PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [256628]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
có bảng biến thiên như hình sau:Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tính đơn điệu của hàm số).
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Xét lần lượt các đáp án kết hợp với quan sát bảng biến thiên, ta thấy
trên khoảng 
nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Lời giải chi tiết:
Xét lần lượt các đáp án kết hợp với quan sát bảng biến thiên, ta thấy
trên khoảng nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [256650]: Trong không gian 
trục tọa độ 
có một vectơ chỉ phương là
trục tọa độ có một vectơ chỉ phương là A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tọa độ của vectơ).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: (Lý thuyết SGK) Trong hệ trục
ta có
•Trục
có vectơ chỉ phương là 
• Trục
có vectơ chỉ phương là 
• Trục
có vectơ chỉ phương là 
Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: (Lý thuyết SGK) Trong hệ trục
ta có
•Trục
có vectơ chỉ phương là
• Trục
có vectơ chỉ phương là
• Trục
có vectơ chỉ phương là Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Câu 3 [676907]: Với 
, 
bằng
, bằng A, 
B, 
.
.C, 
D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Phép tính lôgarit).
Mức độ: Nhận biết.
Các công thức sử dụng: Với
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Nhận biết.
Các công thức sử dụng: Với
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [386265]: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Nguyên hàm).
Mức độ: Nhận biết.
Công thức sử dụng:
với 
là hằng số thực.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Công thức sử dụng:
với là hằng số thực.
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 5 [687339]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình chữ nhật và 
. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng 
?
có đáy là hình chữ nhật và . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ? A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Ta có:
Lại có:
Mà
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Ta có:
Lại có:
Mà
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 6 [256623]: Cấp số cộng 
có 
Công sai của cấp số cộng 
bằng
có Công sai của cấp số cộng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Cấp số cộng).
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (CSC):
với 
là số hạng đầu tiên của CSC và 
là công sai.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
là dãy cấp số cộng.
Có
Thay
ta được 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Nhắc lại: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (CSC):
với là số hạng đầu tiên của CSC và là công sai.Lời giải chi tiết:
Ta có:
là dãy cấp số cộng.Có
Thay
ta được Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [876033]: Tập nghiệm của bất phương trình 
là
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Bất phương trình mũ).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại lý thuyết SGK: Bất phương trình mũ
TH1: Nếu
tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 
TH2:
thì bất phương trình tương đương với 
2.1.Với
nghiệm của bất phương trình đã cho là 
2.2. Với
nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Nhận xét: bất phương trình đã cho có 
nên ta giải theo 2.2.
Lời giải chi tiết:
(thực hiện bấm 
trên máy tính)
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại lý thuyết SGK: Bất phương trình mũ
TH1: Nếu
tập nghiệm của bất phương trình đã cho là TH2:
thì bất phương trình tương đương với 2.1.Với
nghiệm của bất phương trình đã cho là 2.2. Với
nghiệm của bất phương trình đã cho là Nhận xét: bất phương trình đã cho có nên ta giải theo 2.2.Lời giải chi tiết:
(thực hiện bấm trên máy tính)Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [699447]: Tích phân 
có giá trị bằng
có giá trị bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Thông hiểu.
Các công thức sử dụng:
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Các công thức sử dụng:
Lời giải chi tiết:
Ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 9 [858739]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bảng biến thiên như trên là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
có bảng biến thiên như sau:Hàm số có bảng biến thiên như trên là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
là hàm số bậc bốn trùng phương (vì hàm trùng phương có nhiều nhất 3 điểm cực trị, trong khi hàm số bậc 3 chỉ có nhiều nhất là 2 điểm cực trị).
Loại C và D.
Ta thấy đồ thị hàm số có nhánh cuối cùng bên phải là đi lên nên hệ số
của hàm số phải mang giá trị dương. Do đó loại đáp án A (Vì hệ số 
của hàm số là 
Vậy hàm số có bảng biên thiên trên là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Thông hiểu.
