theo quy tắc hình hộp ta có: nên mệnh đề C sai.
Theo quy tắc hình ta có: nên mệnh đề B đúng.
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 11 [1001303]: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và Đường thẳng nào sau đây vuông góc với
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Note: Đường thẳng vuông mặt phẳng thì sẽ vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [1001304]: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào?
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng hình học của tích phân: Diện tích hình phẳng).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: (Diện tích hình phẳng) Các hàm số liên tục trên đoạn Hình giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường thẳng có diện tích là
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình vẽ, ta thấy hình phẳng giới hạn bởi các hàm số và các đường thẳng Áp dụng công thức trên, ta có diện tích hình phẳng cần tính là

(vì trong khoảng đồ thị hàm số nằm bên trên đồ thị hàm số nên

Chọn đáp án B. Đáp án: B
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [717144]: Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam).
a) Đúng.
Ta có đầu mút trái của nhóm 1 là , đầu mút phải của nhóm 6 là nên
b) Sai.
Ta có mà Suy ra nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng Xét nhóm là nhóm có ; ; và nhóm là nhóm có Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:
().
c) Sai.
Ta có mà Suy ra nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng Xét nhóm là nhóm có ; ; và nhóm là nhóm có Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

d) Sai.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
Câu 14 [1078866]: Cho hàm số
a) Thay lần lượt vào hàm số ta được
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b)
Suy ra mệnh đề b) sai.
c)
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của trên đoạn là
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 15 [1093119]: Trong không gian với hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng 100 mét, mặt đất nằm trên mặt phẳng trục hướng lên. Từ điểm một đường hầm X được dự kiến đào xuyên thẳng qua điểm vào trong lòng núi. Cùng lúc đó, một đường hầm Y được xây thẳng từ điểm xuyên qua điểm Hai đường hầm cùng được đào đến vào cùng một thời điểm. Sau đó từ điểm này, các kỹ sư tiếp tục khoan một đường hầm khác theo hướng đâm ra mặt đất tại điểm (tham khảo hình vẽ). Biết rằng việc khoan đường hầm X được tiến hành với tốc độ 5 mét mỗi ngày.

a) Sai.
Ta có
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
b) Đúng.
Ta có phương trình tham số của đường thẳng là
Vì nên
Ta có
Quan sát trên hình, ta thấy hai vectơ và cùng phương nên
(thay vào ta thấy thỏa mãn)

Vậy hoành độ điểm bằng 13.
c) Sai.

Tốc độ đào đường hầm Y là với (m) là độ dài đường hầm Y (tức bằng quãng đường (ngày) là thời gian đào đường hầm Y.
Ta có
Vì hai đường hầm X và Y cùng bắt đầu đào và được đào đến S vào một thời điểm nên thời gian đào đường hầm X (từ A đến S) và đường hầm Y (từ C đến S) là bằng nhau.
Ta có và tốc độ khoan đường hầm X là 5 mét mỗi ngày nên suy ra (vì đơn vị trên mỗi trục tính bằng 100 mét nên để xác định quãng đường thực, ta nhân thêm với 100)

Suy ra tốc độ đào hầm Y là
d) Sai.

Gọi là điểm giao giữa mặt đất và lối thoát hiểm. Khi đó là chiều dài lối thoát hiểm và hay tam giác vuông tại
Vì lối thoát hiểm được khoan thẳng đứng lên trên mặt đất nên song song với trục và nhận vectơ chỉ phương là
Lại có đường hầm được khoan theo hướng nên đường thẳng có vectơ chỉ phương là
Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng và là

Trong tam giác vuông ta có

Note: Công thức tính Cosin góc giữa hai đường thẳng:
với lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Câu 16 [1108472]: Một tấm thép được nung đến nhiệt độ 800 ngay sau đó được chuyển sang buồng ủ có nhiệt độ 600 Biết tốc độ giảm nhiệt của tấm thép được tính theo công thức (giờ) (trong đó là hằng số thực). Biết rằng sau 1 giờ, nhiệt độ của tấm thép bằng 750 Gọi là nhiệt độ của tấm thép sau (giờ) từ lúc bắt đầu đặt vào buồng ủ.
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
a) Đúng.
b) Sai.

