Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [805500]: Cho dãy số có số hạng tổng quát (với ). Số hạng đầu tiên của dãy là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Ta có: Đáp án: D
Câu 2 [311296]: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có: Đáp án: A
Câu 3 [53319]: Cho đường thẳng đi qua điểm và vecto chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Phương trình đường thẳng cần tìm là Đáp án: C
Câu 4 [516427]: Nghiệm của phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án D.
Điều kiện: .
Khi đó: ( thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm Đáp án: D
Câu 5 [42030]: Cho Tính giá trị của tích phân
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Phương pháp
Sử dụng các tính chất tích phân và
Cách giải
Ta có:
Đáp án: B
Câu 6 [600333]: Cho là hai số thực dương thoả mãn Giá trị của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Ta có:

Vậy Đáp án: B
Câu 7 [333922]: Trong không gian cho mặt cầu Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là
A, và
B, và
C, và
D, và
Chọn đáp án A.
Mặt cầu có tâm và bán kính Đáp án: A
Câu 8 [333949]: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng Thể tích của khối lăng trụ là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Diện tích đáy
Thể tích khối lăng trụ Đáp án: A
Sử dụng thông tin dưới đây để trả lời câu 9 và câu 10:
Câu 9 [698986]: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Nhìn vào đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình Đáp án: D
Câu 10 [698987]: Hình vẽ trên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây.
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình do đó loại C.
Đồ thị đi qua điểm do đó ta loại B, D. Đáp án: A
Câu 11 [803785]: Trong không gian , cho , , , khi đó tích vô hướng bằng.
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án D.
* Ta có ; .
* Khi đó . Đáp án: D
Câu 12 [694832]: Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong 1 tuần của một nhóm sinh viên được cho ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên gần nhất với giá trị nào dưới đây
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

Gọi là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là
Do và cùng thuộc nhóm nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là
Do và cùng thuộc nhóm nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [696467]: Cho hàm số có đồ thị
a) Đúng.