Lời giải chi tiết:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
là hàm số bậc bốn trùng phương (vì hàm trùng phương có nhiều nhất 3 điểm cực trị, trong khi hàm số bậc 3 chỉ có nhiều nhất là 2 điểm cực trị). Loại C và D.Ta thấy đồ thị hàm số có nhánh cuối cùng bên phải là đi lên nên hệ số
của hàm số phải mang giá trị dương. Do đó loại đáp án A (Vì hệ số của hàm số là Vậy hàm số có bảng biên thiên trên là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 10 [876186]: Cho hình hộp 
(minh họa như hình bên). Vectơ nào sau đây bằng vectơ 
(minh họa như hình bên). Vectơ nào sau đây bằng vectơ A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng (tức cùng phương (song song hoặc trùng nhau) và cùng chiều) và có độ dài bằng nhau.
Ta có
Chọn đáp án A.
Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng (tức cùng phương (song song hoặc trùng nhau) và cùng chiều) và có độ dài bằng nhau.
Ta có
Chọn đáp án A.
Đáp án: A
Câu 11 [876044]: Cho mẫu số liệu ghép nhóm tần số như bảng sau:
Mốt của mẫu số liệu đã cho là
Mốt của mẫu số liệu đã cho là
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị đại diện cho nhóm có tần số xuất hiện lớn nhất. Nên nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.
Công thức tính:
với 
là đầu mút trái của nhóm chứa mốt; 
là tần số của nhóm chứa mốt; 
là tần số của nhóm ngay trước nhóm chứa mốt.
là tần số của nhóm ngay sau nhóm chứa mốt; 
là độ rộng của nhóm (hiệu giữa đầu mút phải và đầu mút trái).
Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt:
Nhóm chứa mốt là
Bước 2: Xác định các giá trong công thức
Quan sát bảng mẫu số liệu đã cho, ta có
Bước 3: Thay các giá vừa tìm được ở bước 2 vào công thức
Ta tính được
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị đại diện cho nhóm có tần số xuất hiện lớn nhất. Nên nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.
Công thức tính:
với là đầu mút trái của nhóm chứa mốt; là tần số của nhóm chứa mốt; là tần số của nhóm ngay trước nhóm chứa mốt. là tần số của nhóm ngay sau nhóm chứa mốt; là độ rộng của nhóm (hiệu giữa đầu mút phải và đầu mút trái).Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt:
Nhóm chứa mốt là
Bước 2: Xác định các giá trong công thức
Quan sát bảng mẫu số liệu đã cho, ta có
Bước 3: Thay các giá vừa tìm được ở bước 2 vào công thức
Ta tính được
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [693183]: Trong không gian 
khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
bằng
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt phẳng).
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng 
là 
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức tính khoảng cách điểm đến mặt phẳng ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
Nhắc lại: Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng là
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức tính khoảng cách điểm đến mặt phẳng ta có:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [693209]: Một tờ tiền giả lần lượt bị hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện ra tờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này tiền giả, thì xác suất để người B cũng nhận định như thể là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để người B cũng nhận định như thể là 0,4.
Gọi 
là biến cố: “Người A phát hiện ra tờ này là tiền giả”.
Gọi B là biến cố: “Người B phát hiện ra tờ tiền này là giả”.
Khi đó
a) Sai.
Xác suất để A không phát hiện ra tờ tiền đó giả là
b) Đúng.
Xác suất để hai người này đều nhận định đây là tờ tiền thật là
c) Đúng.
Dựa vào ý b) ta có: Xác suất để ít nhất một trong hai người này phát hiện ra tờ tiền đó là giả là:
d) Đúng.
Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, xác suất để A phát hiện ra nó giả là
là biến cố: “Người A phát hiện ra tờ này là tiền giả”.Gọi B là biến cố: “Người B phát hiện ra tờ tiền này là giả”.
Khi đó
a) Sai.
Xác suất để A không phát hiện ra tờ tiền đó giả là
b) Đúng.
Xác suất để hai người này đều nhận định đây là tờ tiền thật là
c) Đúng.
Dựa vào ý b) ta có: Xác suất để ít nhất một trong hai người này phát hiện ra tờ tiền đó là giả là:
d) Đúng.
Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, xác suất để A phát hiện ra nó giả là
Câu 14 [1095088]: Trong không gian toạ độ 
cho trước, đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất trùng với mặt phẳng 
trục 
hướng lên. Một cột cờ được đặt vuông góc với mặt đất, trên cột cờ tại điểm 
cách mặt đất 6 mét, người ta dùng các đoạn dây cáp 
và 
có độ dài bằng nhau và bằng 7 mét để giữ cột được chắc chắn hơn. Biết rằng 
và lực căng của sợi dây cáp 
và 
tác dụng lên cột cờ lần lượt có độ lớn là 
và 
Cho toạ độ điểm điểm
là 
(trong đó 
Gọi 
là góc giữa hai vectơ 
và 
cho trước, đơn vị mỗi trục là mét, mặt đất trùng với mặt phẳng trục hướng lên. Một cột cờ được đặt vuông góc với mặt đất, trên cột cờ tại điểm cách mặt đất 6 mét, người ta dùng các đoạn dây cáp và có độ dài bằng nhau và bằng 7 mét để giữ cột được chắc chắn hơn. Biết rằng và lực căng của sợi dây cáp và tác dụng lên cột cờ lần lượt có độ lớn là và Cho toạ độ điểm điểm
là (trong đó Gọi là góc giữa hai vectơ và
a) Sai.
Với
và 
thì 
b) Đúng.
Giả thiết cho: hai đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và bằng 7 mét và 
là góc giữa hai vectơ 
và 
Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ ta có 
c) Sai.
Ta có
(lấy phương trình trên trừ phương trình dưới)
(vì 
Suy ra
d) Đúng.
Hợp lực của hai lực
tác dụng lên điểm 
là 
Mà
(suy ra từ công thức tính góc giữa hai vectơ) nên
Suy ra độ lớn hợp lực
Với
và thì b) Đúng.
Giả thiết cho: hai đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và bằng 7 mét và là góc giữa hai vectơ và Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ ta có c) Sai.
Ta có
(lấy phương trình trên trừ phương trình dưới) (vì Suy ra
d) Đúng.
Hợp lực của hai lực
tác dụng lên điểm là Mà
(suy ra từ công thức tính góc giữa hai vectơ) nênSuy ra độ lớn hợp lực
Câu 15 [1095089]: Sau khi uống thuốc, nồng độ hoạt chất trong máu một bệnh nhân được mô hình hoá bằng hàm đa thức 
là thời gian tính bằng giờ; 
là nồng độ tính bằng mg/ml). Sau khi nồng độ thuốc đạt cực đại, nó bắt đầu giảm, gọi 
(giờ) là thời điểm nồng độ thuốc giảm nhanh nhất. Tại thời điểm 
bệnh nhân được dùng một chất đối kháng và kể từ thời điểm đó nồng độ của thuốc sẽ luôn giảm với tốc độ không đổi.
là thời gian tính bằng giờ; là nồng độ tính bằng mg/ml). Sau khi nồng độ thuốc đạt cực đại, nó bắt đầu giảm, gọi (giờ) là thời điểm nồng độ thuốc giảm nhanh nhất. Tại thời điểm bệnh nhân được dùng một chất đối kháng và kể từ thời điểm đó nồng độ của thuốc sẽ luôn giảm với tốc độ không đổi.
a) Đúng.
Ý nghĩa của đạo hàm:
thể hiện đại lượng X thì 
thể hiện tốc độ thay đổi của X.
Khi đó
là hàm thể hiện tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu.
Ta có
Tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu (đơn vị: mg/ml/giờ) tại thời điểm
được tính bằng 
b) Sai.
Giả thiết cho: “
(giờ) là thời điểm nồng độ thuốc giảm nhanh nhất” nên 
là điểm cực tiểu của hàm tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu 
Xét hàm số
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra
c) Đúng.
Giả thiết cho: “Tại thời điểm
(giờ) bệnh nhân được dùng một chất đối kháng và kể từ thời điểm đó nồng độ của thuốc sẽ luôn giảm với tốc độ không đổi”.
