Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [256789]: Trong không gian mặt phẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Mặt phẳng đi qua điểm và nhận là một vecto pháp tuyến có phương trình là Đáp án: A
Câu 2 [1103869]: Cho hàm số bậc ba liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [1058041]: Đổi số đo của góc sang đơn vị radian.
A,
B,
C,
D,
Ta có
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [696324]: Cho hai vectơ có và góc giữa hai vectơ bằng Tích vô hướng của hai vectơ đã cho bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Tích vô hướng của hai vectơ đã cho bằng
Đáp án: B
Câu 5 [1103870]: Cho cấp số cộng với và công sai Tính
A,
B,
C,
D,
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:
Ta có
Suy ra
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 6 [1103871]: Nghiệm của phương trình là
A,
B,
C,
D,

Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [257437]: Họ các nguyên hàm của hàm số là
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có họ các nguyên hàm của hàm số là:
Đáp án: A
Câu 8 [256792]: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn :
199.PNG
Khi đó ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng Đáp án: A
Câu 9 [256790]: Nếu và thì bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án D.
Ta có:
Đáp án: D
Câu 10 [696325]: Trong không gian mặt cầu có diện tích bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn dáp án A.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Diện tích mặt cầu có diện tích bằng Đáp án: A
Câu 11 [696326]: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả táo được cho trong bảng sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án C.
Cỡ mẫu:
Gọi là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Ta có:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là Đáp án: C
Câu 12 [696327]: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đường thẳng nối trọng tâm của hai tam giác song song với đường thẳng nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.

Lấy là trung điểm của ta có:
là trọng tâm của tam giác nên
Tương tự, là trọng tâm của tam giác nên
Do đó,
Vậy đường thẳng nối trọng tâm của hai tam giác song song với đường thẳng Đáp án: B
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [693335]: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
a) Đúng.
Ta có:
b) Sai.
là một nguyên hàm của hàm số nên
c) Sai.
Ta có:
d) Sai.
Đồ thị của hàm số đi qua nên
Câu 14 [695515]: Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra.
Gọi là biến cố: “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.
Gọi là biến cố: “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.
Gọi là biến cố: “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.
a) Sai.
Xác suất chọn hộp loại I là và xác suất chọn hộp loại II là
b) Sai.
là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt biết 2 sản phẩm đó lấy ra từ hộp loại I”.
Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là
c) Đúng.
Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là
Ta có sơ đồ cây sau:


Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là

d) Đúng.
Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là
Công thức Bayes:
Câu 15 [1103873]: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty A đề xuất 4 phương án trả lương để người lao động chọn như sau:
Phương án 1: Người lao động sẽ nhận 82 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm 7 triệu đồng mỗi năm.
Phương án 2: Người lao động sẽ nhận mức lương 18 triệu đồng cho quý làm việc đầu và kể từ quý thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 1 triệu đồng cho mỗi quý.
Phương án 3: Người lao động sẽ nhận mức lương 4 triệu đồng cho 1 tháng làm việc đầu và kể từ tháng thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 0,1 triệu đồng so với tháng trước đó.
Phương án 4: Người lao động sẽ nhận 72 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm 10% so với năm trước đó.
Note: Tổng số hạng đầu của một cấp số cộng:
Tổng số hạng đầu của một cấp số nhân:
Phân tích các phương án trả lương:
Phương án 1: Là một cấp số cộng (theo năm) với
Suy ra tổng số tiền người lao động nhận được sau năm là
(triệu đồng)
Phương án 2: Là một cấp số cộng (theo quý – 1 năm có 4 quý) với
Suy ra mức lương nhận được sau quý là (triệu đồng)
Phương án 3: Là một cấp số cộng (theo tháng) với
Suy ra mức lương nhận được sau tháng là (triệu đồng)
Phương án 4: Là một cấp số nhân (theo năm) với
Suy ra mức lương nhận được sau năm là (triệu đồng)
a) Đúng.
Sau hai năm làm việc đầu tiên, nếu người lao động chọn phương án trả lương 1 thì sẽ nhận về tổng số tiền là (triệu đồng).
b) Đúng.
Sau 5 năm (tức 20 quý, 60 tháng) làm việc tổng số tiền người lao động nhận về theo:
Phương án trả lương 2 (tính theo quý) là (triệu đồng).
Phương án trả lương 3 (tính theo tháng) là (triệu đồng).
Vậy sau 5 năm làm việc tổng số tiền người lao động nhận về theo phương án trả lương 2 sẽ được nhiều hơn phương án trả lương 3.
c) Sai.
Sau 10 năm làm việc tổng số tiền người lao động nhận về theo phương án 4 là (triệu đồng).
d) Sai.
Số tiền người lao động nhận về sau 10 năm (tức 120 tháng, 40 quý) theo:
Phương án 1 là (triệu đồng)
Phương án 2 là (triệu đồng)
Phương án 3 là (triệu đồng)
So sánh các phương án, ta thấy nên chọn phương án 2 để nhận về tổng số tiền nhiều nhất.
Câu 16 [1103872]: Trong không gian toạ độ cho trước, đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất trùng với mặt phẳng trục hướng lên. Một người bắn một viên đạn tại điểm Độ cao của một viên đạn sau (giây) kể từ khi được bắn ra khỏi nòng được cho bởi hàm số (mét).
Biết quỹ đạo bay của viên đạn là một Parabol đi qua điểm và luôn nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Cho biết thêm: vận tốc theo phương ngang của viên đạn là không đổi.