b) Sai.
Ta có bảng biến thiên: >

c) Sai.
Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

d) Đúng.
Giả sử
Gọi là trung điểm
Câu 14 [1107937]: Một túi đựng bốn tờ 10.000 đồng và bảy tờ 50.000 đồng. Bạn Thảo rút ngẫu nhiên từng tờ một từ túi mà không hoàn lại và ghi lại mệnh giá của từng tờ. Bạn Thảo dừng lại khi tổng giá trị của các tờ tiền được rút ra lớn hơn 100.000 đồng. Biết rằng Thảo đã dừng lại.
a) Sai.
Vì để Thảo dừng lại (tức tổng giá trị của các tờ tiền được rút ra lớn hơn 100.000 đồng) thì Thảo phải rút tối thiểu 2 tờ 50.000 đồng và 1 tờ 10.000 đồng.
b) Sai.
Để Thảo dừng lại tại đúng lần rút thứ 3 tức tổng giá trị của 3 tờ tiền được rút ra lớn hơn 100.000 đồng, ta có 2 trường hợp sau:
TH1: Rút ra 2 tờ 50.000 đồng và 1 tờ 10.000 đồng
Có (công thức tính số cách sắp xếp (hoán vị lặp)) cách xắp xếp thứ tự rút ra 2 tờ 50.000 đồng và 1 tờ 10.000 đồng;
Có cách lấy ra 2 tờ 50.000 đồng (trong 7 tờ);
Có 4 cách lấy ra 1 tờ 10.000 đồng (trong 4 tờ);
Suy ra số cách là cách.
TH2: Rút ra 3 tờ 50.000 đồng
Số cách là cách.
Vậy số cách Thảo rút được đúng 3 lần bằng cách.
c) Sai.
Có 4 trường hợp Thảo rút được 2 tờ 50.000 đồng (ta xét lần lượt 1 -> 4 tờ 10.000 đồng):
TH1: Rút ra 1 tờ 10.000 đồng và 2 tờ 50.000 đồng có 504 cách (thu được kết quả từ phần b).
TH2: Rút ra 2 tờ 10.000 đồng và 2 tờ 50.000 đồng (1 tờ 50.000 phải được rút cuối cùng) (tức ta chỉ cần xắp xếp 2 tờ 10.000 đồng và 1 tờ 50.000 đồng)
Có cách.
TH3: Rút ra 3 tờ 10.000 đồng và 2 tờ 50.000 đồng (1 tờ 50.000 phải được rút cuối cùng)
Có cách.
TH4: Rút ra 4 tờ 10.000 đồng và 2 tờ 50.000 đồng (1 tờ 50.000 phải được rút cuối cùng)
Có cách.
Vậy có tất cả cách Thảo rút được đúng 2 tờ 50.000 đồng.
d) Đúng.
Số cách Thảo rút tiền và dừng lại = Số cách rút được 2 tờ 50.000 đồng + Số cách rút được 3 tờ 50.000 đồng
(cách).
Câu 15 [1107110]: Trong hệ trục (đơn vị trên mỗi trục là km), máy bay thứ nhất xuất phát từ bay theo hướng của với tốc độ Máy bay thứ hai xuất phát từ theo hướng với tốc độ 650 km/h. Gọi (giờ) là thời gian kể từ lúc xuất phát.
a) Đúng.
Máy bay thứ nhất bay theo hướng của với tốc độ nên có vectơ vận tốc là
b) Sai.
Máy bay thứ hai bay theo hướng với tốc độ nên có vectơ vận tốc là
Vì máy bay thứ hai xuất phát từ nên sau giờ thì máy bay thứ hai ở vị trí
Vậy sau 75 phút giờ, máy bay thứ hai ở vị trí
c) Đúng.
Đầu tiên, ta đi xác định sau 2,5 giờ thì máy bay thứ nhất ở vị trí nào.
Ta có máy bay thứ nhất xuất phát từ và có vectơ vận tốc bằng nên sau giờ thì máy bay thứ nhất ở vị trí
Suy ra sau 2,5 giờ thì máy bay thứ nhất ở vị trí
Lại có sau 2,5 giờ thì máy bay thứ hai ở vị trí
Vậy sau 2,5 giờ, khoảng cách hai máy bay là
d) Sai.
Máy bay thứ hai xuất hiện trên ra-đa của máy bay thứ nhất trong khoảng thời gian mà khoảng cách giữa hai máy bay nhỏ hơn hoặc bằng 36 km
Thực hiện khai triển hằng đẳng thức và giải bất phương trình, ta được
Suy ra máy bay thứ hai xuất hiện trên ra-đa của máy bay thứ nhất trong khoảng (giờ) (phút).
Câu 16 [1042342]: Giả sử tại thời điểm năm kể từ bây giờ, khoản đầu tư sẽ tạo ra lợi nhuận với tốc độ chục triệu đồng mỗi năm, trong khi cùng số tiền đó một khoản đầu tư sẽ tạo ra lợi nhuận với tốc độ chục triệu đồng mỗi năm. Biết rằng tốc độ sinh lời của 2 khoản đầu tư bằng nhau tại 2 thời điểm là và
a) Sai.

đạt cực tiểu sau năm.
b) Đúng.


Tốc độ sinh lời của 2 khoản đầu tư bằng nhau tại 2 thời điểm là và

c) Đúng.
d) Sai.
 chục triệu đồng > 2,6 tỷ đồng.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1006989]: Trong một cái hộp có năm quả bóng được đánh số lần lượt là 2, 4, 6, 8 và 10, Tuấn lấy ngẫu nhiên một quả, sau đó lại trả về và việc này lặp lại 3 lần. Xác suất quả bóng đánh số 2 được lấy ra đúng hai lần là bao nhiêu, biết rằng tổng các số trong ba lần lấy là 12?
Điền đáp án: 0,3.
Gọi A là biến cố “tổng ba lần rút bằng 12”, B là “rút đúng hai lần bóng số 2”
Xét không gian mẫu là tổng ba lần rút bằng 12, ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 lần lấy ra bóng số 4 (1 cách)
TH2: 2 lần lấy ra bóng số 2 và 1 lần lấy ra bóng số 8 (3 cách) (*)
TH3: lấy ra 3 bóng khác nhau là 2, 4, 6 ( cách)
Tổng 10 cách

Từ (*) ta có:
Áp dụng công thức:
Câu 18 [1107938]: Cho hình chóp có đáy là hình thang, vuông góc với đáy và Gọi là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Khoảng cách giữa hai đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).