Tức từ thời điểm
(giờ) nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân không giảm theo hàm 
mà giảm theo hàm 
(tốc độ không đổi tức 
với 
là một hằng số).
Do đó hàm biểu thị nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân từ thời điểm
(giờ) là 
(một hàm bậc nhất có dạng 
Ta có
Suy ra
Mà
Lúc này thuốc được đào thải hết ra khỏi cơ thể khi
Vậy nồng độ thuốc được đào thải hết ra khỏi cơ thể sau 8 giờ.
d) Sai.
Gợi ý:
thể hiện đại lượng X, giá trị trung bình của X trong khoảng 
đến 
bằng
Nồng độ thuốc trung bình trong máu từ lúc bắt đầu uống thuốc
đến khi đào thải hết ra khỏi cơ thể 
bằng
Ý nghĩa của đạo hàm:
thể hiện đại lượng X thì thể hiện tốc độ thay đổi của X.
Khi đó
là hàm thể hiện tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu.
Ta có
Tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu (đơn vị: mg/ml/giờ) tại thời điểm
được tính bằng
b) Sai.
Giả thiết cho: “
(giờ) là thời điểm nồng độ thuốc giảm nhanh nhất” nên là điểm cực tiểu của hàm tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu
Xét hàm số
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra
c) Đúng.
Giả thiết cho: “Tại thời điểm
(giờ) bệnh nhân được dùng một chất đối kháng và kể từ thời điểm đó nồng độ của thuốc sẽ luôn giảm với tốc độ không đổi”.
Tức từ thời điểm
(giờ) nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân không giảm theo hàm mà giảm theo hàm (tốc độ không đổi tức với là một hằng số).
Do đó hàm biểu thị nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân từ thời điểm
(giờ) là (một hàm bậc nhất có dạng
Ta có
Suy ra
Mà
Lúc này thuốc được đào thải hết ra khỏi cơ thể khi
Vậy nồng độ thuốc được đào thải hết ra khỏi cơ thể sau 8 giờ.
d) Sai.
Gợi ý:
thể hiện đại lượng X, giá trị trung bình của X trong khoảng đến bằng
Nồng độ thuốc trung bình trong máu từ lúc bắt đầu uống thuốc
đến khi đào thải hết ra khỏi cơ thể bằng
Câu 16 [1070477]: Cho hàm số 
a) ĐKXĐ của hàm số là: 
Vậy tập xác định của hàm số
là 
Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Từ
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Hàm số có tiệm cận đứng là
tiệm cận ngang là 
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao của hai đường tiệm cận
Thay tọa độ điểm
vào phương trình đường thẳng 
ta có:
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số
không nằm trên đường thẳng 
Suy ra mệnh đề d) sai.
Vậy tập xác định của hàm số
là Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Từ
Ta có bảng biến thiên:
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Hàm số có tiệm cận đứng là
tiệm cận ngang là Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao của hai đường tiệm cận
Thay tọa độ điểm
vào phương trình đường thẳng ta có:Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số
không nằm trên đường thẳng Suy ra mệnh đề d) sai.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17 [779011]: Tốc độ giải ngân 2 tỷ tiền trợ cấp 
dành cho một vùng A bị thiệt hại về lũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của 
trong đó 
là thời gian tính bằng ngày 
và 
là số tiền còn lại chưa giải ngân. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.
dành cho một vùng A bị thiệt hại về lũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của trong đó là thời gian tính bằng ngày và là số tiền còn lại chưa giải ngân. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Tích phân).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì
tỉ lệ thuận với bình phương của 
nên ta có 
Theo công thức nguyên hàm, ta có
Từ giả thiết, ta có số tiền còn lại chưa giải ngân tại thời điểm
là bằng 2000 triệu đồng 
Khi đó
Vì toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày nên ta có
Suy ra
Vậy số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là
(triệu đồng)
Điền đáp án 432.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì
tỉ lệ thuận với bình phương của nên ta có Theo công thức nguyên hàm, ta có
Từ giả thiết, ta có số tiền còn lại chưa giải ngân tại thời điểm
là bằng 2000 triệu đồng Khi đó
Vì toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày nên ta có
Suy ra
Vậy số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là
(triệu đồng)Điền đáp án 432.