a) Đúng.
Để viết được phương trình mặt phẳng ta cần biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng.
Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng - mặt phẳng chứa quỹ đạo.
Vì mặt phẳng đi qua điểm nên là một vectơ chỉ phương của
Chọn là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng

“Biết quỹ đạo bay của viên đạn luôn nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất” tức nên với là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Từ (1) và (2) suy ra
Suy ra phương trình mặt phẳng đi qua là (chia cả hai vế cho
b) Đúng.
Viên đạn rơi xuống đất khi độ cao
Vì là thời điểm lúc bắt đầu bắn nên và giây là thời điểm viên đạn chạm đất.
c) Đúng.
Tại (tức viên đạn tại gốc tọa độ) thì tung độ
Tại điểm có cao độ
Vậy sau giây thì tung độ là
Vì vận tốc theo phương ngang của viên đạn là không đổi tức tung độ nên
Suy ra tung độ của viên đạn sau là
(Hoặc các em có thể tham khảo cách thầy Tuấn hướng dẫn trong video nhé!)
d) Đúng.
Từ í (b), ta biết viên đạn chạm đất tại thời điểm
Thay vào biểu thức tung độ vừa tìm được ở câu (c), ta suy ra tung độ của điểm là
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [1039612]: Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trọng tâm của . Góc nhị diện bằng . Tính thể tích khối lăng trụ .
Đáp án: 72

+) Vì đáy là tam giác đều nên cân tại .
Gọi là trung điểm của
là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện .
+) .
+)
Câu 18 [1042181]: Vào lúc 8:30 sáng, một bác sĩ pháp y đã đến nhà của một người đã tử vong trong đêm. Để ước lượng thời gian tử vong, bác sĩ pháp y đã đo nhiệt độ của người đó hai lần. Vào lúc 9:00 sáng, nhiệt độ là 85,7°F, và vào lúc 11:00 sáng, nhiệt độ là 82,8°F. Từ hai nhiệt độ này, bác sĩ pháp y đã có thể xác định rằng thời gian trôi qua kể từ khi chết và nhiệt độ cơ thể có liên quan theo công thức trong đó t là thời gian tính bằng giờ kể từ khi người đó tử vong và T là nhiệt độ (°F) của cơ thể tại thời điểm đó. Tính vào lúc 11 giờ sáng, người đó đã tử vong bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Vào lúc 8:30 sáng, một bác sĩ pháp y đã đến nhà của một người đã tử vong trong đêm.
- Để ước lượng thời gian tử vong, bác sĩ pháp y đã đo nhiệt độ của người đó 2 lần.
- Vào lúc 9:00 sáng, nhiệt độ là và vào lúc sáng, nhiệt độ là
- Thời gian trôi qua kể từ khi chết và nhiệt độ cơ thể có liên quan theo công thức là thời gian tính bằng giờ kể từ khi người đó tử vong và là nhiệt độ của cơ thể tại thời điểm đó.
b) Yêu cầu:
- Tính vào lúc 11 giờ sáng, người đó đã tử vong bao nhiêu giờ?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Tính khoảng thời gian người đó tử vong trong 2 thời điểm , sau đó dựa vào dữ kiện đề bài để tìm ra
Phần 3. Giải chi tiết
Giả sử người đó tử vong vào thời điểm
Khoảng thời gian người đó tử vong từ thời điểm đến 9 giờ sáng là
Khoảng thời gian người đó tử vong từ thời điểm đến 11 giờ sáng là
Chênh lệch từ 9 giờ sáng đến 11 giờ sáng là 2 giờ nên ta có phương trình :