Vì là trung điểm của nên
Vì (vì là hình bình bình hành) và nên (vì là trung điểm của
Ta dễ dàng chứng minh được các tứ giác là hình thoi cạnh bằng 1 (dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).
Khi đó hay 4 điểm nội tiếp đường tròn tâm đường kính
Suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Kẻ
Ta có
Từ (1) và (2) suy ra
Trong tam giác vuông tại
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
Vậy khoảng cách cần tính bằng
Điền đáp án: 0,75.
Câu 19 [1093694]: Ở một công viên người ta trồng một số loài hoa hai bên đường từ cổng vào công viên sao cho các cây được trồng thẳng 2 hàng dọc và khoảng cách giữa các cây ở mỗi hàng bằng 1 mét. Họ trồng tất cả 10 loài hoa trong đó có 100 cây hoa cúc và 100 cây hoa huệ. Những cây hoa cúc được trồng ở hàng bên phải, cây hoa cúc đầu tiên được trồng ở vị trí thứ tư của hàng và cứ cách 2 cây hoa khác lại trồng 1 cây hoa cúc. Những cây hoa huệ được trồng ở hàng bên trái, cây hoa huệ đầu tiên được trồng ở vị trí thứ nhất và cứ cách 4 cây hoa khác lại trồng 1 cây hoa huệ. Hỏi có bao nhiêu cặp cây hoa cúc và cây hoa huệ được trồng thẳng hàng ngang?
Số vị trí trồng cây hoa cúc lập thành một cấp số cộng gồm 100 số hạng, với số hạng đầu và công sai
Cấp số cộng có số hạng tổng quát
Số vị trí trồng cây hoa huệ lập thành một cấp số cộng gồm 100 số hạng, với số hạng đầu và công sai
Cấp số cộng có số hạng tổng quát
Yêu cầu bài toán ta tìm các cây hoa cúc và cây hoa huệ được trồng cùng số vị trí tức ta tìm các số có mặt đồng thời trong cả hai cấp số cộng trên.
Các số có mặt đồng thời trong cả hai cấp số cộng trên thỏa mãn hệ
Vì nên và với
Ta lại có
Có Vì
Vì
Suy ra có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai cấp số cộng trên.
Vậy có 20 cặp cây hoa cúc và cây hoa huệ được trồng thẳng hàng ngang.
Câu 20 [1103868]: Trong hệ toạ độ (đơn vị mỗi trục là mét). Khi thực hiện quay quảng cáo, một diễn viên thực hiện một hành động mạo hiểm với chiếc xe môtô của mình. Xe xuất phát từ đi trên đoạn đường bằng leo lên dốc và thực hiện pha bay trên không tại điểm Quỹ đạo bay là một Parabol (quỹ đạo này phụ thuộc vào vận tốc tại điểm ). Vận động viên muốn đạt chiều cao tối đa là mét để vượt qua chướng ngại vật ở giữa. Biết chiều dài con dốc là 10 mét và vận tốc của anh ta sau t giây kể từ khi xuất phát được cho bởi hàm số Hãy tính toán xem điểm phải cách một khoảng là bao nhiêu mét để vận động viên thực hiện được ý muốn của mình (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng của tích phân + Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gợi ý: với (giây) là thời điểm anh ta đến điểm
Bước 1: Xác định (giây)
Vì quỹ đạo bay là một Parabol nên chiều cao tối đa của quỹ đạo bay là (với và (kiến thức lớp 10).
Lại có, vận động viên muốn đạt chiều cao tối đa là
(vận tốc tại điểm
Mà vận tốc của anh ta tại thời điểm giây kể từ khi xuất phát cho đến khi đến điểm được cho bởi hàm số nên
Bước 2: Tính
Vì vận tốc của anh ta tại thời điểm giây kể từ khi xuất phát cho đến khi đến điểm (tức sau 4 giây) được cho bởi hàm số nên quãng đường anh ta đi được từ 0 đến 4 giây là
Vậy
Điền đáp án: 43,3.
Câu 21 [1103223]: Trong hệ toạ độ đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất là mặt mắt một người quan sát đặt tại điểm Một máy bay máy bay không người lái (UAV) cất cánh tại điểm và bay theo quỹ đạo thẳng có hướng xác định đi qua điểm Máy bay bay đều với tốc độ Trên mặt đất, bức tường được coi là một tấm phẳng dựng vuông góc với mặt đất với Tính khoảng thời gian máy bay bị che khuất bởi bức tường (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của giây).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng + Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi là quãng đường máy bay bị bức tường (theo tọa độ các điểm thì bức tường của ta gọi là sẽ phù hợp hơn) che khuất (so với mắt nhìn) (tham khảo hình vẽ minh họa).