Câu 18 [1095090]: Trong hệ trục toạ độ 
đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ 
và kết thúc tại 
đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số 
biết đồ thị hàm số 
tiếp xúc với trục 
tại điểm 
Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm
hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục 
nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ và kết thúc tại đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số biết đồ thị hàm số tiếp xúc với trục tại điểm Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm
hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán 12 (Hàm số)
Mức độ: Vận dụng (8+)
Đường trượt được là một phần của đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán: Tính khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét (và khoảng cách này bằng
Ghi nhớ: Một hàm số bậc hai có đồ thị
tiếp xúc với trục hoành tại điểm 
thì khi đó phương trình 
có nghiệm kép là 
và hàm số 
Quan sát hình vẽ, ta thấy
(là một phương trình bậc hai) có đồ thị tiếp xúc trục hoành tại điểm 
nên tử số của 
có nghiệm kép là 
hay có phương trình là 
Suy ra
Từ giả thiết bài toán kết hợp quan sát hình vẽ, ta có
Vậy khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét là
Điền đáp án: 1,67.
Mức độ: Vận dụng (8+)
Đường trượt được là một phần của đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán: Tính khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét (và khoảng cách này bằng
Ghi nhớ: Một hàm số bậc hai có đồ thị
tiếp xúc với trục hoành tại điểm thì khi đó phương trình có nghiệm kép là và hàm số
Quan sát hình vẽ, ta thấy
(là một phương trình bậc hai) có đồ thị tiếp xúc trục hoành tại điểm nên tử số của có nghiệm kép là hay có phương trình là
Suy ra
Từ giả thiết bài toán kết hợp quan sát hình vẽ, ta có
Vậy khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét là
Điền đáp án: 1,67.
Câu 19 [1063597]: Cho khối chóp 
có đáy 
là hình bình hành,
Tính 
của góc tạo bởi 
và mặt phẳng 
(viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
có đáy là hình bình hành, Tính của góc tạo bởi và mặt phẳng (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 11 (Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
là hình chiếu của 
trên mặt phẳng 
Khi đó 
Trong tam giác
vuông tại 
ta có 
Do đó để giải quyết bài toán, thì ta cần đi xác định được 
và 
Bước 1: Xác định
Vì
nên 
Ta có
(trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh thì bù nhau)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ta có 
Suy ra
Áp dụng định lí Pythagore tam giác
vuông tại 
ta có 
Bước 2: Xác định
Ta có
Mà
(với 
là giao điểm của 
và 
Suy ra
Từ
kẻ 
và 
Khi đó 
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ta có 
Ta có
Trong tam giác vuông
ta có 
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Suy ra
Vậy
Ta có
(Vì góc 
là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên 
(tức nằm trong góc phần tư thứ nhất) và trong khoảng này thì 
Điền đáp án: 0,97.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Gọi
là hình chiếu của trên mặt phẳng Khi đó
Trong tam giác
vuông tại ta có Do đó để giải quyết bài toán, thì ta cần đi xác định được và
Bước 1: Xác định
Vì
nên
Ta có
(trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh thì bù nhau)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ta có
Suy ra
Áp dụng định lí Pythagore tam giác
vuông tại ta có
Bước 2: Xác định
Ta có
Mà
(với là giao điểm của và
Suy ra
Từ
kẻ và Khi đó
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ta có
Ta có
Trong tam giác vuông
ta có (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Suy ra
Vậy
Ta có
(Vì góc là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên (tức nằm trong góc phần tư thứ nhất) và trong khoảng này thì
Điền đáp án: 0,97.
Câu 20 [1091572]: Một máy tán sỏi sử dụng mặt phản xạ có dạng hình elip để phá vỡ sỏi thậnmà không cần phẫu thuật. Một bugi đặt tại một tiêu điểm của elip phát ra các xung nănglượng. Nhờ đặc tính phản xạ của elip, các xung này được hội tụ về tiêu điểm còn lại - nơi đặtviên sỏi thận - với đủ năng lượng để làm vỡ viên sỏi (xem hình minh họa).