giờ.
Điền đáp án: 7,87.
Câu 19 [1107948]: Khi phát triển hệ thống hỗ trợ đỗ xe, các nhà nghiên cứu đã tích hợp cảm biến vào đuôi một chiếc xe. Trong không gian toạ độ đơn vị mỗi trục là mét. Một người lái xe đang lái xe thẳng lùi về phía một mặt phẳng nghiêng được mô phỏng bởi mặt phẳng Cảm biến được điều chỉnh để khi khoảng cách từ cảm biến đến bức tường trong khoảng 0,3 mét thì sẽ phát ra báo động. Biết khi lùi xe, lúc đầu cảm biến đặt tại điểm và một lúc sau đã đến điểm Gọi là vị trí đầu tiên trong quá trình lùi xe thì cảm biến kích hoạt báo động. Tính (làm tròn đến hàng đơn vị).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gợi ý: Xác định dựa vào và khoảng cách từ đến bức tường nghiêng bằng 0,3.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng quỹ đạo cảm biến (đường thẳng
Suy ra là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Phương trình tham số đường thẳng là

Bước 2: Xác định
Vì khi khoảng cách từ cảm biến đến bức tường trong khoảng 0,3 mét thì sẽ phát ra báo động nên vị trí đầu tiên trong quá trình lùi xe mà cảm biến kích hoạt báo động sẽ cách bức tường 0,3 mét nên ta có
(giá trị đầu tiên mà cảm biến kích hoạt sẽ cho hoành độ lớn hơn vì quan sát thấy khi lùi xe về bức tường thì hoành độ giảm dần tức nhỏ hơn).
Suy ra
Vậy
Điền đáp án: 6184.
Câu 20 [703025]: Hai hình chữ nhật bằng nhau, nội tiếp trong đường tròn tâm bán kính tạo thành một hình chữ thập đối xứng (như hình vẽ bên). Diện tích lớn nhất của hình chữ thập là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 2,47.
Ta kí hiệu các điểm trên hình như sau:

(Nhận xét: các đường chéo của 2 hình chữ nhật sẽ trùng với đường kính của đường tròn tâm .)
Đặt
Trong tam giác vuông ta có
Diện tích của hình chữ thập Diện tích hình vuông (là giao của 2 hình chữ nhật)

Xét hàm số trên khoảng
Ta có









Ta có
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ thập là
Câu 21 [1103398]: Một hồ nước sâu 300 mét được bao quanh bởi hai gò đất và có đường ranh giới giữa hồ và hai gò đất là (đường viền bên trái) và (đường viền bên phải). Trên hệ toạ độ gốc toạ độ là điểm giao giữa hai gò đất, trục Oy hướng lên trời, đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, mặt cắt ngang của hồ là phần hình phẳng được giới hạn bởi đường cong và (tham khảo như hình vẽ). Hai đường viền được mô hình hoá dưới dạng một hàm sin, trong đó đi qua điểm và đi qua điểm với Khi mực nước trong hồ cao 150 mét thì diện tích mặt cắt ngang của nước bằng bao nhiêu nghìn mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số + Ứng dụng của tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8,5+).
Khi mực nước trong hồ cao 150 mét thì diện tích mặt cắt ngang của nước bằng với là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và
Bước 1: Viết phương trình đường cong
Từ giả thiết kết hợp hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình

Tương tự, đồ thị hàm số đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình

Bước 2: Tìm diện tích (bấm máy tính tích phân dùng đơn vị radian)
Phương trình giao điểm hoành độ:
Suy ra
Bước 3: Tính diện tích
Phương trình giao điểm hoành độ:
Suy ra
Bước 4: Tính diện tích mặt cắt ngang của nước
Tổng diện tích mặt cắt ngang của nước bằng (nghìn mét vuông).
Điền đáp án: 38,5.
Câu 22 [1103874]: Một quân cờ đang được đặt ở ô trung tâm của bảng ô vuông có kích thước . Di chuyển ngẫu nhiên quân cờ 4 nước, mỗi lần di chuyển quân cờ có thể đi dọc, đi ngang hoặc đi chéo đến một ô gần gần nhất. Biết rằng xác suất để sau 4 nước đi, quân cờ này quay trở lại ô trung tâm bằng (, là phân số tối giản). Tính