Biết
Suy ra
c) Sai.
Vì
Suy ra
d) Đúng.
Ta có
(giờ).
Vậy sau 2,4 giờ thì nhiệt độ của tấm thép còn
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1093120]: Trong một trò chơi, một cậu bé bắt đầu từ điểm và chạy đi lấy một quả táo cách đó 3 mét. Sau đó, đứa trẻ chạy trở lại điểm và đặt quả táo vào rổ. Tiếp tục như vậy, đứa trẻ chạy đi lấy quả táo thứ hai cách điểm 6 mét, rồi lại chạy về điểm để đặt quả táo vào rổ như hình vẽ. Quá trình này tiếp tục cho đến khi tất cả các quả táo đều được đặt vào rổ. Sau đúng 3 phút cậu bé lấy được 9 quả táo đặt vào rổ. Vậy vận tốc chạy trung bình của cậu bé là bao nhiêu mét/giây?
Vận tốc chạy trung bình của cậu bé = Tổng quãng đường/Tổng thời gian.
Dựa vào dữ kiện: “Sau đúng 3 phút cậu bé lấy được 9 quả táo đặt vào rổ” tức ta đã có “Tổng thời gian” và ta cần đi xác định “Tổng quãng đường” mà cậu bé đã chạy được.
Lần thứ 1 lấy táo cách 3 mét, quãng đường cậu bé chạy được là
Lần thứ 2 lấy táo cách 6 mét, quãng đường cậu bé chạy được là
Lần thứ 3 lấy táo cách 9 mét, quãng đường cậu bé chạy được là
…
Nhận thấy các quãng đường cậu bé chạy được theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với và công sai Suy ra tổng quãng đường cậu bé chạy được để lấy 9 quả táo là

Suy ra vận tốc chạy trung bình của cậu bé là (mét/giây).
Lưu ý: Đổi 3 phút sang giây để tính vận tốc.
Vậy vận tốc chạy trung bình của cậu bé là 1,5 mét/giây.
Điền đáp án: 1,5.
Câu 18 [1048865]: Một dây curoa mỏng dài L bao quanh hai ròng rọc có bán kính R và vắt chéo nhau theo một góc (xem hình vẽ).

Giả sử và góc Tính độ dài dây curoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm).
Kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Từ hình vẽ ta thấy được độ dài dây curoa L bằng
(vì
Ta sẽ đi tính lần lượt
Bước 1: Xác định độ dài hai cung
Xét tứ giác ta có

Lại có sđ
Suy ra sđ
Áp dụng công thức tính độ dài cung là
sđ với sđ (rad) là góc ở tâm và là bán kính của cung tròn.
Suy ra
Tương tự, ta tính được sđ và suy ra
Bước 2: Xác định độ dài
Trong tam giác vuông ta có
Tương tự, ta cũng tính được
Vậy độ dài dây curoa L bằng
Note: Công thức đổi từ độ sang radian:
Điền đáp án: 849.
Câu 19 [1095054]: Cho một thanh sắt mỏng dài 21 cm. Trên lấy hai điểm phân biệt làm mốc sao cho đồng thời là các số nguyên dương (tham khảo hình vẽ). Xác suất để khi gập thanh sắt tại hai điểm mốc thì đầu có thể chạm vào đầu là (với và phân số tối giản). Tính
Phương pháp: Sử dụng bài toán chia kẹo Euler.
Không gian mẫu của bài toán là (lấy ngẫu nhiên 2 trong 20 điểm).
Giả sử gập thanh sắt tại hai điểm mốc thì đầu A có thể chạm vào đầu B. Khi đó thanh sắt được chia làm 3 đoạn như hình vẽ:

Với
Gọi là biến cố “Khi gập thanh sắt tại hai điểm thì đầu có thể chạm đầu ”.
Khi đó, có 2 TH xảy ra:
TH1: Điểm Minh họa như hình vẽ:

Khi đó
TH2: và tạo thành hình tam giác. Minh họa như hình vẽ:

Theo bất đẳng thức tam giác ta có
Khi đó là tập hợp các bộ ba thỏa mãn các điều kiện
Đặt
Cộng vế với vế của hệ phương trình trên, ta được
Khi đó mỗi bộ số thỏa mãn tương ứng với một bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Áp dụng bài toán chia kẹo Euler, ta có
Suy ra xác suất xảy ra biến cố là

Điền đáp án: 49.
(Đề bài thầy đã chỉnh sửa lại ngôn ngữ một chút để không gây hiểu lầm. Đề cũ các em vẫn giải tương tự lời giải text trên nhé!)
Câu 20 [1063476]: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là trung điểm của cạnh Biết Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Cách 1:

Ta có là hình chiếu của lên mặt phẳng
Trên mặt phẳng ta kẻ mà và là trung điểm là trung điểm
Trên mặt phẳng kẻ
Ta có mà mà
Ta có
Xét và lần lượt là trung điểm của và
Ta có
Xét vuông tại ta có
Xét vuông tại ta có
Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ

Gắn hệ trục tọa độ với Khi đó
(vì và
(vì và
Bước 1: Viết tọa độ điểm
Vì là trung điểm của nên Vì là hình chiếu vuông góc của xuống
mặt phẳng hay mặt phẳng nên
Lại có
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là
Vậy
Điền đáp án: 0,45.
Câu 21 [1093121]: Người ta cần sản xuất một hộp diêm có chiều dài và có thể tích (hình 1). Chiều rộng và chiều cao cần được xác định sao cho chi phí sản xuất là nhỏ nhất. Hộp bên trong được làm từ một tấm bìa hình chữ nhật. Ở các góc, các mảnh vuông nhỏ cạnh bị cắt bỏ và trở thành phế thải. Phần còn lại được gấp thành hộp với kích thước dài rộng cao (hình 2). Vỏ ngoài được làm từ một tấm bìa hình chữ nhật thứ hai (với kích thước như hình 3). Biết rằng chi phí vật liệu cho hai mặt bên của vỏ (được dùng làm phần đánh lửa) được tính gấp ba lần chi phí vật liệu còn lại (tính trên cùng một đơn vị diện tích).

Tìm (cm) để chi phí làm hộp diêm là bé nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Tóm tắt giả thiết: Mỗi hộp diêm, ta có

Chi phí vật liệu cho hai mặt bên của vỏ (được dùng làm phần đánh lửa) gấp ba lần chi phí vật liệu còn lại.
Lời giải chi tiết:
Thể tích của hộp diêm là
Giả sử chi phí vật liệu cho các mặt (trừ hai mặt dùng để đánh lửa) là đồng trên mỗi Khi đó chi phí vật liệu cho phần dùng để đánh lửa là đồng trên mỗi
Suy ra tổng chi phí làm hộp diêm là

(thay
(đặt làm nhân tử chung)

Vì số tiền là không thay đổi nên để tổng chi phí là thấp nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Đến đây, bài toán lại đưa về dạng toán quen thuộc là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có
(nhân cả hai vế với

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của xảy ra tại
Điền đáp án: 3,56.
Câu 22 [1093122]: Một đoạn đường di chuyển từ đến dài 20 mét chạy dọc theo bờ sông, do ảnh hưởng của nước lũ nên tuyến đường bị ảnh hưởng không thể đảm bảo để người dân đi lại. Các kỹ sư xây một đoạn đường mới rộng 60 cm thay thế đoạn đường cũ. Trên đoạn đường mới này, điểm có khoảng cách lớn nhất đến bờ sông là 6,6 mét. Trong hệ toạ độ đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, trục là đường bờ sông, mép trong đoạn đường (phần gần bờ sông) được mô hình hóa dưới dạng đồ thị hàm số đa thức bậc bốn tiếp xúc với đường bờ sông ở hai đầu và (tham khảo hình vẽ). Các kỹ sư sẽ đánh dấu phần ranh giới nằm giữa bờ sông và mép trong tuyến đường mới, sau đó lát lại bằng bê tông. Diện tích phần lát lại bằng bao nhiêu mét vuông?

Đặt hệ trục tọa độ sao cho trùng với bờ sông, vuông góc và đi qua trung điểm của đoạn Khi đó
Diện tích phần lát lại (phần gạch chéo) là phần diện tích được giới hạn bởi đồ thị hàm số đa thức bậc bốn với trục và hai đường thẳng Khi đó diện tích phần lát lại bằng
Vì đồ thị hàm số đa thức bậc bốn tiếp xúc với trục tại hai điểm nên có đúng hai nghiệm và hai nghiệm này là hai nghiệm kép. Suy ra có dạng
Từ giả thiết: “đoạn đường mới rộng 60 cm… Điểm có khoảng cách lớn nhất đến bờ sông là 6,6 mét” ta suy ra khoảng cách lớn nhất từ bờ sông đến mép đường gần bờ sông hơn là giá trị cực đại của hàm số và giá trị cực đại là đạt tại
Ta có
(vì
Suy ra giá trị cực đại của hàm số đạt tại và ta có
Suy ra
Vậy diện tích của phần đường cần lát lại bằng

Vậy diện tích phần lát lại bằng 64 mét vuông.
Điền đáp án: 64.