Độ dài các trục lớn và nhỏ của elip lần lượt là 28 cm và 14 cm. Hỏi khoảng cách từ bugi đến viên sỏi là bao nhiêu cm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Độ dài các trục lớn và nhỏ của elip lần lượt là 28 cm và 14 cm. Hỏi khoảng cách từ bugi đến viên sỏi là bao nhiêu cm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 10 (Ba đường conic: elip).
Mức độ: Vận dụng (7+).
Nhắc lại: Lý thuyết về hình elip: Cho hình elip như hình vẽ.
Elip có phương trình chính tắc là
Ta có
là hai tiêu điểm; 
độ dài trục lớn; 
độ dài trục nhỏ.
là giao điểm của elip 
với trục 
là giao điểm của elip 
với trục 
và 
Lời giải chi tiết:
Từ dữ kiện: “Một bugi đặt tại một tiêu điểm của elip và viên sỏi nằm ở tiêu điểm còn lại” nên khoảng cách từ bugi đến viên sỏi bằng khoảng cách giữa hai tiêu điểm của hình elip tức bằng
Giả thiết cho: “Độ dài các trục lớn và nhỏ của elip lần lượt là 28 cm và 14 cm” nên ta có
Ta có
Vậy khoảng cách từ bugi đến viên sỏi bằng
Điền đáp án: 24,2.
Mức độ: Vận dụng (7+).
Nhắc lại: Lý thuyết về hình elip: Cho hình elip như hình vẽ.
Elip có phương trình chính tắc là
Ta có
là hai tiêu điểm; độ dài trục lớn; độ dài trục nhỏ. là giao điểm của elip với trục là giao điểm của elip với trục và Lời giải chi tiết:
Từ dữ kiện: “Một bugi đặt tại một tiêu điểm của elip và viên sỏi nằm ở tiêu điểm còn lại” nên khoảng cách từ bugi đến viên sỏi bằng khoảng cách giữa hai tiêu điểm của hình elip tức bằng
Giả thiết cho: “Độ dài các trục lớn và nhỏ của elip lần lượt là 28 cm và 14 cm” nên ta có
Ta có
Vậy khoảng cách từ bugi đến viên sỏi bằng
Điền đáp án: 24,2.
Câu 21 [1095091]: Trong hệ toạ độ 
đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, mặt đất trùng với mặt phẳng 
Một không phận được kiểm soát bởi cơ quan kiểm soát không lưu được giới hạn bởi một mặt phẳng 
Mặt phẳng này chứa các điểm sau: 
và 
Tại một điểm 
một đứa trẻ đang thả diều bên ngoài không phận. Lúc đầu, diều đang ở vị trí điểm 
(là điểm duy nhất trong quá trình chuyển động, diều chạm vào không phận), vì có gió nên sau 1 phút, dây diều đã nằm theo hướng 
tạo với mặt đất một góc bằng 45 độ. Tính quãng đường mà con diều đã di chuyển trong 1 phút trên, biết rằng hướng gió không đổi và dây diều luôn căng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo mét).
đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, mặt đất trùng với mặt phẳng Một không phận được kiểm soát bởi cơ quan kiểm soát không lưu được giới hạn bởi một mặt phẳng Mặt phẳng này chứa các điểm sau: và Tại một điểm một đứa trẻ đang thả diều bên ngoài không phận. Lúc đầu, diều đang ở vị trí điểm (là điểm duy nhất trong quá trình chuyển động, diều chạm vào không phận), vì có gió nên sau 1 phút, dây diều đã nằm theo hướng tạo với mặt đất một góc bằng 45 độ. Tính quãng đường mà con diều đã di chuyển trong 1 phút trên, biết rằng hướng gió không đổi và dây diều luôn căng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo mét).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì dây diều có độ dài không đổi nên các vị trí của diều sẽ luôn nằm trên một mặt cầu (có bán kính bằng chiều dài dây diều tức bằng
Giả sử 
là vị trí của diều sau 1 phút. Khi đó quãng đường mà con diều chuyển động được là một cung tròn 
Theo công thức tính độ dài cung tròn, ta có
Do đó, để giải quyết bài toán, ta cần xác định được 
và góc giữa hai vectơ 
và 
(đơn vị rad).