(Vì hoành độ của các điểm đều bằng 4 nên mặt phẳng nằm trên mặt phẳng hiển nhiên bức tường sẽ nằm ở giữa mắt nhìn và quãng đường bay của máy bay)
Khi đó, thời gian máy bay bị che khuất là
Vì cao độ của điểm cao hơn mắt nhìn và thấp hơn nên phần bị che khuất sẽ được tạo bởi mắt nhìn và hai đoạn thẳng Do đó
Bước 1: Tìm tọa độ điểm
Đầu tiên, ta viết phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Suy ra phương trình mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
Vì nên Mà nên ta có
Bước 2: Tìm tọa độ điểm
Tương tự như cách tìm phương trình mặt phẳng ta viết được phương trình mặt phẳng
Vì nên Mà nên ta có
Bước 3: Tính

Suy ra khoảng thời gian máy bay bị che khuất bởi bức tường là
Điền đáp án: 1,43.
Câu 22 [1107939]: Một chiếc cúp lưu niệm (tham khảo hình vẽ) là một khối gồm 3 phần đế, thân và đỉnh. Phần đế là khối chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn và cạnh đáy nhỏ lần lượt là 8cm và 6cm, chiều cao của đế là 5cm. Biết rằng phần thân có đường sinh là một phần của parabol có trục đối xứng trùng với trục của chiếc cúp. Phần thân có đáy nhỏ là đường tròn có bán kính là 3cm còn đáy lớn là đường tròn có bán kính là 6cm, chiều cao của phần thân là 25cm, đáy nhỏ của phần thân nằm trên đáy nhỏ của phần đế. Phần đỉnh là một phần khối cầu có chiều cao bằng 60% đường kính của khối cầu và mặt đáy lớn của phần thân có biên là một đường tròn nằm trên khối cầu này. Hai phần thân và đỉnh là khối tròn xoay có trục là đường thẳng vuông góc với mặt đáy của phần đế tại tâm của mặt đáy đó. Tính thể tích của chiếc cúp lưu niệm trên biết nó là khối đặc (tính theo cm³ làm tròn đến hàng đơn vị).
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Bản in đầu tiên, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Ứng dụng tích phân + Thể tích khối chóp cụt đều).
Mức độ: Vận dụng (8+)
Bước 1: Tính thể tích phần đế
Phần đế là khối chóp cụt lục giác đều (tức hai đáy là lục giác đều) có
Chiều cao 5 cm;
Độ dài cạnh đáy lớn là 8 cm suy ra diện tích đáy lớn là
Độ dài cạnh đáy nhỏ là 6 cm suy ra diện tích đáy bé là
Suy ra thể tích phần đế là
Bước 2: Tính thể tích phần thân
Phần thân có đường sinh là một phần của parabol (phương trình biểu diễn theo mà parabol này có trục đối xứng trùng với trục của chiếc cúp (cao 25 cm) tức thể tích của phần thân là thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi và các đường thẳng quanh trục và có thể tích bằng
Gắn hệ trục tọa độ với đi qua đường kính đáy lớn của phần thân và trùng với trục đối xứng của chiếc cúp (như hình vẽ).

Vì parabol đối xứng qua trục nên phương trình có dạng Mà đồ thị parabol đi qua các điểm nên ta có hệ
Tiếp theo, ta sẽ đưa phương trình parabol thành theo
Vậy thể tích phần thân là
Bước 3: Tính thể tích phần đỉnh
Kí hiệu các điểm như hình vẽ, với là tâm của đường tròn đáy chỏm cầu, là tâm của khối cầu và các điểm nằm trên khối cầu.

Vì chiều cao của khối chỏm cầu bằng 60% đường kính của khối cầu nên
Lại có
Mặt đáy lớn của phần thân là đường tròn đáy của chỏm cầu tức bán kính đáy của chỏm cầu bằng bán kính của đáy lớn của phần thân
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có

Suy ra thể tích phần đỉnh là
Vậy thể tích của cúp trên bằng
Điền đáp án: 3031.
Note:
Công thức tính thể tích chóp cụt đều với là chiều cao của khối chóp cụt; lần lượt là diện tích đáy lớn, đáy bé.
Công thức tính diện tích lục giác đều cạnh
Công thức thể tích chỏm cầu: với là chiều cao của khối chỏm cầu; là bán kính của khối cầu.