Bước 1: Xác định bán kính
Ta đã biết tọa độ
do đó để tính được độ dài 
ta cần đi xác định tọa độ điểm 
Giả thiết cho: “Khi diều ở vị trí điểm
là điểm duy nhất trong quá trình chuyển động, diều chạm vào không phận” tức mặt phẳng không phận 
tiếp xúc với mặt cầu tại điểm 
hay 
Nên đường thẳng
nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng
có cặp vectơ chỉ phương 
nên có vectơ pháp tuyến là 
Suy ra phương trình mặt phẳng
Đường thẳng
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
có phương trình tham số là 
nên 
Mà 
nên ta có 
(thay tọa độ điểm 
vào phương trình mặt phẳng 
Suy ra
Bước 2: Xác định góc giữa hai vectơ
và 
Ta có
Vì sau 1 phút, dây diều nằm theo hướng
nên 
Do đó để xác định 
thì ta cần đi tìm cao độ 
của 
Dựa vào giả thiết: sau 1 phút dây diều tạo với mặt đất một góc bằng 45 độ, ta có góc giữa đường thẳng
và mặt đất (mặt phẳng 
bằng 45 độ. Mặt phẳng 
có vectơ pháp tuyến là 
đường thẳng 
có vectơ chỉ phương là 
Suy ra
Suy ra
Khi đó
(Lưu ý: Góc ta cần tính có đơn vị rad nên phải đổi đơn vị trên máy tính thành rad trước khi bấm máy)
Suy ra
Vậy quãng đường dây diều đi được trong một phút là
Điền đáp án: 234.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Vì dây diều có độ dài không đổi nên các vị trí của diều sẽ luôn nằm trên một mặt cầu (có bán kính bằng chiều dài dây diều tức bằng
Giả sử là vị trí của diều sau 1 phút. Khi đó quãng đường mà con diều chuyển động được là một cung tròn Theo công thức tính độ dài cung tròn, ta có
Do đó, để giải quyết bài toán, ta cần xác định được và góc giữa hai vectơ và (đơn vị rad).Bước 1: Xác định bán kính
Ta đã biết tọa độ
do đó để tính được độ dài ta cần đi xác định tọa độ điểm Giả thiết cho: “Khi diều ở vị trí điểm
là điểm duy nhất trong quá trình chuyển động, diều chạm vào không phận” tức mặt phẳng không phận tiếp xúc với mặt cầu tại điểm hay Nên đường thẳng
nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương.Mặt phẳng
có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là Suy ra phương trình mặt phẳng
Đường thẳng
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là nên Mà nên ta có (thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng Suy ra
Bước 2: Xác định góc giữa hai vectơ
và Ta có
Vì sau 1 phút, dây diều nằm theo hướng
nên Do đó để xác định thì ta cần đi tìm cao độ của Dựa vào giả thiết: sau 1 phút dây diều tạo với mặt đất một góc bằng 45 độ, ta có góc giữa đường thẳng
và mặt đất (mặt phẳng bằng 45 độ. Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là đường thẳng có vectơ chỉ phương là Suy ra
Suy ra
Khi đó
(Lưu ý: Góc ta cần tính có đơn vị rad nên phải đổi đơn vị trên máy tính thành rad trước khi bấm máy)
Suy ra
Vậy quãng đường dây diều đi được trong một phút là
Điền đáp án: 234.
Câu 22 [1095092]: Trên hệ trục toạ độ 
một con châu chấu đang đứng tại điểm 
nó bắt đầu nhảy, tại mỗi bước nhảy, nó nhảy một cách ngẫu nhiên theo chỉ một trong hai cách sau với xác suất như nhau:
Bước lên: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và lên trên 1 đơn vị theo trục 
Bước xuống: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và xuống dưới 1 đơn vị theo trục 
Xác suất để con châu chấu đến được điểm
sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm là bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
một con châu chấu đang đứng tại điểm nó bắt đầu nhảy, tại mỗi bước nhảy, nó nhảy một cách ngẫu nhiên theo chỉ một trong hai cách sau với xác suất như nhau: Bước lên: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và lên trên 1 đơn vị theo trục Bước xuống: Sang phải 1 đơn vị theo trục
và xuống dưới 1 đơn vị theo trục Xác suất để con châu chấu đến được điểm
sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm là bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Nội dung kiến thức:
Toán lớp 10 (Xác suất)
Mức độ: Vận dụng (9+)
Lời giải chi tiết:
Vì mỗi bước nhảy của con châu chấu đều có 2 cách nên 10 bước nhảy sẽ có số cách là
Gọi
là biến cố “Con châu chấu đến được điểm 
sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm”.
Vì mỗi bước nhảy, con châu chấu nhảy sang phải 1 đơn vị, nên sau 10 bước nhảy con châu chấu sẽ ở điểm có hoành độ bằng 10.
Trong 10 bước nhảy của con châu chấu, gọi
là số bước nhảy lên; 
là số bước nhảy xuống. thì 
Để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì tung độ của con châu chấu phải bằng 2 tức số bước nhảy lên phải nhiều hơn số bước nhảy xuống là 2 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì con châu chấu phải nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần. Số cách để con châu chấu nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần trong 10 lần bằng với số cách sắp xếp 6 chữ L (nhảy lên) và 4 chữ X (nhảy xuống) vào 10 ô trống:
Chẳng hạn, đây là 1 cách:
Số cách là
Bây giờ chúng ta tìm số trường hợp con châu chấu nhảy đến được điểm
nhưng vi phạm điều kiện (tức nó nhảy xuống điểm có tung độ âm).
Giả sử điểm đầu tiên nó nhảy xuống điểm có tung độ âm là điểm
Lấy đối xứng đường đi từ
qua đường thẳng 
Khi đó, ta có thể coi đường này là đường đi từ 
đến 
Số đường đi từ
bao gồm 
lần nhảy lên và 
lần nhảy xuống, ta được hệ phương trình 
Vậy số trường hợp vi phạm là
Suy ra
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 8,8.
Mức độ: Vận dụng (9+)
Lời giải chi tiết:
Vì mỗi bước nhảy của con châu chấu đều có 2 cách nên 10 bước nhảy sẽ có số cách là
Gọi
là biến cố “Con châu chấu đến được điểm sau 10 lần nhảy mà không nhảy xuống điểm có tung độ âm”.
Vì mỗi bước nhảy, con châu chấu nhảy sang phải 1 đơn vị, nên sau 10 bước nhảy con châu chấu sẽ ở điểm có hoành độ bằng 10.
Trong 10 bước nhảy của con châu chấu, gọi
là số bước nhảy lên; là số bước nhảy xuống. thì
Để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì tung độ của con châu chấu phải bằng 2 tức số bước nhảy lên phải nhiều hơn số bước nhảy xuống là 2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Vậy để sau 10 bước nhảy con châu chấu ở điểm
thì con châu chấu phải nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần. Số cách để con châu chấu nhảy lên 6 lần và nhảy xuống 4 lần trong 10 lần bằng với số cách sắp xếp 6 chữ L (nhảy lên) và 4 chữ X (nhảy xuống) vào 10 ô trống:Chẳng hạn, đây là 1 cách:
Số cách là
Bây giờ chúng ta tìm số trường hợp con châu chấu nhảy đến được điểm
nhưng vi phạm điều kiện (tức nó nhảy xuống điểm có tung độ âm).
Giả sử điểm đầu tiên nó nhảy xuống điểm có tung độ âm là điểm
Lấy đối xứng đường đi từ
qua đường thẳng Khi đó, ta có thể coi đường này là đường đi từ đến
Số đường đi từ
bao gồm lần nhảy lên và lần nhảy xuống, ta được hệ phương trình
Vậy số trường hợp vi phạm là
Suy ra
Vậy xác suất cần tìm là
Điền đáp án: 8,8.